高攀東，陳曉陽，沈雪瑾，叢偉，張小玲

(1.上海大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院，上海 200072;2.蘇州軸承廠有限公司，江蘇 蘇州 215129)

隨著軸承設(shè)計和制造水平的不斷提高，對軸承可靠性的要求也越來越高。尤其是用于航空航天和軍工等領(lǐng)域的軸承產(chǎn)品，一般具有長壽命、高可靠性的特點，由于研發(fā)和試驗成本、試驗周期、試驗條件等各方面因素的限制，這些軸承無法進行大量試驗，常進行小樣本可靠性試驗。

工程實踐中，一般認為樣本容量n<30為小樣本[1]。但用在一些特殊場合的軸承產(chǎn)品，允許投入試驗的樣本量更少(n≤10)，這種情況下要選用合適的小樣本數(shù)據(jù)分析方法。

目前，小樣本參數(shù)估計常見方法主要有Bayes法[2]、Bootstrap法[3]、Bayes Bootstrap法[4]和Monte Carlo仿真法。自助法或隨機加權(quán)法大多針對正態(tài)分布進行研究，Bayes法多用于信息融合。文獻[5]提出了針對小樣本定時截尾下的自助最大熵法，該方法主要進行區(qū)間估計。文獻[6-7]提出了基于極大似然估計的修偏方法。文獻[8]在Weibull分布小樣本定時截尾情形下對最小二乘估計法、加權(quán)最小二乘估計法、極大似然估計法、基于極大似然估計法的修偏估計法和矩估計法研究后發(fā)現(xiàn)矩估計法優(yōu)于其他方法，但其估計結(jié)果均有偏差。文獻[9]在矩估計的基礎(chǔ)上提出了中值無偏矩估計法(Median Unbiased Moment Estimation, MUME)，對矩估計法的評估結(jié)果進行一定的修偏，使之更適合于小樣本數(shù)據(jù)的分析。文獻[10]根據(jù)圖解法原理提出了一種針對小樣本數(shù)據(jù)的可靠性分析方法，即基于最小二乘法的中位秩法(The Least Square of Rank,LSR) ，該方法適用于樣本量n≤20時的近似中位秩公式。文獻[11]建議在樣本量n≤25時采用最佳線性不變估計法(Best Linear Invariant Estimate,BLIE)，其適用于定數(shù)截尾。

下文主要針對軸承在小樣本情況下(n≤10)的可靠性評估問題，將BLIE法、MUME法和LSR法進行比較分析，找到各自的適用范圍，為軸承的可靠性試驗數(shù)據(jù)處理尋找相對較好的分析方法，為實際應(yīng)用提供理論指導(dǎo)。

1 Weibull分布可靠性評估

Weibull分布是壽命數(shù)據(jù)分析中應(yīng)用最廣泛的分布之一，大多數(shù)電子產(chǎn)品、機械產(chǎn)品等的壽命都服從Weibull分布，其分布函數(shù)為

(1)

式中：t為壽命；η為尺度參數(shù)，表示可靠度R=0.367 9時對應(yīng)的壽命值，η=t0.367 9；β為形狀參數(shù)，反映函數(shù)的離散程度，β值越大，函數(shù)分布越集中。由Weibull分布函數(shù)可知，其可靠度函數(shù)、概率密度函數(shù)和失效率函數(shù)分別為

(2)

(3)

(4)

根據(jù)一組小樣本試驗數(shù)據(jù)，估計出Weibull分布的2個參數(shù)β和η，將其代入(2)式即可算出Weibull型產(chǎn)品的可靠度R。Weibull分布的概率密度函數(shù)分布圖如圖1所示。

圖1 形狀參數(shù)β對分布函數(shù)的影響

由圖1可知，形狀參數(shù)β>1時，函數(shù)有一個峰值。根據(jù)軸承制造部門提供的數(shù)據(jù)[12]，β=1.32(ISO推薦β取1.1～1.5)；對于球軸承β=10/9，對于滾子軸承β=9/8[13]。文中的模擬參數(shù)都是基于β>1的情況。

2 小樣本參數(shù)估計方法

2.1 BLIE法

(5)

(6)

式中：n為樣本容量；tin是在容量為n下的第i個試件的壽命值。

2.2 MUME法

對n個試件進行定時截尾試驗，當(dāng)試驗進行到預(yù)先設(shè)定的截尾時間T時，得到一系列觀察值t1,t2,…,tr，其中有r個數(shù)據(jù)是失效數(shù)據(jù)，而剩余的n-r個未失效數(shù)據(jù)均等于截止時間T。則根據(jù)矩估計法可得估計值為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

2.3 LSR法

該方法的本質(zhì)是圖解法，即將失效數(shù)據(jù)運用中位秩法求得失效率后，再利用最小二乘法對數(shù)據(jù)進行回歸分析，從而得到小樣本下的可靠性評估。其原理是將Weibull分布函數(shù)經(jīng)過一系列的變換后，把ti～F(ti)的關(guān)系轉(zhuǎn)變成xi～yi的關(guān)系。應(yīng)用LSR進行Weibull可靠性分析過程與傳統(tǒng)的應(yīng)用Weibull概率紙?zhí)幚頂?shù)據(jù)的過程類似，其分析步驟如下：

(1)將失效時間ti(廣義)按從小到大順序排列；

(2)將數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，令xi=lnti；

(5)數(shù)據(jù)點[ti，F(xiàn)(ti)]變?yōu)閇xi,yi]，應(yīng)用LSR法擬合該組數(shù)據(jù)；

(6)得出分布函數(shù)的2個參數(shù)估計值β和η。

文中采用文獻[11]中的近似中位秩公式進行計算。

3 3種方法的對比分析

BLIE法是基于定數(shù)截尾提出的，而MUME法是基于定時截尾的，LSR法兩種情況都適用。因此要統(tǒng)一三者的適用條件才能進行對比分析。

3.1 定數(shù)截尾與定時截尾

在一定的樣本容量和分布母體下，使某一樣本結(jié)構(gòu)出現(xiàn)最大概率的截尾時間為某一區(qū)間上的任意值[8]。如果試驗中的定時截尾時間在該區(qū)間內(nèi)，則定時截尾與定數(shù)截尾是統(tǒng)一的。當(dāng)試驗選定失效數(shù)時，對應(yīng)的定時截尾時間也就確定了，反之亦然。在該情況下的試驗數(shù)據(jù)符合3種分析方法，下文Monte Carlo模擬仿真基于這一結(jié)論進行。

3.2 Monte Carlo模擬試驗及結(jié)果對比分析

選取樣本量n=4，6，8和10分別對3種方法進行Monte Carlo模擬試驗，仿真選取形狀參數(shù)和尺度參數(shù)為β=3，η=10 000。為了比較不同方法的優(yōu)劣，采用高可靠度范圍內(nèi)的k個檢測時刻的可靠度估計值與真值(可靠度值在[0.9,1]內(nèi))進行比較，記為

(12)

護士應(yīng)叮囑患者在術(shù)前6小時，禁食禁水，使胃腸道處于排空狀態(tài)。在術(shù)前3小時，禁止患者服用抗凝藥物，以免在術(shù)中出現(xiàn)血流不止現(xiàn)象，增加手術(shù)患者的風(fēng)險。此外，還應(yīng)對手術(shù)患者進行常規(guī)備皮準備，并詳細向患者講解心臟起搏器工作原理以及治療方案，取得患者的理解的配合，提高手術(shù)治療效果。

參數(shù)估計值β=3，η=10 000，樣本量n=10時，不同失效數(shù)r下3種方法的評估結(jié)果對比如圖2所示。

圖2 評估結(jié)果隨失效數(shù)r變化的情況對比

由圖2可知，失效數(shù)相同時，BLIE法的估計結(jié)果最優(yōu)，MUME法次之，LSR法最差。樣本量相同時(n=10)，隨失效數(shù)的增加，BLIE法和MUME法的評估結(jié)果越來越好，而LSR法的誤差卻有增大的趨勢。以MS≤5%作為評價指標，BLIE法和MUME法的評估結(jié)果均合格，LSR法的評估結(jié)果不合格，因此，當(dāng)樣本量n≤10時，LSR法不適用。

當(dāng)失效數(shù)r一定(r=4，即T=8 000 h)時，3種方法的評估效果隨樣本量變化的規(guī)律如圖3所示。

圖3 評估結(jié)果隨樣本量n變化的情況對比

由圖3可知，當(dāng)失效數(shù)r不變時，3種方法的平均誤差均隨樣本量的增加而減小。以MS≤5%作為評價指標，BLIE法適用于n>6的情況，MUME法適用于n≥8的情況，當(dāng)樣本量n≤10時，LSR法仍不適用。LSR法是基于數(shù)據(jù)點進行曲線擬合，如果失效數(shù)或者樣本量較少，則擬合效果差，導(dǎo)致評估結(jié)果差。

3.3 參數(shù)變化時的評估結(jié)果對比分析

為了說明分析規(guī)律的一般性，現(xiàn)將Monte Carlo模擬參數(shù)變?yōu)棣?1.5，η=4 000。兩種情況下的截尾時間分別為4 000 h和10 000 h，樣本量n=8，失效數(shù)r=6，仿真及計算過程均同上，Weibull分布參數(shù)變化時的評估結(jié)果規(guī)律見表1。

表1 不同參數(shù)下3種方法的評估結(jié)果對比

由表1可知，當(dāng)參數(shù)變化時，3種方法的評估結(jié)果及規(guī)律不變，BLIE法最好，MUME法次之，LSR法最差。隨著參數(shù)的增大，3種方法的分析誤差均隨之增大，但仍是BLIE法的誤差最小，MUME法次之，LSR法最大。

如果還以MS≤5%作為評價指標，在Weibull參數(shù)較小的情況下，3種方法適用的最小樣本量更小。對于一批給定的軸承，先大致確定Weibull分布參數(shù)的取值范圍，從而確定最小樣本量。

3.4 極小樣本情況下的對比

為了找到更適用于極小樣本下的可靠性評估方法，取模擬參數(shù)(β，η)為(2, 4 000)，樣本量n=5，仿真及計算過程同上，3種方法的評估結(jié)果見表2。

由表2可知，在極小樣本下，3種方法的評估效果及規(guī)律仍同前文所述。由于參數(shù)變小，BLIE法在樣本n=5時也滿足MS≤5%，另外兩種方法的誤差仍然較大。

表2 極小樣本下3種方法的評估結(jié)果對比

4 實例分析

已觀測到5套陀螺電動機轉(zhuǎn)子軸承的失效時間由小到大依次為1 313,2 288,2 472,2 506,3 382 h[15]。按前文所述的方法將數(shù)據(jù)處理成定時截尾數(shù)據(jù)，同時滿足定數(shù)截尾。取定時截尾時間為3 000 h，即失效數(shù)r=4。分別用3種方法處理上述數(shù)據(jù)，并將完全樣本數(shù)據(jù)用極大似然估計法處理，3種方法的估計結(jié)果與極大似然估計結(jié)果對比見表3，其中，極大似然的估計結(jié)果為β=4.168，η=2 637.18。

表3 3種方法的評估結(jié)果與極大似然估計法對比

由表3可知，BLIE法的誤差最小，LSR法最大；樣本量和失效數(shù)增加，所得結(jié)果均符合要求。由于極大似然估計采用完全樣本信息，其他3種方法只用了一半的時間信息，估計誤差仍不到5%，由此說明3種方法對小樣本的適用性。

5 結(jié)論

當(dāng)樣本量(n≤10)和失效數(shù)變化時，3種方法的評估結(jié)果中BLIE法最優(yōu)、MUME法次之、LSR法最差。BLIE法和MUME法的計算均較復(fù)雜，但BLIE法程序用時比MUME法長，LSR法計算速度最快，但誤差太大，不適用于小樣本或極小樣本的精確估計。

3種方法在小樣本下的評估結(jié)果都存在一定的誤差，隨樣本量和失效數(shù)的增加誤差均減小。以MS≤5%為評價指標，BLIE法適用于樣本量n>6的情況，MUME法適用于樣本量n≥8的情況，LSR法在樣本量n≤10時不適用。

由于估計誤差隨Weibull分布參數(shù)的增大有增大的趨勢，所以適用于3種方法的最小樣本量隨參數(shù)的增加而增大，對小樣本可靠性試驗中選擇最小樣本量有一定的指導(dǎo)意義。