郭棟，李宗濤，許慶兵

（1.滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽滁州239000；2.廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，廣東廣州510403）

某類解析函數(shù)子類的Fekete-Szeg?不等式

郭棟1，李宗濤2，許慶兵1

（1.滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，安徽滁州239000；2.廣州民航職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，廣東廣州510403）

利用正實(shí)部函數(shù)的Fekete-Szeg?不等式，對D(λ，α，β)函數(shù)類上的系數(shù)泛函作了精確估計，在此基礎(chǔ)上得到了利用Hadamard卷積定義的新函數(shù)類上的Fekete-Szeg?不等式。

單葉函數(shù)；D(λ，α，β)函數(shù)；Fekete-Szeg?不等式；Hadamard卷積

1 引言及預(yù)備知識

令H表示形如

設(shè)f(z)和g(z)都在U內(nèi)解析。若存在U內(nèi)滿足|ω(z)|≤|z|的解析函數(shù)ω(z)，使得f(z)≡g(ω(z))，則稱f(z)從屬于g(z)，記作f(z)?g(z)。

算子Dτ首先由Ruscheweyh研究，也稱Ruscheweyh導(dǎo)數(shù)。Fekete和Szego¨［5］于1933年證明了如下結(jié)果。

定理A設(shè)f(z)∈S，f(z)由（1）式給出，則且對每個μ等號都成立。

文獻(xiàn)［6-8］研究了H中一些子類的Fekete-Szeg?問題。本文研究D(λ，α，β)函數(shù)類上的Fekete-Szeg?問題，本文中定理1推廣了文獻(xiàn)［3］中定理［2］的結(jié)果，并給出Hadamard卷積在其上的應(yīng)用。

為了導(dǎo)出文中主要結(jié)果，我們需要引用如下引理。

引理1[9]如果內(nèi)具有正實(shí)部的解析函數(shù)，則對任意的實(shí)數(shù)ν，有

引理中的估計是精確的，ν≤0和ν＞1時，其極值函數(shù)為

0＜ν≤1時，其極值函數(shù)為

引理2[10]如果內(nèi)具有正實(shí)部的解析函數(shù)，則對任意的復(fù)數(shù)ν，有。等號在函數(shù)或者時成立。

2 主要結(jié)果及證明

將f(z)，p(z)的冪級數(shù)展開式代入（2）式，比較恒等式兩邊z和z2的系數(shù)，可得

定理1的結(jié)果是精確的，對所有的μ等號都成立。當(dāng)μ≤δ1或μ≥δ2時，若λ＞0，對應(yīng)的極值函數(shù)為

若λ=0，對應(yīng)的極值函數(shù)為

當(dāng)δ1＜μ＜δ2時，若λ＞0，對應(yīng)的極值函數(shù)為

若λ=0時，對應(yīng)的極值函數(shù)為

注：令α=1時，定理1就是文獻(xiàn)［3］中的定理2。

由（5）式及引理2可得下面的定理。

定理2設(shè)f(z)∈H由（1）式給出，f(z)∈D(λ，α，β)，μ為復(fù)數(shù)，則有

且對所有的μ等號都能成立。

定理3設(shè)f(z)∈H由（1）式給出，時，則有

其中，δ1=，且對所有的μ等號都能成立。

類似于定理1的證明過程可證定理3。

由（5）式及引理2可得定理4。

定理4設(shè)f(z)∈H由（1）式給出，，μ為復(fù)數(shù)，則有

且對所有的μ等號都能成立。

推論1設(shè)f(z)∈H由（1）式給出，Dτf(z)∈D(λ，α，β)，則

（References）

［1］譚立云，張玉林.Bazilevic函數(shù)族的一個從屬關(guān)系及相應(yīng)極值問題［J］.延安大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，1994（4）：7-14.

［3］何維明.某類解析函數(shù)的Fekete-Szeg?不等式［J］.長沙交通學(xué)院學(xué)報，1994，10（3）：13-17.

［4］張小平，何建軍.一類解析函數(shù)的從屬關(guān)系及其應(yīng)用［J］.江西科學(xué)，2012，30（4）：429-431.

［5］FEKETE M，SZEG? G.Eine Bermerkung uberungerade schlichte functionen［J］.J London Math Soc，1933（8）：85-89.

［6］郭棟，李宗濤，楊家穩(wěn).一類解析函數(shù)類的Fekete-Szego¨問題［J］.華南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，44（4）：32-34.

［7］周從會.γ-星函數(shù)類的Fekete-Szeg?不等式［J］.安徽理工大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010（2）：75-78.

［8］崔志峰，劉名生.用卷積定義的解析函數(shù)子類的Fekete-Szeg?不等式［J］.數(shù)學(xué)雜志，2011，31（5）：954-961.

［9］MA W，MINDA D.A unified treatment of some special classes of univalent functions［C］//Li Z，Ren F，Yang L，et al.Pro?ceedings of the conference on complex analysis.Beijing：International Press Inc，1994：157-169.

［10］RAVICHANDRAN V，BOLCAL M，POLATOGLU Y，et al.Certain subclasses of starlike and convex functions of complex orde［rJ］.Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics，2005，34：9-15.

（責(zé)任編輯：強(qiáng)士端）

Fekete-Szeg? Inequalities for Certain Subclasses of Analytic Functions

GUO Dong1，LI Zongtao2,XU Qingbing1
（1.Foundations Department，Chuzhou Vocational and Technical College，Chuzhou 239000，Anhui，China；
2.Foundations Department，Guangzhou Civil Aviation College，Guangzhou 510403，Guangdong，China）

The coefficient of fonctionelleon the class ofD(λ，α，β)functions was accurate? ly estimated，usingFekete-Szeg?inequality for the class of real component functions.On this basis，F(xiàn)ekete-Szeg?inequalities for the classes of functions defined by Hadamard convolution were obtained.

univalent function；D(λ，α，β)function；Fekete-Szeg?inequality；Hadamard convolu?tion

O174.51

A

1673-0143（2014）02-0027-04

2013-11-18

安徽省高校自然科學(xué)基金項(xiàng)目（KJ2012Z300）

郭棟（1976—），男，講師，碩士，研究方向：復(fù)分析及其應(yīng)用。