Sharp增廣拉格朗日函數(shù)的局部鞍點(diǎn)

張 斐 婓

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

考慮非線性規(guī)劃問(wèn)題：

(P) minf(x)

s.t.g(x)=0

x∈X

其中X?Rn為非空閉集，函數(shù)f：Rn→R， g：Rn→Rm，g(x)=(g1(x)，…，gm(x))均二次連續(xù)可微，記R+，‖·‖，〈·，·〉分別表示非負(fù)實(shí)數(shù)集、歐幾里得范數(shù)及Rn上的歐氏內(nèi)積.

1 研究背景

原始-對(duì)偶方法是解決約束非線性規(guī)劃問(wèn)題的一種重要方法，但非凸情形下，原問(wèn)題和對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)解可能不相等，即存在非零對(duì)偶間隙[1，2].克服這一缺陷的重要途徑，便是增廣拉格朗日方法，如文獻(xiàn)[3]，[4]和[5]就在一定的條件下證明了零對(duì)偶性間隙等價(jià)于增廣拉格朗日函數(shù)鞍點(diǎn)的存在性.受此啟發(fā)，此處研究了在二階充分性條件下sharp增廣拉格朗日函數(shù)的局部鞍點(diǎn)的存在性.

定義1 問(wèn)題(P)的增廣拉格朗日函數(shù)為L(zhǎng)：Rn×Rm×R+→R；L(x，λ，c)=f(x)+c‖g(x)‖+〈λ，g(x)〉，其中x∈Rn，λ∈Rm，c∈R+.

定義2 對(duì)某個(gè)c>0，(x*，λ*)稱為L(zhǎng)的局部鞍點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)?δ>0，使L(x*，λ，c)≤L(x*，λ*，c)≤L(x，λ*，c)對(duì)?(x，λ，c)∈X∩N(x*，δ)×Rm×R+成立，N(x*，δ)為x*的鄰域.

2 局部鞍點(diǎn)與局部最優(yōu)解之間的關(guān)系

定理1 ?x*∈X存在λ*∈Rm及c>0使(x*，λ*)為L(zhǎng)的局部鞍點(diǎn)，則x*為(P)的局部最優(yōu)解.

證明因?yàn)?x*，λ*，c)是(P)的局部鞍點(diǎn)，即

L(x*，λ，c)≤L(x*，λ*，c)

(1)

L(x*，λ，c)≤L(x，λ*，c)

(2)

由式(1)，f(x*)+c‖g(x*)‖+〈λ，g(x*)〉≤f(x*)+c‖g(x*)‖+〈λ*，g(x*)〉.即〈λ，g(x*)〉≤〈λ*，g(x*)〉對(duì)一切λ∈Rm均成立.

若?i0∈{1，2，…，m}，使|gi0(x*)|≠0，有

(3)

或

(4)

令k→∞，式(3)(4)左端為+∞，矛盾，所以x*為(P)的可行點(diǎn).

由式(2)，當(dāng)x為(P)的可行點(diǎn)時(shí)，L(x*，λ*，c)=f(x*)≤L(x，λ*，c)=f(x)，所以x*是(P)的局部極小點(diǎn).

3 二階充分性條件

設(shè)x*是問(wèn)題(P)的一個(gè)可行點(diǎn)，

f(x*)>L(xk，λ*，k)=f(x*)+k‖g(xk)‖+〈λ*，g(xk)〉

即

o(‖xk-x*‖2)+k‖▽g(x*)T(xk-x*)+o(‖xk-x*‖)‖+

(5)

(6)

4 結(jié)束語(yǔ)

對(duì)非線性規(guī)劃問(wèn)題(P)，研究了sharp增廣拉格朗日函數(shù)在二階充分性條件下鞍點(diǎn)的存在性，為應(yīng)用原始-對(duì)偶方法創(chuàng)造了條件.

參考文獻(xiàn)：

[1] 袁亞湘，孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法[M].北京：科學(xué)出版社，1997

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[3] WU H X，LUO H Z. Saddle Points of General Augmented Lagrangians for Constrained Nonconvex Optimization[J].J Glob Optim，2012(53)：683-697

[4] LIU Q，TANG W M，YANG X M.Properties of Saddle Points for Generalized Augmented Lagrangian[J].Math Meth Oper Res ，2009(69)：111-124

[5] REGINA S. BURACHIK， RAFAIL N,et al.On a Modified Subgradient Algorithm for Dual Problems Via Sharp Augmented Lagrangian[J]. Journal of Global Optimization， 2006 (34)：55-78