次正定復(fù)矩陣次Schur補(bǔ)的一些性質(zhì)

鄭建青

(寧波大學(xué)理學(xué)院,浙江寧波315211)

次正定復(fù)矩陣次Schur補(bǔ)的一些性質(zhì)

鄭建青

(寧波大學(xué)理學(xué)院,浙江寧波315211)

利用復(fù)矩陣的Schur補(bǔ)和次正定性,研究了次正定復(fù)矩陣的次Schur補(bǔ)的一些性質(zhì),得到了次正定復(fù)矩陣次Schur補(bǔ)的幾個(gè)行列式不等式,將相關(guān)文獻(xiàn)的相應(yīng)結(jié)果由次正定次Hermite矩陣推廣到次正定復(fù)矩陣.

次正定復(fù)矩陣;次Schur補(bǔ);次正定次Hermite矩陣;共軛次轉(zhuǎn)置矩陣

1 引言

復(fù)矩陣的次正定性是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分,它的研究在矩陣?yán)碚摶蚱鋺?yīng)用中,有重要的意義和應(yīng)用價(jià)值,并取得了諸多重要結(jié)果[1-4];矩陣Schur補(bǔ)在矩陣?yán)碚摫旧砗徒y(tǒng)計(jì)學(xué)、數(shù)值計(jì)算等領(lǐng)域也有廣泛應(yīng)用,是近年來(lái)國(guó)內(nèi)外矩陣研究的熱點(diǎn)之一,同樣取得了重要結(jié)果[5-9].筆者將兩者結(jié)合起來(lái),研究次正定復(fù)矩陣的次Schur補(bǔ)的一些性質(zhì),利用這些性質(zhì),探討次正定復(fù)矩陣次Schur補(bǔ)的一些行列式不等式.

在本文中,用Cn×n表示n階復(fù)矩陣集,表示A的共軛轉(zhuǎn)置,表示A的共軛次轉(zhuǎn)置,In表示n階單位矩陣,Jn表示次對(duì)角線上的元素均為1而其它元素為0的n階矩陣,|A|表示A的行列式,∥A∥表示A的行列式的模,記

A12為k(1≤k

由文獻(xiàn)[2-4],得到以下結(jié)論.

引理1設(shè)A,B∈Cn×n,有

(4)若存在可逆矩陣P∈Cn×n,使

2 次Schur補(bǔ)的性質(zhì)

定理1設(shè)

非奇異,則A關(guān)于A12的次Schur補(bǔ):

證明因?yàn)橛梢?得

由文獻(xiàn)[8]定理2.1,JnA關(guān)于Jn?kA21的Schur補(bǔ):

從而

定理2設(shè)

證明由假設(shè),H(A12)可逆,令

則

定理3設(shè)

非奇異,則

證明由于

且

從而有

推論1設(shè)

非奇異,則

定理4設(shè)

證明

由恒等式[10]:

3 有關(guān)行列式不等式

引理2則對(duì)于充分小的ε>0,有并且當(dāng)ε→0時(shí),有

證明由對(duì)充分小的ε>0,顯然有.假設(shè)A的次特征值為其中存在n階酉矩陣U,使

那么

當(dāng)ε→0時(shí),

定理5設(shè)A,BB為半次正定次Hermite矩陣,則當(dāng)n>2時(shí),

證明當(dāng)B為次正定次Hermite矩陣,由JnA>0,JnB為正定次Hermite矩陣及文獻(xiàn)[8]推論3.1得當(dāng)n>2時(shí),

∥JnA+JnB∥≥∥JnA∥+∥JnB∥,從而有∥A+B∥≥∥A∥+∥B∥;

例如若取次正定復(fù)矩陣:

次正定次Hermite矩陣:

那么

顯然n=3,且∥A+C∥=20≥∥A∥+∥C∥=5,結(jié)論也成立.

推論2設(shè)A,B為半次正定次Hermite矩陣,則當(dāng)n>2時(shí),

(1)∥A?B∥≤∥A∥?∥B∥;

(2)∥A∥≥∥B∥.

證明(1)因由定理5,當(dāng)n>2時(shí),

∥A∥=∥(A?B)+B∥≥∥A?B∥+∥B∥,

故∥A?B∥≤∥A∥?∥B∥成立.

(2)由(1),因∥A?B∥≥0,故∥A∥≥∥B∥.

定理6設(shè)

證明由定理1,由文獻(xiàn)[5]定理1,B為次正定次Hermite矩陣,可得為次正定次Hermite矩陣,從而

由定理4,

為n?k階半次正定次Hermite矩陣,由定理5,可得當(dāng)n?k>2時(shí),有

推論3設(shè)

證明(1)因

A=(A?B)+B,A12=(A12?B12)+B12,

從而有

(2)由(1)可知(2)成立.

[1]曹莉莉.次Hermite矩陣的次正定性[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,1996,21(3):235-238.

[2]宋乾坤.復(fù)矩陣的次正定性[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2001,18(1):51-54.

[3]郭華.次正定矩陣的判別[J].湖北大學(xué)學(xué)報(bào),2005,27(3):201-203.

[4]郭華,李慶玉.次正定復(fù)矩陣[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,23(4):347-350.

[5]于江明,謝清明.次正定Hermite矩陣次Schur補(bǔ)的性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)雜志,2006,26(2):185-19.

[6]Liu Jianzhou.Some inequalities for singular values and eignvalues of generalized Schur complements of products of matrices[J].L.A.A.,1999,293:233-241.

[7]劉建州,謝清明.矩陣廣義Schur補(bǔ)的復(fù)合矩陣的L¨owner偏序與奇異值[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2000,43(6):1071-1076. [8]袁暉坪.復(fù)正定矩陣的Schur補(bǔ)[J].高等數(shù)學(xué)研究,2000,3(2):33-36.

[9]王桂松,吳密霞,賈忠貞.矩陣不等式[M].北京:科學(xué)出版社,2005.

[10]屠伯塤.線性代數(shù)方法導(dǎo)引[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1986.

Some properties for sub-Schur complement of the subde fi nite complex matrix

Zheng Jianqing

(College of Science,Ninigbo University,Ningbo315211,China)

Using the complex matrix property of Schur complement and subde fi niteness,Some complex matrix properties of sub-Schur complement are discussed,and its several determinant inequalities are obtained.The relative results of subde fi nite sub-Hermite matrix in reference have been extended to subde fi nite complex matrix.

subde fi nite complex matrix,sub-Schur complement,subde fi nite sub-Hermite matrix, conjugate sub-transpose matrix

O151.21

A

1008-5513(2014)01-0045-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.01.008

2013-09-08.

寧波大學(xué)科研基金(理)(xkl1323,XYL13008).

鄭建青(1975-),碩士,講師,研究方向：矩陣?yán)碚?

2010 MSC:15A60