張 睿 智

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)資源與安全工程學(xué)院，北京 100083)

“三關(guān)系法”在扭轉(zhuǎn)與彎曲分析中的應(yīng)用

張 睿 智

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)資源與安全工程學(xué)院，北京 100083)

對(duì)“三關(guān)系法”即變形幾何關(guān)系、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、靜力學(xué)關(guān)系進(jìn)行了名詞闡釋?zhuān)榻B了“三關(guān)系法”在扭轉(zhuǎn)與彎曲中的分析方法，并結(jié)合實(shí)例作了說(shuō)明，有助于實(shí)際工作及學(xué)習(xí)的參考應(yīng)用。

變形，應(yīng)力，靜力，關(guān)系，扭轉(zhuǎn)，彎曲

扭轉(zhuǎn)與彎曲來(lái)自于材料力學(xué)中最基本的兩種力的形式：剪切與拉壓，是構(gòu)成復(fù)雜材料變形的最簡(jiǎn)單變形形式?？梢哉f(shuō)，想學(xué)好材料力學(xué)這座高堂廣廈，扭轉(zhuǎn)與彎曲的地位就好比地基一般。同樣，在校核材料強(qiáng)度上，對(duì)扭轉(zhuǎn)和彎曲的應(yīng)力求取是必不可少的，然而較之于一般的剪切應(yīng)力和拉壓應(yīng)力的定義式求法，前者或需要更縝密的分析和計(jì)算。本文即將用“三關(guān)系法”向讀者介紹求取這兩種應(yīng)力的分析方法。所謂“三關(guān)系法”即“變形幾何關(guān)系—應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系—靜力學(xué)關(guān)系”分析方法。需要說(shuō)明的是，在如今的高等院校中，學(xué)生傾向于直接死記硬背求解應(yīng)力的公式，對(duì)推導(dǎo)過(guò)程一知半解，而實(shí)際上，了解求取過(guò)程有助于同學(xué)理解和記憶公式，同時(shí)掌握最根本的有限元分析法也是步入實(shí)際場(chǎng)景、進(jìn)入現(xiàn)實(shí)工作當(dāng)中必不可少的技能。

1 名詞釋義

1)變形幾何關(guān)系。變形幾何關(guān)系的研究對(duì)象是從變形體上截取的順應(yīng)變形的有限元，同樣遵循平截面假設(shè)和圣維南原理。我們將根據(jù)其變形前后在特定方向上的角度和長(zhǎng)度變化得到應(yīng)變表達(dá)式。

2)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系即胡克定律，它將應(yīng)力與應(yīng)變結(jié)合起來(lái)，通過(guò)應(yīng)變得到應(yīng)力。在這里，扭轉(zhuǎn)用到剪切胡克定律τ=Gγ，彎曲用到胡克定律σ=Eε。

3)靜力學(xué)關(guān)系。靜力學(xué)關(guān)系是通過(guò)對(duì)微元力的積分與力偶矩建立關(guān)系，并引入慣性矩的概念，最終將不可求的微元素轉(zhuǎn)化為可求解的量，是對(duì)胡克定律建立起的應(yīng)力表達(dá)式的完善。

2 “三關(guān)系法”在扭轉(zhuǎn)與彎曲中的分析方法

1)“三關(guān)系法”在扭轉(zhuǎn)中的分析方法。

a.變形幾何關(guān)系。如圖1所示為一僅受扭轉(zhuǎn)的軸的單元體，在距軸線為ρ的地方，根據(jù)幾何關(guān)系其切應(yīng)變?yōu)椋?/p>

γρdx=ρdφ。

即：

(1)

b.應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。切應(yīng)力與切應(yīng)變服從剪切胡克定律：

τ=Gγ

(2)

將式(1)代入式(2)可以求得距軸線為ρ處的切應(yīng)力為:

(3)

c.靜力學(xué)關(guān)系。圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，平衡外力偶矩的扭矩是由橫截面上無(wú)數(shù)的微剪力組成的。各微剪力對(duì)軸線之矩的總和，即為該截面上的扭矩，即：

T=∫AρτρdA

(4)

將式(3)代入式(4)得：

(5)

將式(5)代入式(3)得:

隨即得到剪切應(yīng)力公式。

2)“三關(guān)系法”在彎曲中的分析方法。

a.變形幾何關(guān)系。取微段梁來(lái)分析，其變形后的情況如圖2所示?，F(xiàn)研究距中性層y處縱向纖維b′b′的變形。

縱向線應(yīng)變?yōu)?

(6)

b.應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。正應(yīng)力與線應(yīng)變的關(guān)系服從胡克定律：

σ=Eε。

將式(6)代入得：

(7)

c.靜力學(xué)關(guān)系。確定中性軸的位置和曲率：

y軸為對(duì)稱(chēng)軸；z軸為中性軸，其位置暫未知；x軸為過(guò)原點(diǎn)且平行于軸線(見(jiàn)圖3)。

(8)

將式(7)代入式(8)得:

(9)

將式(9)代入式(7)得:

隨即得到彎曲應(yīng)力公式。

3 典例分析

以“三關(guān)系法”在扭轉(zhuǎn)中的應(yīng)用，我們來(lái)計(jì)算工程中常用的“U”形梁的剪切應(yīng)力(如圖4所示)，已知梁所受的扭矩T以及它的尺寸。

1)變形幾何關(guān)系。將“U”形梁補(bǔ)充成為截面為圓的梁，則其有限元同圖1，應(yīng)變表達(dá)式不變，如下：

γρdx=ρdφ。

即：

(10)

2)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。切應(yīng)力與切應(yīng)變服從剪切胡克定律：

τ=Gγ

(11)

將式(10)代入式(11)可以求得距軸線為ρ處的切應(yīng)力為：

(12)

3)靜力學(xué)關(guān)系。取截面上的微剪力，同樣積分得到扭矩表達(dá)式：

T=∫AρτρdA

(13)

將式(12)代入式(13)得:

(14)

將式(14)代入式(12)得:

(15)

現(xiàn)在，只需把ρ關(guān)于圖4截面的函數(shù)用MATLAB擬合出來(lái)，然后求積分∫AρdA，把結(jié)果代入式(15)即可。

4 結(jié)語(yǔ)

關(guān)于異形梁的應(yīng)力的求取我們可以采用“三關(guān)系法”，即變形幾何關(guān)系—應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系—靜力學(xué)關(guān)系。這種方法有效規(guī)避了學(xué)生死記硬背公式在實(shí)際場(chǎng)景中的尷尬，強(qiáng)化知識(shí)的理解，強(qiáng)調(diào)運(yùn)用，是互動(dòng)—啟發(fā)式教育的典型學(xué)習(xí)、分析方法。

[1] 北京科技大學(xué),東北大學(xué).工程力學(xué)材料力學(xué)[M].北京：高等教育出版社,2008.

[2] 宮偉力,趙帥陽(yáng),彭巖巖.工程力學(xué)的互動(dòng)啟發(fā)式教學(xué)法探討[J].科教文匯,2014(270)：49.

On application of “three-relation method” in analysis of torque and flexural loads

ZHANG Rui-zhi

(SchoolofResourcesandSafetyEngineering,ChinaUniversityofMiningandTechnology(Beijing),Beijing100083,China)

The paper introduces and interprets the “three-relation method”, including the geometrical relationship of deformation, the stress-strain relationship and the statics relation, introduces the analysis method of the method in the torque and flexural loads, and indicates by adopting some examples, so as to provide some reference for its application in work and study.

deformation, stress, statics, relation, torque, flexural load

1009-6825(2014)17-0047-02

2014-04-05

張睿智(1993- )，女，在讀本科生

TU311

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