劉紫紅

（河南工業(yè)和信息化職業(yè)學(xué)院河南工程技術(shù)學(xué)校建筑工程系，河南焦作454000）

用最小勢能原理求解支承系統(tǒng)問題

劉紫紅

（河南工業(yè)和信息化職業(yè)學(xué)院河南工程技術(shù)學(xué)校建筑工程系，河南焦作454000）

利用彈性力學(xué)中的疊加原理和等效原理，將支撐系統(tǒng)看作一個整體來研究，基于彈性力學(xué)中的能量守恒原理，以約束力為橋梁，假定各個約束力是依次作用于支撐系統(tǒng)，借助多個位移的疊加，推導(dǎo)出了支承系統(tǒng)的勢能泛函公式，并利用最小勢能原理，給出了求解支承系統(tǒng)問題的一種新算法。該算法簡便、準(zhǔn)確，能夠較為廣泛地應(yīng)用于各類工程計算。

支承系統(tǒng)；勢能；位移；最小勢能原理；疊加原理

0 引言

工程中有很多支承系統(tǒng)都可以看作圖1所示的模型，比如多根梁所組成的支承系統(tǒng)問題以及彈性地基梁的計算等［1-5］。

對于圖1所示系統(tǒng)，常規(guī)方法只能將整個彈性系統(tǒng)看作一根梁，通過假設(shè)曲線方程進(jìn)行求解。但是，實(shí)際問題中，彈性系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)多樣化，所需參量較多，計算量太大，因此常規(guī)方法使用起來非常困難［6-9］。

筆者通過計算或試驗測出彈性系統(tǒng)對外的力學(xué)特征，然后以約束力為橋梁，借助于多個位移的疊加，推導(dǎo)出了支承系統(tǒng)的勢能泛函公式，利用最小勢能原理為求解此類問題提供了一種新算法。

圖1 支承系統(tǒng)示意圖Fig.1 Sketch of a supporting system

1 勢能泛函公式的推導(dǎo)

將圖1所示系統(tǒng)簡化為圖2所示的模型。已知梁AB下面有4根彈簧，梁AB的長度為l，外力F作用于梁AB，且作用點(diǎn)與點(diǎn)A的距離為a，下面將推導(dǎo)出該系統(tǒng)的勢能泛函公式。

圖2 系統(tǒng)模型受力示意圖Fig.2 Sketch of force in model system

1.1 梁AB的形變勢能及外力勢能

首先以梁AB作為研究對象，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，梁AB方向為x軸正方向建立坐標(biāo)系，并記彈簧（自左向右）對梁AB所產(chǎn)生的約束力分別為F1、F2、F3、F4，則梁AB的受力情況如圖3所示。

圖3 梁AB的受力示意圖Fig.3 Sketch of force on beam AB

記外力F作用下梁AB的變形（即位移曲線）為y=w(x)，記外力F的勢能為ε1，梁AB產(chǎn)生變形后自身所蘊(yùn)含的彈性勢能為ε2，則

其中，E為梁AB的拉壓彈性模量，I為梁AB截面的慣矩。

1.2 彈簧的形變勢能

下面以4根彈簧為研究對象，約束力F1、F2、F3、F4對于4根彈簧來說是外力。根據(jù)彈性力學(xué)的等效原理，形變勢能的大小與彈性體的受力順序無關(guān)，而完全取決于外力及形變的最終大小。所以在此可以假定4個外力是按從左到右的順序依次作用于4根彈簧。

4個外力所做的功分別記為Ui() i=1，2，3，4，則外力在彈簧變形過程中所做的功分別為

式中，Δij表示力Fj在第i根彈簧處產(chǎn)生的位移。依據(jù)彈性力學(xué)中的疊加原理，對上面各式求和可得全部Fi（i=1，2，3，4）所做的功，記為U，則

設(shè)彈簧（自左向右）的彈性系數(shù)分別為k1、k2、k3、k4，則有

將式（5）代入式（4），可得

在全部Fi（i=1，2，3，4）的作用下，4根彈簧的總位移分別記為Δi（i=1，2，3，4），則

記

式中qij是力Fj在第i根彈簧處產(chǎn)生的位移與力Fj在第j根彈簧處產(chǎn)生的位移之比。

將式（8）改寫為

將式（9）代入式（6），可得

將式（9）代入式（10），并記

則有

式中

將式（10）寫成矩陣形式

式中

將式（12）代入式（14），可得

式（16）是全部Fi（i=1，2，3，4）所做的功，F(xiàn)i（i=1，2，3，4）對于系統(tǒng)來說是約束力，其所做的功等于4根彈簧的形變勢能，所以U實(shí)際上是以位移表示的所有彈簧的形變勢能表達(dá)式?？梢钥闯?，式（16）和有限單元法中的勢能計算公式十分相似。

1.3 系統(tǒng)總勢能

系統(tǒng)總勢能為外力勢能、梁AB的形變勢能以及4根彈簧的形變勢能之和。記系統(tǒng)總勢能為ε，則

顯然，總勢能是位移w(x)的泛函。

2 勢能泛函公式的應(yīng)用

式（18）是關(guān)于參量an(n=0，1，…，5)的多元一次方程組，代入具體數(shù)據(jù)可以求得各個待定參量an，并最終得到w(x)的表達(dá)式，以此進(jìn)一步還可以求出梁AB的約束力分布。

3 算例

在圖4中，簡支梁AB長l=9 m，力F作用點(diǎn)與點(diǎn)A的距離a=5 m，梁AB與梁CD的力學(xué)特征相同，二者之間有兩根剛性桿相連，且剛性桿位于三等分點(diǎn)處。已知梁的拉壓彈性模量E=210 GPa，慣性矩I=1780 cm4，外力F=100 kN。試通過上面方法計算梁AB的位移曲線。

圖4 剛性桿支承系統(tǒng)示意圖Fig.4 Sketch of supporting system with rigid bars

解在本題中，梁AB的位移表達(dá)式沿用上面算法推導(dǎo)過程中的假設(shè)。利用材料力學(xué)的結(jié)論，容易得出該支承系統(tǒng)中的參量計算公式如下：

利用上面算法，結(jié)合相應(yīng)邊界條件，可得梁AB的位移表達(dá)式為

梁AB的位移曲線見圖5（圖中位移為負(fù)數(shù)，表示位移方向朝下）。

圖5 梁AB的位移示意圖（算例）Fig.5 Sketch of displacement of beam AB（example）

說明：算例中的計算是依據(jù)文中所推導(dǎo)的公式，利用編寫Mathematica程序進(jìn)行計算和繪圖。

通過算例可以看出，筆者所提供的新算法推導(dǎo)過程規(guī)范，利用數(shù)學(xué)軟件計算方便，能夠較好地反映支承系統(tǒng)中梁的變形情況，因此具有較高的應(yīng)用價值。

（References）

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［5］王有凱，劉紫紅，梁為民.用最小勢能原理求解半空間地基及地基梁問題［J］.河南理工大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，30（4）：462-466.

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［7］王國體，賴煥楓，胡志專，等.雙參數(shù)彈性地基梁有限差分法及變形、反力特征［J］.合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2004，27（1）：35-39.

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（責(zé)任編輯：陳曠）

Solutions of Supporting System with Principle of Minimum Potential Energy

LIU Zihong
（Department of Building Engineering，Henan Engineering Technical School，Henan College of Industry and Information Technology，Jiaozuo 454000，Henan，China）

Using the superposition principle and equivalence principle of elastic mechanics，take the supporting system as a whole to study it，based on the priciple of energy conservation of elastic mechanics，the potential energy functions for the supporting system are derived by applying the theo?rem of superposition for multiple displacements under the assumption that every internal force is act?ing on the supporting system in turns.A new algorithm for the supporting system is also obtained by using the principle of minimum potential energy.This algorithm is simple，accurate，and can be widely used in various types of engineering calculations.

supporting system；potential energy；displacement；principle of minimum potential energy；superposition principle

TU472

A

1673-0143（2014）04-0030-05

2014-04-21

河南省高等學(xué)校深部礦井建設(shè)重點(diǎn)學(xué)科開放實(shí)驗室開放基金項目（2013KF-01）

劉紫紅（1980—），女，助教，碩士，研究方向：結(jié)構(gòu)工程。