冪零-中心化方法的一個(gè)應(yīng)用

盧勇,高玉斌

(中北大學(xué)理學(xué)院,山西太原030051)

冪零-中心化方法的一個(gè)應(yīng)用

盧勇,高玉斌

(中北大學(xué)理學(xué)院,山西太原030051)

試圖豐富譜任意符號(hào)模式矩陣類(lèi).給出了一個(gè)新的含有2n個(gè)非零元的符號(hào)模式矩陣,并運(yùn)用冪零-中心化方法與冪零-雅可比方法分別研究了該模式的所有母模式是譜任意的.進(jìn)一步證明了該模式是極小譜任意的.最后比較了兩種證明方法的聯(lián)系與區(qū)別.

冪零-中心化;符號(hào)模式矩陣;冪零矩陣;譜任意

1 引言

符號(hào)模式矩陣定性理論是組合數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中的一個(gè)重要分支.最早研究符號(hào)模式矩陣?yán)碚撌窃诮?jīng)濟(jì)學(xué)中.它不僅在數(shù)學(xué)學(xué)科中有著重要的作用,同時(shí),它的一系列研究成果也廣泛的應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域.

元素取自于集合{+,?,0}的一類(lèi)特殊矩陣叫做符號(hào)模式矩陣.B的符號(hào)模式矩陣是指給定一個(gè)實(shí)矩陣B(bij),以bij的符號(hào)(記為sgnB)為元素所構(gòu)成的矩陣.設(shè)A是一個(gè)n階符號(hào)模式,定義A的定性矩陣類(lèi)為:設(shè)L=(lij)和A=(aij)是兩個(gè)n階符號(hào)模式,如果當(dāng)lij?=0時(shí),aij=lij,則A為L(zhǎng)的母模式;反之當(dāng)aij?=0時(shí),lij=aij,則A為L(zhǎng)的子模式.

設(shè)A是一個(gè)n階符號(hào)模式,若存在某個(gè)正整數(shù)k及一個(gè)實(shí)矩陣B∈Q(A),使得Bk=0,則稱A是蘊(yùn)含冪零的,且稱B為指數(shù)為k的冪零矩陣.設(shè)f(λ)為任意給定的一個(gè)首一n次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,若在A的定性矩陣類(lèi)中都能找到一個(gè)實(shí)矩陣B,使B的特征多項(xiàng)式為f(λ),則稱A為譜任意符號(hào)模式.A為極小譜任意符號(hào)模式是指:若A為譜任意,但A的任意一個(gè)真子模式都不是譜任意的.

文獻(xiàn)[1]中最早提出了符號(hào)模式的譜任意問(wèn)題,文中作者用冪零-雅可比方法證明了所給符號(hào)模式及其所有母模式都是譜任意的.隨后文獻(xiàn)[2-6]繼續(xù)加深了對(duì)譜任意的研究.符號(hào)模式譜任意性質(zhì)的判定方法主要有兩種,一種是構(gòu)造法,其中文獻(xiàn)[5]巧妙的運(yùn)用了構(gòu)造法證明了一類(lèi)奇數(shù)階符號(hào)模式矩陣為譜任意的:另一種是冪零-雅可比方法.那么,是否存在其它的判定方法以使得所給符號(hào)模式為譜任意的?最近,文獻(xiàn)[7-8]給出了一種新的判定方法(即冪零-中心化方法)來(lái)證明符號(hào)模式及其母模式的是譜任意的.文獻(xiàn)[9]給出了兩個(gè)新的極小譜任意符號(hào)模式,并結(jié)合了兩種方法進(jìn)行證明.

本文中出現(xiàn)的E?F為矩陣E和F的Hadamard乘積.即H=E?F,hij=eijfij,其中{hij∈H,eij∈E,fij∈F,i,j=1,2,···,n}.

2 預(yù)備知識(shí)

引理1[2]一個(gè)n階符號(hào)模式A,假設(shè)在A的定性矩陣類(lèi)中存在某個(gè)冪零矩陣B,其中B中至少有n個(gè)非零元,記為bi1j1,···,binjn,設(shè)X為用變量x1,···,xn替換bi1j1,···,binjn所得到的矩陣.如果X的特征多項(xiàng)式系數(shù)關(guān)于變量x1,···,xn的雅可比行列式:在冪零點(diǎn)(x1,···,xn)=(bi1j1,···,binjn)處不等于零,那么A的任意一個(gè)母模式都是譜任意的.

引理2[78]設(shè)A為n階符號(hào)模式矩陣,A中一個(gè)冪零實(shí)現(xiàn)且指數(shù)為n的實(shí)矩陣C.如果在C的中心里滿足條件M?CT=0的矩陣M只有零矩陣,那么符號(hào)模式矩陣A及其每一個(gè)母模式都是譜任意的.

本文討論下面n階符號(hào)模式A=(aij)n×n(n≥6),

下面將用冪零-雅可比與冪零-中心化方法來(lái)證明A是極小譜任意模式.

3 主要結(jié)果

定理1當(dāng)n≥6時(shí),A的所有母模式都是譜任意的.

證明任取實(shí)矩陣B∈Q(A),設(shè)B有如下形式:

由于冪零-中心化方法需要先找到A的一個(gè)冪零矩陣,所以,本文給出兩種證明方法.

首先用冪零-雅可比方法來(lái)證明A為譜任意的.然后運(yùn)用冪零-中心化方法結(jié)合冪零-雅可比方法中得到的冪零矩陣來(lái)證明A為譜任意的.

方法1冪零-雅可比方法.

設(shè)

則

將上式第i行的λ倍加到第i+1行,i=1,2,···,n?4,然后再按第3,5,···,n?4,n?3列依次展開(kāi)得:

因此,

故當(dāng)ai=?1(i=1,2,···,n?5),an?3=an?2=an?1=時(shí),有α1=α2=···=αn=0.所以符號(hào)模式A是蘊(yùn)含冪零的.又

由引理1知A及其所有母模式都是譜任意的.

方法2冪零-中心化方法

由上面冪零-雅可比的證明過(guò)程可知,當(dāng)ai=?1(i=1,2,···,n?5),段落 true="1">an?3時(shí),C為A的一個(gè)冪零實(shí)現(xiàn),且指數(shù)為n.設(shè)存在矩陣M=(mij)屬于C的中心(即滿足MC=CM),且下證M只能是零矩陣.設(shè)

則由M?CT=0可得m1i=0(i=1,2,···,n?3,n),mi,i?1=0(i=2,3,···,n), mn?2,n?2=0,m2,n=0,m4,n?1=0.又由于MC=CM,所以MC的第一、二行與CM的第一、二行元素對(duì)應(yīng)相等,故m2,i=0(i=1,2,···,n?3).同時(shí)

所以M的第一、二行元素都為零.依此類(lèi)推可得mij=0(i,j=3,···,n),因此M=0.即滿足MC=CM且M?CT=0的矩陣M僅有零矩陣.故由引理2可得,A及其所有母模式都是譜任意的.

通過(guò)上述證明過(guò)程可以看出,冪零-中心化方法與冪零-雅可比方法之間存在著聯(lián)系與區(qū)別.首先它們都需要找到一個(gè)冪零矩陣,然后冪零-雅可比方法是判斷冪零點(diǎn)處的雅可比行列式是否為零,而冪零-中心化方法是在冪零矩陣的中心中滿足Hadamard乘積的矩陣是否為零矩陣.這兩種方法都是常用的方法.

定理2A是極小譜任意的.

證明設(shè)是A的一個(gè)真子模式,且H是譜任意的.

綜合上面討論知定理得證.

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An application for the nilpotent-centralizer method

Lu Yong,Gao Yubin

(School of Science,North University of China,Taiyuan030051,China)

In this paper,in order to enrich the classes of spectrally arbitrary patterns,we present a new sign pattern with 2n nonzero entries.Then applying the nilpotent-centralizer method and the nilpotent-jacobian method,we respectively obtain that all the suppatterns of the given sign pattern are spectrally arbitrary. Furthermore,we prove that the given sign pattern is minimally spectrally arbitrary.Finally,the connection and di ff erence of the two introduced methods are comparied.

nilpotent-centralizer,sign pattern matrix,nilpotent matrix,spectrally arbitrary pattern

O157

A

1008-5513(2014)01-0105-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.016

2013-11-06.

國(guó)家自然科學(xué)基金(11071227);山西省回國(guó)留學(xué)人員科研資助項(xiàng)目(12-070).

盧勇(1989-),碩士生,研究方向：組合數(shù)學(xué).

高玉斌(1962-),教授,研究方向：組合數(shù)學(xué)與圖論.

2010 MSC:15A18,15A48