柯西中值定理的新證明*

蔣葉聰， 張曉青， 江蓉華

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

1 預(yù)備知識(shí)

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，是數(shù)學(xué)分析中十分重要的內(nèi)容，也是微分學(xué)的基本定理之一. 關(guān)于柯西中值定理的證明，一般是構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用羅爾定理得出結(jié)果[1]，也有學(xué)者利用其它方法來證明定理. 宋鐵莎運(yùn)用連續(xù)函數(shù)的介值定理、單調(diào)有界定理給出了柯西中值定理的一個(gè)證明[2].張玉忠應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和閉區(qū)間套定理給出了柯西中值定理的又一證法[3].黃德麗用5種不同的方法證明了柯西中值定理[4]. 這些證明方法拓寬了柯西中值定理的證明思路，同時(shí)，探索如何利用新的方法證明柯西中值定理也十分有意義.

近年來，許多學(xué)者探索出了新的利用完備性定理的方法來證明柯西中值定理. 2005年，張彩霞對區(qū)間套定理給出一個(gè)推論，然后建立了4個(gè)引理并在此基礎(chǔ)上通過構(gòu)造區(qū)間套依次證明了羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理[5]. 2012年，張琳和郭三剛通過反證法給出了羅爾定理和拉格朗日中值定理的證明并利用拉格朗日中值定理證明了柯西中值定理[6]. 通過完備性定理證明柯西中值定理的方法有很多，但至今沒有通過有限覆蓋定理證明柯西中值定理的方法. 1991年，曲立學(xué)利用有限覆蓋定理證明了拉格朗日中值定理[7]，基于文獻(xiàn)[7]的思想，利用有限覆蓋定理和達(dá)布定理[8]，通過構(gòu)造新的輔助函數(shù)，并利用反證法，結(jié)合連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，給出了柯西中值定理一種新的證明方法.

引理1[8]達(dá)布定理(導(dǎo)函數(shù)的介值定理) 設(shè)y=f(x)在(A，B)區(qū)間中可導(dǎo)，又設(shè)[a，b]包含于(A，B)，且f ′(a)

引理2[1](有限覆蓋定理) 若開區(qū)間所成的區(qū)間集E覆蓋一個(gè)閉區(qū)間[a，b]，則總可以從E中選出有限個(gè)開區(qū)間，使這有限個(gè)開區(qū)間覆蓋[a，b].

2 定理的證明

柯西中值定理：若f(x)與g(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，并且g′(x)≠0，則在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得

證明因?yàn)閷θ我鈞∈[a，b]，g(x′)≠0，故g(a)≠g(b).

下面證明存在x∈(a，b)，使得F′(x)=A.

若對任意的x∈(a，b)，F(xiàn)′(x)≠A，則有3種情況之一成立：(1) F′(x)>A；(2) F′(x)

由引理1可得：若 (3) 成立，則存在x0∈(x′，x″)?(a，b)，使得F′(x0)=A，矛盾.可知 (3) 不成立.

從而F(x1)-F(d)>A(x1-d)；F(y1)-F(x1)>A(y1-x1)；F(x2)-F(y1)>A(x2-y1)；…；F(b-ε)-F(xn)>A(b-ε-xn).等式左右兩端相加可得F(b-ε)-F(d)>A(b-ε-d). 因?yàn)镕(x)在b點(diǎn)連續(xù)，所以F(b)-F(d)≥A(b-d)，同理可得F(d)-F(c)>A(d-c)；F(c)-F(a)≥A(c-a)；故：F(b)-F(a)>A(b-a)=F(b)-F(a)，矛盾.

同理可證，若F′(x)

參考文獻(xiàn)：

[1] 歐陽光中，朱學(xué)炎，金福臨，等. 數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1987

[2] 宋鐵莎. 柯西中值定理的一個(gè)證明[J]. 廣西師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1994，12(2)：30-32

[3] 張玉忠. Cauchy中值定理的又一證法[J]. 重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1994，11(3)：11-13

[4] 黃德麗. 用五種方法證明柯西中值定理[J]. 湖州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，25：27-31

[5] 張彩霞. 區(qū)間套定理在證明中值定理中的應(yīng)用[J]. 哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2005，21(6)：794-796

[6] 張琳，郭三剛. 微分中值定理及微分 Darboux 定理新證明方法[J]. 陜西理工學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，28(2)：67-71

[7] 曲立學(xué). 覆蓋定理的若干簡單應(yīng)用[J]. 齊齊哈爾師范學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，1991，11(3)：1-4

[8] 劉三陽，于力，李廣明. 數(shù)學(xué)分析選講[M]. 北京：科學(xué)出版社，2007