超空間與原空間動力系統(tǒng)之間的關(guān)系

李金金

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安710127)

超空間與原空間動力系統(tǒng)之間的關(guān)系

李金金

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西西安710127)

設(shè)(X,d,f)為拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng),其中X為局部緊可分的可度量化空間,d為緊型度量,f為完備映射,用2X表示由X的所有非空閉子集構(gòu)成的集族,(2X,ρ,2f)為由(X,d,f)所誘導(dǎo)的賦予hit-or-miss拓?fù)涞某臻g動力系統(tǒng).本文引入了余緊點(diǎn)傳遞和弱拓?fù)鋫鬟f的定義.特別的,在X滿足一定的條件時(shí),給出了點(diǎn)傳遞,弱拓?fù)鋫鬟f和余緊點(diǎn)傳遞之間的關(guān)系,并研究了(X,d,f)的余緊傳遞點(diǎn),回復(fù)點(diǎn)和幾乎周期點(diǎn)分別與(2X,ρ,2f)的傳遞點(diǎn),回復(fù)點(diǎn)和幾乎周期點(diǎn)之間的蘊(yùn)含關(guān)系.這些結(jié)論豐富了賦予hit-or-miss拓?fù)涞某臻g的研究內(nèi)容.

超空間動力系統(tǒng);弱拓?fù)鋫鬟f;余緊點(diǎn)傳遞;回復(fù)點(diǎn);幾乎周期點(diǎn)

1 引言

設(shè)X為一個(gè)拓?fù)淇臻g,f:X→X是一個(gè)連續(xù)自映射,稱(X,f)是一個(gè)拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng), X是(X,f)的底空間.當(dāng)(X,d)是度量空間時(shí),把(X,f)記作(X,d,f).

記F和2X分別是拓?fù)淇臻gX的所有閉子集和所有非空閉子集構(gòu)成的集族.對任意一個(gè)子集A∈2X,定義2f(A)=f(A).假定給2X賦予某種拓?fù)?并且H是2X的一個(gè)子空間,如果f與H是相容的(即對H中任意的A,有f(A)∈H),且使得2f:H→H為連續(xù)映射,則稱(H,2f)為由(X,f)所誘導(dǎo)的超空間動力系統(tǒng).

設(shè)(X,d,f)是一個(gè)底空間為局部緊可分的可度量化空間的動力系統(tǒng),且d為緊型度量,f為完備映射.2009年,文獻(xiàn)[1]在F和2X分別賦予hit-or-miss拓?fù)鋾r(shí),給出了由(X,d,f)所誘導(dǎo)的超空間動力系統(tǒng)(F,ρ,2f)和(2X,ρ,2f).2007年,文獻(xiàn)[2]對(X,d,f)和(2X,ρ,2f)上的混合性,弱混合性及傳遞性等一些動力性狀進(jìn)行了研究.2009年,文獻(xiàn)[3]對(X,d,f)和(2X,ρ,2f)上的初值敏感性等一些動力性狀進(jìn)行了研究.2010年,文獻(xiàn)[4]對(X,d,f)和(2X,ρ,2f)上的等度連續(xù)性等一些動力性狀進(jìn)行了研究.隨后,2012年,文獻(xiàn)[5]研究了賦予Vietoris拓?fù)涞膶ΨQ積拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)與原空間拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)之間關(guān)于周期性,回復(fù)性,影子性質(zhì)等性狀的蘊(yùn)含關(guān)系. 2013年,文獻(xiàn)[6]研究了超空間在賦予Vietoris拓?fù)?且底空間是緊致度量空間時(shí)的Martelli混沌.

本文在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上研究了當(dāng)(X,d,f)是一個(gè)底空間為局部緊可分的可度量化空間的動力系統(tǒng),且d為緊型度量,f為完備映射,(2X,ρ,2f)為由(X,d,f)所誘導(dǎo)的賦予hit-ormiss拓?fù)涞某臻g動力系統(tǒng)時(shí),引入了余緊點(diǎn)傳遞與弱拓?fù)鋫鬟f的定義,進(jìn)而通過一些例子給出了在X滿足一定條件時(shí)余緊點(diǎn)傳遞與點(diǎn)傳遞,弱拓?fù)鋫鬟f與拓?fù)鋫鬟f的關(guān)系.最后得到了以下的結(jié)論:1)若A是所誘導(dǎo)的超空間動力系統(tǒng)中的拓?fù)鋫鬟f點(diǎn),則這個(gè)集合中的點(diǎn)是底空間的余緊傳遞點(diǎn);2)單點(diǎn)集A是所誘導(dǎo)的超空間動力系統(tǒng)中的回復(fù)點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)A中的點(diǎn)單是底空間的回復(fù)點(diǎn);3)單點(diǎn)集A是所誘導(dǎo)的超空間動力系統(tǒng)中的幾乎周期點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)A中的點(diǎn)是底空間的幾乎周期點(diǎn).

2 基本定義及其概念

2.1 動力系統(tǒng)中的定義

定義2.1[7]設(shè)X是一個(gè)Hausdor ff拓?fù)淇諉?對X的任意非空開子集U,如果X?U是X的一個(gè)緊子集,則稱U為一個(gè)余緊開集.

定義2.2[8]設(shè)X為局部緊可分的可度量化空間,ω(X)=X∪ω為X的一點(diǎn)緊化,和ωX上的度量,則稱d為X上的緊型度量.

定義2.3[9]設(shè)X是一個(gè)Hausdor ff空間,f:X→Y,若f為連續(xù)的閉映射,且對于任意的y∈Y,f?1(y)為X的一個(gè)緊子集,則稱f為一個(gè)完備映射.

定義2.4[10]設(shè)(X,f)是拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng),對于正整數(shù)集合

如果存在整數(shù)N>0,使得任意連續(xù)N個(gè)正整數(shù)中至少含有一個(gè)A中的元素,則稱A是相對N稠密的.

定義2.5[10]設(shè)(X,d)為度量空間,x∈X,如果對于任意的ε>0,使得fn(x)∈V(x,ε)成立的n構(gòu)成一個(gè)相對稠密的集合,則x稱作f的幾乎周期點(diǎn).

定義2.6[10]設(shè)(X,d)為度量空間,x∈X,如果對于任意的ε>0,存在n>0,使得fn(x)∈V(x,ε),這里的

則x稱作f的回復(fù)點(diǎn).

定義2.7[10]設(shè)(X,f)是拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng),如果存在x∈X,使得即x的軌道在X內(nèi)稠密,則稱f是點(diǎn)傳遞的,其中x稱作f的傳遞點(diǎn).

定義2.8設(shè)(X,f)是拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng),x∈X,若對任意的余緊開集U?X,存在n≥0,使得fn(x)∈U,則稱f是余緊點(diǎn)傳遞的,其中x稱作f的余緊傳遞點(diǎn).

從定義可以看出,點(diǎn)傳遞是余緊點(diǎn)傳遞的;當(dāng)(X,d)為緊致度量空間,則余緊點(diǎn)傳遞與點(diǎn)傳遞是等價(jià)的.

而f的余緊傳遞點(diǎn)不一定是f的傳遞點(diǎn),下面舉一個(gè)例子來加以說明.

例1設(shè)X=Z+是離散的拓?fù)淇臻g,即:X={1,2,3,···},其中f定義為:

f(x)=x+1,x∈X.

對于2∈X,由f的定義可知,X中任意一個(gè)非空余緊開集,2都會經(jīng)過有限步之后落進(jìn)這個(gè)非空余緊開集里,所以2是f的余緊傳遞點(diǎn).而對于2∈X及開集{1},任意的n≥0,有fn(2)?∈{1},則2不是f的傳遞點(diǎn).

由例1可知,在非緊空間中,余緊傳遞點(diǎn)與傳遞點(diǎn)是不等價(jià)的.

下面給出f是余緊點(diǎn)傳遞,而f不是點(diǎn)傳遞的一個(gè)例子.

例2設(shè)X=Z+是離散的拓?fù)淇臻g,即:X={1,2,3,···},其中f定義為:

f(x)=x2,x∈X.

對于2∈X及X的任意余緊開集U,都存在n≥0,使得fn(2)∈U,則2是f的余緊傳遞點(diǎn),故f是余緊點(diǎn)傳遞的.而對于任意的x∈X及開集{2},對任意的n≥0,有fn(x)/∈{2},則f沒有傳遞點(diǎn),故f不是點(diǎn)傳遞的.

由例2可知,在非緊空間中,余緊點(diǎn)傳遞與點(diǎn)傳遞是不等價(jià)的.

定義2.9[11]設(shè)(X,f)是一個(gè)拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng),若對任意的非空開集U,V?X,存在k≥0,使得fk(U)∩V?=?,則稱f為拓?fù)鋫鬟f的.

定義2.10設(shè)(X,f)是一個(gè)拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng),若對任意的非空開集U,V?X,存在k≥0,

使得

fk(U)∩V?=?和fk(V)∩U?=?

至少有一個(gè)成立,則稱f為弱拓?fù)鋫鬟f的.

從定義不難看出,拓?fù)鋫鬟f一定是弱拓?fù)鋫鬟f的.而弱拓?fù)鋫鬟f不一定是拓?fù)鋫鬟f的,下面舉一個(gè)例子來加以說明.

例3設(shè)

其中f定義為:

由于對任意的兩個(gè)非空開集U和V,根據(jù)映射f的定義可知,0只是一個(gè)不動點(diǎn),則在開集U和V中肯定有最小的元素,不妨設(shè)

1)當(dāng)m=n時(shí),只需取k=0,有

從而

故由1)和2)知,f為弱拓?fù)鋫鬟f的.

而對于開集

任意的k≥0,fk(V)∩U=?,則f不是拓?fù)鋫鬟f的.

由例3可知,弱拓?fù)鋫鬟f與拓?fù)鋫鬟f是不等價(jià)的.

下面給出點(diǎn)傳遞,余緊點(diǎn)傳遞與弱拓?fù)鋫鬟f的關(guān)系,首先給出下面的一個(gè)引理.

引理2.11[11]設(shè)X為無孤立點(diǎn)的度量空間,f是X上的一個(gè)連續(xù)自映射,則

(a)若x∈X在映射f下有稠密的軌道,則對于任意的n≥1,fn(x)也有稠密的軌道;

(b)若映射f有稠密的軌道,則f也是拓?fù)鋫鬟f的.

從引理2.11和定義2.10可以看出,當(dāng)X為無孤立點(diǎn)的度量空間時(shí),則點(diǎn)傳遞一定是弱拓?fù)鋫鬟f的.

下面給出文獻(xiàn)[12]的一個(gè)拓?fù)鋫鬟f而非點(diǎn)傳遞的例子.

例4設(shè)g:I→I,其中I=[0,1],g(x)=1?|2x?1|為帳篷映射,則令X

由例4可知,當(dāng)X為無孤立點(diǎn)的非緊致空間時(shí),則f是拓?fù)鋫鬟f而不是點(diǎn)傳遞的,從而f也是弱拓?fù)鋫鬟f的而不是點(diǎn)傳遞的.

于是結(jié)合以上所得到的結(jié)果可得以下的關(guān)系:

(1)當(dāng)X為非緊致的度量空間,且X無孤立點(diǎn)時(shí),有

f是弱拓?fù)鋫鬟f的?=f是拓?fù)鋫鬟f?=f是點(diǎn)傳遞=?f是余緊點(diǎn)傳遞;

(2)當(dāng)X為緊致的度量空間,且X無孤立點(diǎn)時(shí),有

f是余緊點(diǎn)傳遞??f是點(diǎn)傳遞??f是拓?fù)鋫鬟f=?f是弱拓?fù)鋫鬟f.

2.2賦予hit-or-miss拓?fù)涞某臻g動力系統(tǒng)

設(shè)X為一個(gè)拓?fù)淇臻g,按照Matheron G的記法[13],對于任意的B?X,A?P(X),其中P(X)為X的冪集,

記F,G和K分別表示X中的所有閉集,開集和緊子集構(gòu)成的集族(其中,空集但由集族

作為基底在F上所生成的拓?fù)洇觙稱為hit-or-miss拓?fù)?其中

由集族

特別的,當(dāng)X為局部緊第二可數(shù)的Hausdor ff拓?fù)淇臻g時(shí),F為緊致的第二可數(shù)的Hausdor ff拓?fù)淇臻g,并且(F,τf)是可度量化的[14],2X作為F的子空間為局部緊第二可數(shù)的Hausdor ff拓?fù)淇臻g,根據(jù)文獻(xiàn)[15],(F,τf)上的一個(gè)相容度量為ρ:F×F→R,具體構(gòu)造如下:

dH為:對任意的A,B∈2ωX,

其中

定義映射C:F→2ωX為:對于任意的F∈F,C(F)=F∪{ω}.

度量ρ定義為:對任意的F,

對于拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)(X,d,f),其中(X,d)是局部緊第二可數(shù)的度量空間,d為緊型度量, f為完備映射.

由f所誘導(dǎo)的超空間上的映射2f:2X→2X定義為:對任意的F∈2X,2f(F)=f(F).由文獻(xiàn)[15]知,2f為連續(xù)映射,從而(2X,ρ,2f)為一個(gè)拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng).

3 主要結(jié)果

從本節(jié)開始,當(dāng)提到(X,d,f)是一個(gè)拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)時(shí),就是指(X,d)為局部緊可分的可度量化空間,d為緊型度量,f:X→X為完備映射,其中(2X,ρ,2f)為由(X,d,f)所誘導(dǎo)的賦予hit-or-miss拓?fù)涞某臻g動力系統(tǒng).

本部分是受文獻(xiàn)[5]的啟發(fā),由于文獻(xiàn)[5]研究了賦予Vietoris拓?fù)涞膶ΨQ積拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)與原空間動力系統(tǒng)之間關(guān)于周期性,回復(fù)性,影子性質(zhì)等性狀的蘊(yùn)含關(guān)系,于是在超空間賦予hit-or-miss拓?fù)鋾r(shí),對拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)(X,d,f)與它所誘導(dǎo)的超空間拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)(2X,ρ,2f)之間關(guān)于一些性狀的蘊(yùn)含關(guān)系進(jìn)行了研究,提出了在適當(dāng)增減條件的前提下可以得出本節(jié)的結(jié)果.

定理3.1設(shè)(X,d,f)是拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng),f:X→X為完備映射,若A是(2X,ρ,2f)的傳遞點(diǎn),則對任意的x∈A,x是(X,d,f)的余緊傳遞點(diǎn).

證明設(shè)U是X的任意非空余緊開集,由于A是(2X,ρ,2f)的傳遞點(diǎn),則對于非空開集存在使得

而

則有

于是fn0(A)?U,從而對任意的x∈A,有fn0(x)∈fn0(A)?U,即對任意的x∈A, fn0(x)∈U.

故對任意的x∈A,x是(X,d,f)的余緊傳遞點(diǎn).

由于在(X,d)為緊致度量空間時(shí),Vietoris拓?fù)渑chit-or-miss拓?fù)涫且恢碌?結(jié)合定理3.1與第二部分的結(jié)果可得到下述推論.

推論3.2[6]設(shè)(X,d)為緊致度量空間,f:X→X為一個(gè)連續(xù)映射,其中(2X,ρ,2f)是由動力系統(tǒng)(X,d,f)所誘導(dǎo)的賦予Vietoris拓?fù)涞某臻g動力系統(tǒng).若A是(2X,ρ,2f)的傳遞點(diǎn),則對任意的x∈A,x是(X,d,f)的傳遞點(diǎn).

從定理3.1可以看出,超空間中的拓?fù)鋫鬟f點(diǎn)A,得到A中任意的點(diǎn)是底空間的余緊傳遞點(diǎn).

定理3.3設(shè)(X,d,f)為拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng),f:X→X為完備映射,則單點(diǎn)集A是(2X,ρ,2f)的回復(fù)點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)單點(diǎn)集A中的點(diǎn)是(X,d,f)的回復(fù)點(diǎn).

證明必要性由于A是(2X,ρ,2f)的回復(fù)點(diǎn),且A是單點(diǎn)集,不妨令A(yù)={x},則對于任意的使得

又由于

則有

從而d(fn(x),x)<ε.

故A中的點(diǎn)是(X,d,f)的回復(fù)點(diǎn).

充分性由于A是單點(diǎn)集,不妨令A(yù)={x}.因?yàn)閤∈X是(X,d,f)的回復(fù)點(diǎn),所以對于任意的存在n>0,使得

從而由三角不等式得

又由于

故單點(diǎn)集A是(2X,ρ,2f)的回復(fù)點(diǎn).

定理3.4設(shè)(X,d,f)為拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng),f:X→X為完備映射,則單點(diǎn)集A是(2X,ρ,2f)的幾乎周期點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)單點(diǎn)集A中的點(diǎn)是(X,d,f)的幾乎周期點(diǎn).

證明必要性由于A是(2X,ρ,2f)的幾乎周期點(diǎn),且A是單點(diǎn)集,不妨令A(yù)={x},則對于任意的存在n>0,使得成立的n構(gòu)成相對稠密的集合N.

運(yùn)用定理3.3必要性的證明方法,可得d(fn(x),x)<ε.

又因?yàn)镹是相對稠密集,且N中的每一個(gè)n也使得d(fn(x),x)<ε成立,所以滿足d(fn(x),x)<ε成立的n構(gòu)成的集合也是相對稠密的.

故A中的點(diǎn)是(X,d,f)的幾乎周期點(diǎn).

充分性由于A是單點(diǎn)集,不妨令A(yù)={x}.因?yàn)閤∈X是(X,d,f)的幾乎周期點(diǎn),所以對于任意的存在n>0,使得

成立的n構(gòu)成相對稠密的集合N,從而由三角不等式得

運(yùn)用定理3.3充分性的證明方法,可得

又因?yàn)镹是相對稠密集,且N中的每一個(gè)n也使得ρ(fn({x}),{x})<ε成立,所以滿足ρ(fn({x}),{x})<ε成立的n構(gòu)成的集合也是相對稠密的.

故單點(diǎn)集A是(2X,ρ,2f)的幾乎周期點(diǎn).

從定理3.3與定理3.4可以看出,當(dāng)超空間中的點(diǎn)是底空間的單點(diǎn)集時(shí),超空間中的點(diǎn)所具有的動力性狀與此點(diǎn)回到底空間所具有的一些動力性狀是一樣的.

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The relationships between hyperspace dynamical systems and original space

Li Jinjin

(Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an710127,China)

Let(X,d,f)be a topological dynamical system,where X is a locally compact separable metrizable space,d is a compact-type metric and f is a perfect mapping.Let 2Xbe the space of all non-empty closed subsets of X.Let(2X,ρ,2f)denote the hyperspace dynamical systems induced by(X,d,f)equipped with the hit-or-miss topology.In this paper,the concepts of co-compact point transitivity and weak topological transitivity are introduced.In particular,when X satis fi es certain condition,the relationships between point transitivity,weak topological transitivity and co-compact point transitivity are given,and the author studied the relationships between co-compact transitivity point,recurrent point and almost period point of(X,d,f) respectively and transitivity point,recurrent point and almost period point of(2X,ρ,2f).These conclusions enriched the contents of induced hyperspace dynamical systems equipped with the hit-or-miss topology.

hyperspace dynamical system,weak topological transitivity,co-compact point transitivity, recurrent point,almost period point

O189.11

A

1008-5513(2014)01-0060-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.010

2014-01-14.

國家自然科學(xué)基金(11301417);國家青年基金(11371292).

李金金(1986-),碩士生,研究方向：拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng).

2010 MSC:54A05