指數(shù)凸函數(shù)的積分不等式及其在Gamma函數(shù)中的應(yīng)用

何曉紅

(衢州廣播電視大學(xué)教務(wù)處,浙江衢州324000)

指數(shù)凸函數(shù)的積分不等式及其在Gamma函數(shù)中的應(yīng)用

何曉紅

(衢州廣播電視大學(xué)教務(wù)處,浙江衢州324000)

仿對(duì)數(shù)凸函數(shù)的概念,給出指數(shù)凸函數(shù)的定義,并證明有關(guān)指數(shù)凸函數(shù)的幾個(gè)積分不等式,作為應(yīng)用,得到一個(gè)新的Kershaw型雙向不等式.

凸函數(shù);指數(shù)凸函數(shù);Gamma函數(shù);Kershaw型不等式

1 引言

凸函數(shù)理論是一個(gè)既經(jīng)典又極具活力的數(shù)學(xué)分支,現(xiàn)已滲透到分析、幾何和代數(shù)的各個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域.經(jīng)典凸函數(shù)和對(duì)數(shù)凸函數(shù)的概念見下定義1.有關(guān)它們的文獻(xiàn)數(shù)不勝數(shù),讀者可參見文獻(xiàn)[1-2]及其它們的參考文獻(xiàn).

定義1設(shè)I是一區(qū)間,

(i)f:I?(?∞,+∞)→R,若任取x,y∈I和α∈(0,1),都有

f(αx+(1?α)y)≤(≥)αf(x)+(1?α)f(y),

則稱f為I上的凸(凹)函數(shù).

(ii)f:I?(?∞,+∞)→(0,+∞),若任取x,y∈I和α∈(0,1),都有

f(αx+(1?α)y)≤(≥)(f(x))α·(f(y))1?α,

則稱f為I上的對(duì)數(shù)凸(凹)函數(shù).

設(shè)0

為a,b的對(duì)數(shù)平均和指數(shù)平均[2].

對(duì)于著名的Gamma和Psi函數(shù),本文討論定義域?yàn)?0,+∞)的情形,它們分別定義為:

其中Γ為對(duì)數(shù)凸函數(shù),即ψ為嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù).

根據(jù)ψ為凹函數(shù)和Hermite-Hadamard不等式(見下引理1),文獻(xiàn)[3]得到:若0

此類不等式被稱為Gautschi型或Kershaw型不等式.文獻(xiàn)[4]給出了:設(shè)0

文獻(xiàn)[5-6]把(2)式改進(jìn)為:

有關(guān)Kershaw型不等式的研究還可以參見文獻(xiàn)[7-9].

仿對(duì)數(shù)凸函數(shù)的定義,本文定義指數(shù)凸函數(shù),將研究指數(shù)凸函數(shù)的積分性質(zhì).并把這些積分不等式應(yīng)用到Gamma函數(shù)的理論上,得到一個(gè)簡(jiǎn)潔的Kershaw型雙向不等式,并與式(3)不分強(qiáng)弱.定義2設(shè)I是一區(qū)間,f:I?(?∞,+∞)→R,若ef(x)是I上的凸(凹)函數(shù),則稱f為I上的指數(shù)凸(凹)函數(shù).

2 相關(guān)引理

引理1(Hermite-Hadamard不等式)設(shè)a

引理2(i)當(dāng)x>0時(shí),

(ii)ψ(x)是指數(shù)凸函數(shù).

證明(i)這是文獻(xiàn)[10]中的一個(gè)結(jié)果.

(ii)

由(4)式知eψ(x)是凸函數(shù),進(jìn)而ψ(x)是指數(shù)凸函數(shù).

引理3設(shè)

則f(s)>2ln2.

證明

g為單調(diào)減少函數(shù),且易知g(0)=0,所以g(s)在(?1,0)取值為正,g(s)在(0,1)取值為負(fù),因此f(s)在(?1,0)單調(diào)增加,f(s)在(0,1)單調(diào)減少.又易知

故結(jié)論為真.

引理4設(shè)f:[a,b]→R為可微的指數(shù)凸函數(shù),f′(a)和f′(b)分別記f(x)在x=a處的右導(dǎo)數(shù)和在x=b處的左導(dǎo)數(shù).

(i)若任取t∈[a,b],都有1+(t?a)f′(a)>0,則

證明(i)因?yàn)閱握{(diào)增加函數(shù),對(duì)于t∈[a,b]和x∈[a,t],有

若f′(a)=0時(shí),有

結(jié)論顯然成立.當(dāng)f′(a)?=0時(shí),f(t)≥f(a)+ln(1?af′(a)+tf′(a)),進(jìn)一步有

至此知(5)式成立.

以下證明類同于式(1)的證明,在此略.

引理4證畢.

3 有關(guān)指數(shù)凸函數(shù)的幾個(gè)積分不等式

定理1設(shè)f:[a,b]→R為可微的指數(shù)凸函數(shù),若都有

則有

其中

進(jìn)而有

證明把引理4中的(5)式中的整理有

(8),(9)式相加得,

其中

因任取t∈[a,b],都有

取t=1,?1,可知?1

定理2設(shè)f:[a,b]→R為指數(shù)凸函數(shù),則有

進(jìn)一步,當(dāng)f(a)?=f(b)時(shí),有

證明對(duì)于x∈[a,b],令x=λa+(1?λ)b,解得

當(dāng)f(a)=f(b)時(shí),上式即為f(x)≤f(a),相應(yīng)結(jié)論成立.當(dāng)f(a)?=f(b)時(shí),進(jìn)一步有

所以有

注意到

再根據(jù)引理1知

所以知(10)式成立.

定理2證畢.

4 一個(gè)新的Kershaw型不等式

定理3(i)若b>則

(ii)若b>a>0,則

證明(i)眾所周知

此時(shí)易知,對(duì)于t∈[a,b],有

至此知ψ滿足定理1中的(ⅲ)條件.根據(jù)引理2和定理1的結(jié)論(ⅲ)知(11)式成立.

(ii)根據(jù)引理2和定理2知(12)式成立.下面來比較(11),(12)式和(3)式的強(qiáng)弱關(guān)系.參見文獻(xiàn)[11]的第54節(jié)和第541節(jié)或文獻(xiàn)[12],知

其中

設(shè)

表1 (11)式與(1),(2),(3)式的左式強(qiáng)弱比較表

從以上數(shù)據(jù)可以看出:當(dāng)a=0.5,b≥10時(shí),有y1>y2>y3>y4.

表2 (12)式與(1),(2),(3)式的右式強(qiáng)弱比較表

從以上數(shù)據(jù)可以看出:當(dāng)a=0.5,b≥2時(shí),有z1

參考文獻(xiàn)

[1]Niculescu C P,Persson L E.Convex Functions and Their Applications[M].New York:Springer-Verlag,2006

[2]匡繼昌．常用不等式[M]．4版.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社,2010.

[3]Hardy G H,Littlewood J E,Polya G.Inequalities[M].2nd ed.Cambridge:Cambridge Univer.Press,1952.

[4]Gautschi W.Some elementary inequalities relating to the Gamma and incomplete Gamma function[J].J. Math.Phy.,1959,38:77-81.

[5]Qi F.A new lower bound in the second Kershaw′s double inequality[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2008,214(2):610-616.

[6]Qi F,Guo S,Chen S.A new upper bound in the second Kershaw′s double inequality and its generalizations[J]. J.Comp.Appl.Math.,2008,220(1):111-118.

[7]Kershaw D.Some extensions of W.Gautschi′s inequalities for the Gamma function math[J].Math.Comp., 1983,41:607-611.

[8]Zhang X,Chu Y.A double inequality for Gamma function[J].J.Ineq.Appl.,2009(1):1-7.

[9]Zhang X,Chu Y,Zhang X.The Hermite-Hadamard type inequality of GA-convex functions and its application[J].J.Ineq.Appl.,2010(1):1-11.

[10]Batir N.On some properties of digamma and polygamma functions[J].J.Math.Anal.,2007,328:452-465.

[11]Von Fichtenholz G M.Di ff erential-und integralrechnung[J].VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1964(2):1-9.

[12]Qi F,Guo B N.Monotonicity and convexity of the functio n[J].RGMIA Res.Rep.,2003,6(4): 763-781.

Integral inequalities of exponential convex functions and aplication to Gamma function

He Xiaohong

(Office of Academic A ff airs,Quzhou Radio&TV University,Quzhou324000,China)

Copying a de fi nition of logarithmic convex functions,this paper de fi nes exponential convex functions and establishes some integral inequalities involving the functions.As application,a new Kershaw-type inequality is presented.

convex functions,exponential convex functions,integral inequalities,Gamma function

O178;O174.6

A

1008-5513(2014)01-0069-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.011

2013-11-07.

何曉紅(1968-),講師,研究方向:分析不等式和開放教育.

2010 MSC:33B15,26D15