劉國(guó)芬

(1.河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河北石家莊050024; 2.河北省計(jì)算數(shù)學(xué)與應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河北石家莊050024)

一類推廣的Bernstein-Kantorovich算子的點(diǎn)態(tài)逼近

劉國(guó)芬1,2

(1.河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河北石家莊050024; 2.河北省計(jì)算數(shù)學(xué)與應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河北石家莊050024)

討論Bernstein-Kantorovich算子的一種推廣形式的逼近性質(zhì),運(yùn)用插項(xiàng)的方法證明了逼近正定理,并證明了逆定理,得到了逼近等價(jià)定理.完善了算子在逼近性質(zhì)方面的結(jié)果.

Bernstein-Kantorovich型算子;光滑模;K-泛函;逼近正逆定理

1 引言

對(duì)于f∈C[0,1],Bn(f,x)表示Bernstein-Kantorovich算子,定義[1]

這里,

是B′ezier基算子,sn是一個(gè)自然數(shù)序列并且對(duì)于Sikkema算子[3]和B′ezier算子[4-7]許多學(xué)者都有一定的研究,對(duì)Bernstein-Sikkema-B′ezier算子的點(diǎn)態(tài)逼近性質(zhì)進(jìn)行了討論[8],證明了其逼近的等價(jià)定理.本文將對(duì)Bernstein-Kantorovich的Sikkema-B′ezier變形算子的逼近性進(jìn)行討論,給出并證明該算子逼近的正逆定理和等價(jià)定理,其中主要結(jié)論敘述如下.

定理1設(shè)則下面兩個(gè)陳述是等價(jià)的:

文中用到光滑模和K-泛函的等價(jià)性,它們的定義分別為:

這里

文中C表示與n和x都無(wú)關(guān)的常數(shù),不同位置的數(shù)值可能是不一樣的.

2 引理

為了證明定理1,需要幾個(gè)引理.為了利用插項(xiàng)的方法,首先給出Bernstein-Kantorovich-B′ezier算子的逼近度,定義為

引理2.1設(shè)

證明由與光滑模之間的等價(jià)關(guān)系,對(duì)于固定的n,x和λ,可以選擇適當(dāng)?shù)膅=gn,x,λ,使得

注意到|Bn,α(f)|≤α∥f∥,

注意到0

可推出[1]:

利用(2.2)-(2.4)和(2.7)式,引理2.1得證.

引理2.2下面關(guān)于Sn,1(f,x)的矩的估計(jì):

證明經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算就可得到Sn,1(1,x)=1,

成立.于是(2.8)式得證.

引理2.3設(shè)

則有

進(jìn)一步,當(dāng)f∈Wλ時(shí),

證明首先證明(2.9)式.

這里

利用1=Jn,0>Jn,1>···>Jn,n>0和

注意到pn,n+1(x)=0,pn,?1(x)=0,結(jié)合,有

當(dāng)x∈En時(shí),δn(x)～φ(x),

結(jié)合(2.11)和(2.12)式,證明了(2.9)式.下面證明(2.10)式.

由于Sn,α(1,x)=1,顯然f(x)S′n,α(1,x)=0.當(dāng)f∈Wλ時(shí),有

于是由(2.6)式,可得

注意到pn,?1(x)=0,當(dāng)時(shí),

這里

對(duì)于K1,有(當(dāng)x=0時(shí),K1=0),

另一方面,

對(duì)于x∈En,δn(x)～φ(x),

顯然對(duì)于x∈En(2.14)式的推導(dǎo)過(guò)程也是適用的,I1≤C.于是當(dāng)x∈En時(shí),有

由(2.15)和(2.16),(2.10)式成立.這樣引理2.3得證.

引理2.4當(dāng)0時(shí),不等式

證明對(duì)于(2.17),利用H¨older不等式只需證明:

3 定理的證明

這一部分將對(duì)定理1進(jìn)行證明.對(duì)于(1.2)?(1.1)式,由引理2.1,

再由文獻(xiàn)[1]中的(3.1.5)得到,

于是(1.1)式成立.另一方面,利用引理2.3和引理2.4并借助文獻(xiàn)[9]中定理1關(guān)于“?”的方法就可以證明(1.1)?(1.2)式,這里不再敘述細(xì)節(jié).

[1]Ditzian Z,Totik V.Moduli of Smoothness[M].New York:Springer-Verlag,1987.

[2]程麗.Bernstein-Kantorovich算子線性組合同時(shí)逼近的正逆定理[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2011,27(1):56-62.

[3]Cao J D.A Generalization of the Bernstein polynomials[J].J.Math.Anal.and Appl.,1997,209:140-146.

[4]Chang G Z.Generalized Bernstein-B′ezier polynomial[J].J.Comput.Math.,1983,1(4):322-327.

[5]Liu Z X.Approximation of continuous by the generalized Bernstein-B′ezier polynomials[J].Approx.Theory Appl.,1986,4(2):105-130.

[6]Zeng X M,Piriou A.On the rate of convergence of two Bernstein-B′ezier type operators for bounded variation functions[J].J.Approx.Theory,1998,95:369-387.

[7]Guo S S,Qi Q L,Liu G F.The central approximation theorem for Baskakov-B′ezier operators[J].J.Approx Theory,2007,147:112-124.

[8]劉國(guó)芬.Bernstein-Sikkema-B′ezier算子的點(diǎn)態(tài)逼近[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2013,43(1):199-204.

[9]Guo S S,Liu L X,Qi Q L.Pointwise estimate for linear combinations of Bernstein-Kantorovich operators[J]. J.Math.Anal.Appl.,2002,265:135-147.

Pointwise approximation for a generalization of Bernstein-Kantorovich operators

Liu Guofen1,2

(1.College of Mathematics and Information Science,Hebei Normal University,Shijiazhuang050024,China; 2.Hebei Key Laboratory of Computational Mathematics and Applications,Shijiazhuang050024,China)

We study the properties of approximation for a generalization of Bernstein-Kantorovich operators and prove the direct approximation theorem by the means of inserting term and the inverse theorem,namely the equivalence theorem.The results of the properties of approximation for this kind of operators are perfected.

generalized Bernstein-Kantorovich operators,modulus of smoothness,K-functional, direct and inverse approximation theorem

O174.41

A

1008-5513(2014)01-0032-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.006

2008-02-10.

國(guó)家自然科學(xué)基金(10801043).

劉國(guó)芬(1974-),博士,講師,研究方向:函數(shù)逼近論.

2010 MSC:41A25,41A26,41A36