郭子雪, 郭亮, 曾雪梅 , 齊美然

(1.河北大學(xué) 管理學(xué)院， 河北 保定 071002； 2.河北工業(yè)大學(xué) 電氣工程學(xué)院， 天津 300401)

應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)選址問(wèn)題是區(qū)域應(yīng)急物資儲(chǔ)備體系建設(shè)中的重要決策之一，將應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)置于合理的位置，不僅可以降低成本，而且能夠保證提供應(yīng)急物資的時(shí)效性，直接關(guān)系到應(yīng)急物流保障的反應(yīng)速度和區(qū)域應(yīng)急物資儲(chǔ)備體系建設(shè)的有效性．目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)選址方面做了大量的研究工作．文獻(xiàn)[1-2]研究了絕對(duì)P-Center問(wèn)題，提出了應(yīng)急限制期連續(xù)條件下的選址模型及其解法；文獻(xiàn)[3]通過(guò)分析突發(fā)事件應(yīng)急救援設(shè)施選址問(wèn)題的特點(diǎn)，建立了一個(gè)多目標(biāo)決策模型，整合了傳統(tǒng)選址模型中常用的最大覆蓋模型、P-中心模型和P-中值模型．文獻(xiàn)[4]利用集合覆蓋理論，通過(guò)構(gòu)建航空應(yīng)急網(wǎng)絡(luò)的關(guān)系矩陣，研究了航空應(yīng)急物資儲(chǔ)備點(diǎn)選址問(wèn)題．文獻(xiàn)[5]建立了以應(yīng)急響應(yīng)時(shí)間最小和出救點(diǎn)數(shù)目最少為決策目標(biāo)，帶時(shí)變供應(yīng)約束的多出救點(diǎn)選擇多目標(biāo)決策模型．文獻(xiàn)[6]針對(duì)服務(wù)設(shè)施經(jīng)常處于服務(wù)狀態(tài)的情況，在傳統(tǒng)的確定性集合覆蓋問(wèn)題模型的基礎(chǔ)上，提出了隨機(jī)條件下的集合覆蓋模型；文獻(xiàn)[7]提出了基于資源或資金限制的最大覆蓋問(wèn)題(maximal covering location problem，MCLP)，該模型研究了如何使最大數(shù)量的人口被覆蓋到，并將該模型應(yīng)用到西班牙Leon省的救護(hù)車基地選址中．文獻(xiàn)[8]在傳統(tǒng)的確定性選址模型的基礎(chǔ)上,提出了隨機(jī)需求情形下應(yīng)急設(shè)施選址問(wèn)題的風(fēng)險(xiǎn)最小化決策模型，并設(shè)計(jì)了模型的求解算法；文獻(xiàn)[9]建立了應(yīng)急設(shè)施選址問(wèn)題的2階段隨機(jī)混合整數(shù)規(guī)劃模型，提出了模型求解的啟發(fā)式算法．本文在現(xiàn)有研究基礎(chǔ)上，構(gòu)建了約束條件中含梯形模糊參數(shù)的應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)選址問(wèn)題的模糊多目標(biāo)決策模型，給出了模型的有效解法．

1 多目標(biāo)決策模型

1.1 問(wèn)題描述

設(shè)S1，S2，…，Sn為區(qū)域應(yīng)急物流系統(tǒng)中n個(gè)可供選擇的應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)選擇點(diǎn)，D1，D2，…，Dm為該應(yīng)急物流系統(tǒng)的m個(gè)應(yīng)急物資需求點(diǎn)．根據(jù)應(yīng)急管理的特點(diǎn)，假設(shè)應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)選擇點(diǎn)到應(yīng)急物資需求點(diǎn)的行車距離、運(yùn)輸費(fèi)用、各需求點(diǎn)的需求量以及每個(gè)應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)選擇點(diǎn)的容量等系統(tǒng)決策參數(shù)均可用梯形模糊數(shù)來(lái)表示．問(wèn)在應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)的容量受限條件下，應(yīng)如何選擇應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)的位置，才能使該應(yīng)急物流系統(tǒng)運(yùn)行總成本和應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)到達(dá)各應(yīng)急需求點(diǎn)的總距離達(dá)到最??？

根據(jù)突發(fā)事件應(yīng)急管理的特點(diǎn)，本問(wèn)題的討論作如下假設(shè)：

1)該問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是決策變量的線性關(guān)系，且其中的不確定性系統(tǒng)參數(shù)均為梯形模糊數(shù)形式．2)系統(tǒng)中的應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)候選點(diǎn)是確定的，每個(gè)應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)候選點(diǎn)的建設(shè)成本各不相同，且其應(yīng)急物資儲(chǔ)備具有容量限制．3)突發(fā)事件發(fā)生后系統(tǒng)中應(yīng)急需求點(diǎn)的需求量可以預(yù)測(cè)，各需求點(diǎn)的需求總量小于或等于系統(tǒng)中各應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)的儲(chǔ)備總量．4)考慮到突發(fā)事件發(fā)生后道路交通狀況會(huì)受到多種客觀因素的影響，從應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)到應(yīng)急需求點(diǎn)的運(yùn)輸距離是一模糊變量，用梯形模糊數(shù)表示．5)要求各應(yīng)急需求點(diǎn)由一個(gè)應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)提供應(yīng)急服務(wù)，不考慮應(yīng)急物資裝卸過(guò)程中消耗的時(shí)間．6)為了兼顧應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)的可及性以及資金受限條件下資金的利用效率，問(wèn)題的目標(biāo)是使應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)到達(dá)應(yīng)急需求點(diǎn)的總距離、應(yīng)急系統(tǒng)總的運(yùn)營(yíng)成本最小化．

1.2 模型的建立

1)模型參數(shù)的涵義

n表示應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)候選點(diǎn)的個(gè)數(shù)；m表示應(yīng)急需求點(diǎn)的個(gè)數(shù)；i表示應(yīng)急需求點(diǎn)集數(shù)量m的索引號(hào)；j表示應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)候選點(diǎn)集n的索引號(hào)；di表示第i個(gè)應(yīng)急需求點(diǎn)的需求量，是一梯形模糊數(shù)；sj表示第j個(gè)應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)候選點(diǎn)的容量，是一梯形模糊數(shù)；cij表示從第j個(gè)應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)候選點(diǎn)到達(dá)第i個(gè)應(yīng)急需求點(diǎn)的運(yùn)輸費(fèi)用，是一梯形模糊數(shù)；fj表示第j個(gè)應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)候選點(diǎn)的固定成本，包括儲(chǔ)備庫(kù)建設(shè)費(fèi)、運(yùn)營(yíng)管理費(fèi)等，是一梯形模糊數(shù)；dij表示從第j個(gè)應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)候選點(diǎn)到達(dá)第i個(gè)應(yīng)急需求點(diǎn)的運(yùn)輸距離，是一梯形模糊數(shù)；xij是0-1決策變量，當(dāng)需求點(diǎn)i由應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)候選點(diǎn)j提供服務(wù)時(shí)它取值為1，否則它取值為0．xj也是0-1決策變量，當(dāng)應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)候選點(diǎn)被選中時(shí)它取值為1，否則它取值為0．

2)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

基于上述假設(shè)，可得應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)選址問(wèn)題的模糊多目標(biāo)規(guī)劃模型：

(P1): minS=∑nj=1∑mi=1dijxij，

(1)

minC=∑nj=1∑mi=1cijxij+∑nj=1fjxj，

(2)

s．t． ∑nj=1xij=1,i=1,2,…,m，

(3)

xij-xj≤0,i=1,2,…,m；j=1,2,…，n，

(4)

∑mi=1dixij-sjxj≤0,j=1,2,…,n，

(5)

xij,xj∈{0,1},i=1,2,…,m;j=1,2,…,n，

(6)

其中，目標(biāo)函數(shù)(1)是使應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)到各應(yīng)急需求點(diǎn)的距離總和達(dá)到最小，它表示應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)對(duì)每個(gè)應(yīng)急需求點(diǎn)的有效性；目標(biāo)函數(shù)(2)是使應(yīng)急系統(tǒng)中應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)的固定費(fèi)用與可變費(fèi)用之和達(dá)到最小，它表示所利用資金的使用效率；約束條件(3)表示每個(gè)應(yīng)急需求點(diǎn)僅由一個(gè)應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)提供應(yīng)急物資；約束條件(4)表示僅對(duì)確定設(shè)立的應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)候選點(diǎn)指派需求點(diǎn)；約束條件(5)表示每個(gè)應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)提供應(yīng)急物資的能力不超過(guò)該應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)的容量限制，同時(shí)隱含應(yīng)急系統(tǒng)儲(chǔ)備總量大于等于應(yīng)急系統(tǒng)總的需求：∑nj=1sj≥∑mi=1dj；約束條件(6)表示決策變量xij,xj均為0-1變量．

2 區(qū)域應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)選址問(wèn)題的解法

對(duì)任意α∈[0,1]， 設(shè)梯形模糊數(shù)dij,cij,fj,di,sj的截集可表示為

根據(jù)區(qū)間數(shù)的排序規(guī)則[10]，約束條件(5)可轉(zhuǎn)化成2個(gè)不等約束

將上述結(jié)果代入多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題(P1)，可得該問(wèn)題最好的多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題(P2)

(7)

(8)

s．t． ∑nj=1xij=1,i=1,2,…,m,

(9)

xij-xj≤0,i=1,2,…,m；j=1,2,…，n,

(10)

(11)

(12)

xij,xj∈{0,1},i=1,2,…,m;j=1,2,…,n.

(13)

為了確定模糊多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題(P1)中模糊目標(biāo)的隸屬度函數(shù)，現(xiàn)構(gòu)造2個(gè)單目標(biāo)線性規(guī)劃問(wèn)題(P3)和(P4)：

s．t．式(9)—(13).

s．t．式(9)—(13).

令S0,C0分別為規(guī)劃問(wèn)題(P3)、(P4)的最優(yōu)值.

xij-xj≤0,i=1,2,…，m;i=1,2,…，n.

作輔助線性規(guī)劃問(wèn)題(P5) 和(P6)：

式(9)—(13).

式(9)—(13).

利用單純形法可以求出線性規(guī)劃問(wèn)題(P5)和(P6)的最優(yōu)解．令S1和S2分別表示線性規(guī)劃問(wèn)題(P5) 和 (P6)的最優(yōu)值，可得模糊多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題(P1)中目標(biāo)函數(shù)的容許區(qū)間：S0≤S≤S1;C0≤C≤C1.

定義模糊多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題(P1)模糊目標(biāo)的隸屬度函數(shù)：

μs(S)=1,S

1-S-S1S0-S1,S0≤S≤S1

0,S>S1，μc(C)=1,C

1-C-C1C0-C1,C0≤C≤C1

0,C>C1.

采用Bellman 和 Zadeh的極小算子，可以將多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題(P3)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)線性規(guī)劃問(wèn)題(P7)：

(P7): maxβ

s.t.μs≥β

由最佳一致逼近理論可知，該函數(shù)具有三個(gè)偏差點(diǎn)，即區(qū)間的兩端點(diǎn)xri-1與xri及區(qū)間內(nèi)某一點(diǎn).令xzri為區(qū)間[xri-1,xri]內(nèi)幅度相對(duì)誤差絕對(duì)值最大的一點(diǎn)，易知此點(diǎn)誤差函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為0.其中，εri為每個(gè)區(qū)間上幅度相對(duì)誤差最大值.基于最佳一致逼近理論并結(jié)合平方根函數(shù)的性質(zhì)，得出4個(gè)方程：

式(9)—(13).

求解模糊多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題(P1)的具體算法過(guò)程如下：

Step 1．寫(xiě)出模糊多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題(P1)梯形模糊參數(shù)dij,cij,fi,di,sj的α-截集.

Step 2． 對(duì)于給定的α∈[0,1]，求解線性規(guī)劃問(wèn)題 (P3),(P4),(P5),(P6)，得到模糊目標(biāo)S和C的容許區(qū)間[S0,S1]和[C0,C1].

Step 3． 求解多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題(P2)．采用極小算子將多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題(P2)轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題(P7)，解之可得模糊多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題(P1)的α水平最優(yōu)解．

3 算例分析

假設(shè)某區(qū)域應(yīng)急物流系統(tǒng)有5個(gè)應(yīng)急需求點(diǎn)D1,D2,D3,D4,D5和3個(gè)應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)候選點(diǎn)S1,S2,S3．已知從應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)候選點(diǎn)到各需求點(diǎn)的距離、應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)候選點(diǎn)的容量限制以及各需求點(diǎn)的需求量如表1所示，應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)候選點(diǎn)到各需求點(diǎn)的運(yùn)輸費(fèi)用以及各應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)的固定成本如表2所示．問(wèn)如何確定應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)的位置，才能使該應(yīng)急物流系統(tǒng)運(yùn)行總成本和應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)到達(dá)各應(yīng)急需求點(diǎn)的總距離達(dá)到最??？

表1 候選儲(chǔ)備庫(kù)到需求點(diǎn)距離、候選儲(chǔ)備庫(kù)的容量以及需求點(diǎn)的需求量Tab.1 Distance from inventory site to demand point, reserves and demands of emergency material

表2 候選儲(chǔ)備庫(kù)到需求點(diǎn)的運(yùn)輸費(fèi)用、候選儲(chǔ)備庫(kù)的固定成本Tab.2 Transportation charges from inventory site to demand point and fixed cost of inventory site

取α=0.9，計(jì)算梯形模糊數(shù)dij,cij,fj,di,sj的α-截集，將計(jì)算結(jié)果代入單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題(P3)，(P4)，(P5) 和(P6)，解之可得其最優(yōu)解如表3所示．

表3 單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題(P3) (P4) (P5) (P6)的最優(yōu)解Tab.3 Optimal solutions of single objective programming problem (P3), (P4), (P5) and (P6)

μs(S)=1,S<23.44

1-S-29.295.85,23.44≤S≤29.29,

0,S>29.29μc(C)=1,C<83 781

1-C-101 91918 138,83 781≤C≤101 919

0,C>101 919.

采用極小算子，將多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題(P3)轉(zhuǎn)化為：

maxβ

s．t． 6.95x11+2.96x21+7.9x31+11.9x41+12.9x51+12.9x12+5.95x22+9.9x32+

7.9x42+5.9x52+15.8x13+9.9x23+12.9x33+1.95x43+3.95x53+5.85β≤29.29,

695x11+296x21+790x31+1 190x41+1 290x51+1 290x12+595x22+990x32+

790x42+590x52+1 580x13+990x23+1 290x33+195x43+395x53+18 138β≤101 919,

x11+x12+x13=1,x21+x22+x23=1,x31+x32+x33=1,x41+x42+x43=1,

x51+x52+x53=1,x11-x1≤0,x21-x1≤0,x31-x1≤0,x41-x1≤0,x51-x1≤0,

x12-x2≤0,x22-x2≤0,x32-x2≤0,x42-x2≤0,x52-x2≤0,x13-x3≤0,

x23-x3≤0,x33-x3≤0,x43-x3≤0,x53-x3≤0,

49.4x11+79.5x21+69.4x31+99x41+79x51-219x1≤0,

49.4x12+79.5x22+69.4x32+99x42+79x52-199x2≤0,

49.4x13+79.5x23+69.4x33+99x43+79x53-248.5x3≤0,

60.5x11+91x21+80.8x31+111.5x41+96.5x41-251x1≤0,

60.5x12+91x22+80.8x32+111.5x42+96.5x52-251.5x2≤0,

60.5x13+91x23+80.8x33+111.5x43+96.5x53-302x3≤0,

xij,xj∈{0,1},fori=1,2,…,5，j=1,2,3.

解之可得上述問(wèn)題的最優(yōu)解

β=0.953 8，x11=1，x21=1，x31=1，x43=1，x53=1，x1=1，x3=1，其他為 0．

即該問(wèn)題的α水平最優(yōu)解為

x11=1，x21=1，x31=1，x43=1，x53=1，x1=1，x3=1，其他為 0．

計(jì)算結(jié)果顯示，應(yīng)選擇在備擇點(diǎn)1，3處設(shè)置應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)的滿意度為95.38%．

4 結(jié)論

應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)選址問(wèn)題是應(yīng)急物資儲(chǔ)備體系建設(shè)的重要內(nèi)容，研究區(qū)域應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)選址問(wèn)題對(duì)完善區(qū)域應(yīng)急物資儲(chǔ)備體系、提高突發(fā)事件應(yīng)對(duì)效果具有重要意義．本文基于梯形模糊信息環(huán)境，構(gòu)建了約束條件中含有梯形模糊參數(shù)的應(yīng)急物資儲(chǔ)備庫(kù)選址多目標(biāo)規(guī)劃模型，提出了一種基于極小算子的模型優(yōu)化算法，并通過(guò)算例分析驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性．

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