楊 星 星

(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 宿州 234000)

首先給出抽油桿振動(dòng)模型，再用模型推導(dǎo)由懸點(diǎn)示功圖轉(zhuǎn)化為泵功圖的過程，包括原始數(shù)據(jù)處理、邊界條件、初始條件、連接條件以及求解算法。

1 抽油桿振動(dòng)模型

在一維情況下，有桿抽油系統(tǒng)模型就是指抽油桿的振動(dòng)模型。模型包括：波動(dòng)方程、上下邊界條件、初始條件和連接條件(多級桿結(jié)構(gòu))。

1.1 波動(dòng)方程

Gibbs提出了一維粘滯阻尼波動(dòng)方程作為描述抽油桿運(yùn)動(dòng)和應(yīng)力傳播的基本微分方程。其方程[1]為

(1)

1.2 上下邊界條件

模型的上邊界條件由抽油機(jī)懸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律所決定。設(shè)U(t)為懸點(diǎn)的位移函數(shù)，則模型的上邊界條件為

u(x，t)|x=0=U(t)

(2)

模型的下邊界條件由井下泵的工作狀況決定。設(shè)Fp(t)為柱塞的載荷函數(shù)，則模型的下邊界條件為

F(x，t)|x=L=Fp(t)

(3)

1.3 初始條件

假設(shè)系統(tǒng)在啟動(dòng)前，抽油桿從驢頭上自由懸掛于充滿液體的油管中，并且驢頭從下死點(diǎn)開始向上運(yùn)動(dòng)，即初始時(shí)刻位移與速度均為零，則模型的初始條件[2]為

(4)

1.4 連接條件

對于多級桿柱結(jié)構(gòu)，兩桿連接處的載荷與位移連續(xù)條件應(yīng)滿足：上級抽油桿底端與下級抽油桿頂端的載荷、位移都是始終相等的，其數(shù)學(xué)關(guān)系式如下：

(5)

1.5 完整的數(shù)學(xué)模型

由式(1)-(5)構(gòu)成了有桿抽油系統(tǒng)完整的數(shù)學(xué)模型，即：

(6)

2 模型求解

采用分離變量傅里葉變換法求解波動(dòng)方程。

(7)

根據(jù)胡克定律，式(7)可寫成：

(8)

波動(dòng)方程上邊界條件的傅里葉級數(shù)形式如下：

(9)

式中：N表示傅里葉級數(shù)的項(xiàng)數(shù)，取N=15；ν0，νn，δn，σ0，σn，τn(n=1，2，…，N)——傅里葉級數(shù).

式(9)中的6個(gè)傅氏系數(shù)由實(shí)測的D(t)和U(t)曲線數(shù)值積分求得，由于給定數(shù)據(jù)是離散的，故采用梯形法則進(jìn)行數(shù)值積分，下面以σn為例進(jìn)行計(jì)算。

給出連續(xù)曲線數(shù)值積分公式：

(10)

(11)

(12)

由函數(shù)的周期性可得：D0=Dk，cos0=cos2nπ，因此：

(13)

同理可求得其他3個(gè)傅氏系數(shù)：

(14)

(15)

(16)

式中：T表示抽汲周期；k表示2π周期內(nèi)等分的份數(shù)，即離散化的采樣點(diǎn)數(shù)；p表示從0到k各點(diǎn)序號。

以式(9)為邊界條件，用分離變量法求解方程(1)，便可得出抽油桿任意深度x斷面的位移隨時(shí)間的變化。求解步驟如下：

首先令U(x，t)=X(x)T(t)，X(x)和T(t)分別為僅含x和t的函數(shù)，將其代入波動(dòng)方程并整理可得：

(17)

(18)

方程組(18)中第一個(gè)等式的周期解為：T(t)=einωt，代入方程組第一個(gè)等式可得方程(17)的特解λn：

λn=-αn+iβn

(19)

式(19)中αn與βn為實(shí)數(shù)，其值為

(20)

(21)

當(dāng)n=0時(shí)，λ0=0，方程組(18)變?yōu)?/p>

(22)

其解為

(23)

方程組(18)中第二個(gè)等式解為諧波方程：

X(x)=φnsinλnx+θncosλnx

(24)

綜合以上各式，可求出方程式(17)的解為

(25)

經(jīng)過變換可得到Gibbs方程的解析解為

(26)

由胡克定律，抽油桿柱任意深度x斷面上的動(dòng)載荷隨時(shí)間的變化為

(27)

(28)

式(26)和(28)中的函數(shù)和系數(shù)如下：

On(x)=(knchβnx+δnshβnx)sinαnx+(μnchβnx+νnchβnx) cosαnx

(29)

Pn(x)=(knchβnx+δnchβnx) cosαnx+(μnchβnx+νnshβnx)sinαnx

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

根據(jù)U(x，t)與F(x，t)的解析式和x=L處邊界條件，可得單級桿的泵功圖。

粘滯阻尼系數(shù)公式由文獻(xiàn)[4]給出：

(35)

上述論述適合于單級桿，對于多級桿情況，需要對抽油桿的載荷做分級計(jì)算。首先計(jì)算第一級桿末端載荷與位移；然后以第一級桿末端為第二級初始及邊界條件，劃分第二級抽油桿，再計(jì)算其末端載荷與位移。以此類推，直至求出最后一級末端的載荷與位移，得出最終的泵功圖。根據(jù)力的連續(xù)性原理[5]，計(jì)算第二級桿載荷與位移所需的傅里葉系數(shù)與計(jì)算第一級桿系數(shù)的關(guān)系如下：

(36)

3 仿真分析

參考一實(shí)際油井進(jìn)行其示功圖與泵功圖仿真，結(jié)果如圖2泵功圖的圖形相對于示功圖的圖形發(fā)生了一定的扭曲，根據(jù)泵功圖的形變故障分析，扭曲是由于抽油桿受到慣性力的作用產(chǎn)生的。

圖1 計(jì)算泵功圖流程

圖2 油井的懸點(diǎn)示功圖和泵功圖

參考文獻(xiàn)：

[1] 岳廣韜.抽油機(jī)井地面示功圖量油技術(shù)研究[D].中國石油大學(xué)，2011

[2] 董世民，崔曉華.計(jì)算抽油泵充滿系數(shù)的新方法[J].石油機(jī)械，2002，30(1)：37-39

[3] 吳偉，陳國定，何焱，基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和灰度矩陣的泵功圖診斷[J].西安石油大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，22(3) ：14-17

[4] 張琪.基于泵功圖分析的有桿泵井故障診斷系統(tǒng)[D]. 大連理工大學(xué)，2011

[5] 萬仁博.采油工程手冊[M].北京：石油工業(yè)出版社，2000