成春霞

高中數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)于學(xué)生有哪些作用呢？如果只認(rèn)為其具有應(yīng)付考試的作用，那這樣的認(rèn)識(shí)顯然是狹隘的。但若真的要讓久經(jīng)應(yīng)試的老師去發(fā)掘數(shù)學(xué)知識(shí)的其它意義，似乎又有些困難。為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情形呢？筆者認(rèn)為可能是因?yàn)樽鳛榻虒W(xué)一線的數(shù)學(xué)教師，在面對(duì)學(xué)生的成長(zhǎng)時(shí)，視野可能還不夠開(kāi)闊。知道了原因，問(wèn)題也就有了解決的希望，筆者以“正弦定理”的教學(xué)為例，進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)知識(shí)意義的發(fā)掘旅程。

一、教材分析，數(shù)學(xué)意義發(fā)掘的首要步驟

這里所說(shuō)的教材分析，是指從學(xué)生的知識(shí)積累、思維發(fā)展、數(shù)學(xué)理解等角度進(jìn)行的分析。其中，知識(shí)積累是數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)有之義，思維發(fā)展也是數(shù)學(xué)教學(xué)的常規(guī)要求，而數(shù)學(xué)理解則常常是游離于數(shù)學(xué)教師視野之外，卻是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升十分重要的因素。

從內(nèi)容地位的角度來(lái)看，正弦定理一方面是前面三角形知識(shí)的“升級(jí)版”，揭示了三角形邊與角之間的關(guān)系，同時(shí)又綜合了三角函數(shù)知識(shí)與平面向量的知識(shí)，而往后看，正弦定理又是后面更為復(fù)雜的余弦定理的學(xué)習(xí)前奏。因此在學(xué)習(xí)本知識(shí)之前，要幫學(xué)生梳理好前面三角形及三角函數(shù)之類(lèi)的知識(shí)，同時(shí)又要考慮到本知識(shí)的學(xué)習(xí)可能會(huì)給后面的余弦定理帶來(lái)的積極作用；從思維發(fā)展的角度來(lái)看，正弦定理可以說(shuō)是第一次比較明確地確定了三角形邊與角的關(guān)系，因而在打開(kāi)學(xué)生對(duì)三角形（包括多邊形）邊與角的關(guān)系的思路上，具有重要的地位。且在學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中，正弦定理的得出運(yùn)用到化歸思想，顯然本知識(shí)又是一次數(shù)學(xué)思想的再次重復(fù)；而從數(shù)學(xué)理解的角度來(lái)看，正弦定理邁開(kāi)了任意三角形的角邊關(guān)系求解的第一步，這是數(shù)學(xué)研究中特殊走向一般的普遍規(guī)律，其中涉及到數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)的“問(wèn)題解決”的相關(guān)內(nèi)容，而在問(wèn)題解決過(guò)程中又涉及到數(shù)學(xué)問(wèn)題研究的思路與方法，涉及到用數(shù)學(xué)視角看待問(wèn)題、研究問(wèn)題并解決問(wèn)題的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理與理性精神，是數(shù)學(xué)理解的重要施力點(diǎn)。

一般來(lái)說(shuō)，出現(xiàn)在高中教材中的數(shù)學(xué)知識(shí)，所蘊(yùn)含的意義都是十分豐富的，但這種意見(jiàn)的發(fā)現(xiàn)需要教師的一雙慧眼。實(shí)際上，意義的發(fā)現(xiàn)也沒(méi)那么神奇，無(wú)非是從數(shù)學(xué)促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的角度去看待數(shù)學(xué)教學(xué)。

二、教學(xué)實(shí)踐，數(shù)學(xué)意義發(fā)掘的實(shí)現(xiàn)步驟

一段數(shù)學(xué)意義是否能夠最終實(shí)現(xiàn)，關(guān)鍵還在于教學(xué)實(shí)踐。筆者在發(fā)現(xiàn)“正弦定理”知識(shí)意義的過(guò)程中，經(jīng)歷了這樣的教學(xué)過(guò)程。

其一，教學(xué)引入。引入語(yǔ)言是：在人類(lèi)的生活中，利用三角形解決實(shí)際問(wèn)題，是一件彰顯數(shù)學(xué)智慧的事情。在以前的學(xué)習(xí)中，我們還很少利用三角形知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題，今天我們就來(lái)嘗試一下。出示實(shí)際問(wèn)題：在一條河的兩岸，分別住著兩個(gè)人家A和B（AB連線與河不垂直）?，F(xiàn)在只給你一把米尺和量角器，你能測(cè)出這兩個(gè)人家之間的距離嗎？

數(shù)學(xué)意義：本問(wèn)題的情境十分接近現(xiàn)實(shí)，而問(wèn)題的解決需要學(xué)生根據(jù)文字描述去建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ停〝?shù)學(xué)建模），一般情況下，學(xué)生可能建立的模型是以A、B連線為直角邊，C為直角的直角三角形，利用余弦函數(shù)即可求出相應(yīng)的距離。而這樣的情境創(chuàng)設(shè)，顯然可以幫學(xué)生確立數(shù)學(xué)知識(shí)可以致用的認(rèn)識(shí)。

其二，新課教學(xué)（拓展延伸）。以剛才學(xué)生構(gòu)建的直角三角形為載體，在剛才運(yùn)用余弦函數(shù)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生拓展延伸：直角三角形ABC 中還有哪些邊角關(guān)系？學(xué)生此時(shí)可以順利地回答出正弦、余弦、正切、余切等關(guān)系，然后教師將正弦關(guān)系挑選出來(lái)并在黑板上利用板書(shū)進(jìn)行上下對(duì)應(yīng)的呈現(xiàn)：sinA=a/c；sinB=b/c；然后將其變形為c=a/sinA；c=b/sinB。當(dāng)這一形式出現(xiàn)之后，教師停頓片刻以讓學(xué)生對(duì)比以發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并進(jìn)而思考、猜想，學(xué)生自然就會(huì)產(chǎn)生一種想法：邊a、b以及角A、B都有了，那邊c與角C有可能出現(xiàn)嗎？由于是直角三角形，c=c/sinC的關(guān)系也就自然而然地出現(xiàn)了。

那么，對(duì)于一般的三角形，這樣的關(guān)系是否成立呢？于是作一個(gè)任意三角形，并將目光鎖定在角與對(duì)應(yīng)邊的正弦上，就成了學(xué)生下一步探究的內(nèi)容。由于上面知識(shí)的啟發(fā)，學(xué)生在這里一般都會(huì)想到作高的方法，但作一條高往往只能尋找到一對(duì)關(guān)系，于是需要作出另一條邊上的另一個(gè)高……于是問(wèn)題就迎刃而解。

數(shù)學(xué)意義：一般情況下，如果遵循簡(jiǎn)單的模式實(shí)施本內(nèi)容教學(xué)，那學(xué)生的思維過(guò)程可能是生硬的、被動(dòng)的，而在這樣的情境中，學(xué)生的思維是一貫的、自然的。其數(shù)學(xué)意義主要體現(xiàn)在在數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)上，通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合運(yùn)用，尋找到從直角三角形到一般三角形的角與邊的關(guān)系，尤其是根據(jù)數(shù)學(xué)表達(dá)式的對(duì)稱(chēng)美猜想完全的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這是本課教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)美的一種體現(xiàn)。

其三，數(shù)學(xué)語(yǔ)言。當(dāng)正弦定理的表達(dá)式出現(xiàn)之后，如何表達(dá)其實(shí)也是一個(gè)重要問(wèn)題。重點(diǎn)在于訓(xùn)練學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言精確性的理解。

數(shù)學(xué)意義：數(shù)學(xué)語(yǔ)言的精確性、簡(jiǎn)潔性。

三、教學(xué)總結(jié)，數(shù)學(xué)意義發(fā)掘的“啟后”步驟

一般情況下，學(xué)生自己是很少考慮數(shù)學(xué)意義的，這就需要教師在教學(xué)的過(guò)程中進(jìn)行引領(lǐng)。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有價(jià)值的引領(lǐng)方法往往是讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)前后的一貫性，通過(guò)一個(gè)知識(shí)學(xué)習(xí)之后的教學(xué)總結(jié)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般規(guī)律，為后面數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

而這就要求教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的體系有一個(gè)準(zhǔn)確理解，對(duì)高中數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展的脈絡(luò)有一個(gè)清晰的把握。譬如本課知識(shí)的教學(xué)，在得出正弦定理的過(guò)程中所用到的化歸思想，就必須在定理得出之后再跟學(xué)生梳理；基于數(shù)學(xué)對(duì)稱(chēng)美而進(jìn)行的猜想，就必須在定理得出之后再跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)；而數(shù)學(xué)語(yǔ)言的精確性則可在正弦定理得出過(guò)程中，基于學(xué)生自己得出的結(jié)論，不斷地進(jìn)行梳理、刪減、抽象而體驗(yàn)。如果能切實(shí)做到這樣，那就為后面的余弦定理的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。有經(jīng)驗(yàn)的老師可以發(fā)現(xiàn)，兩者之間在得出過(guò)程、對(duì)稱(chēng)美、數(shù)學(xué)語(yǔ)言上有著很大的相似性。

事實(shí)表明，如果在數(shù)學(xué)教學(xué)中，能夠從數(shù)學(xué)意義的角度去思考這種“啟后”性，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的可持續(xù)發(fā)展是有著極大的促進(jìn)作用的。而且，這樣的教學(xué)方式，可以解決高中數(shù)學(xué)難學(xué)的問(wèn)題，可以讓學(xué)生對(duì)新的知識(shí)自主產(chǎn)生預(yù)期感和學(xué)習(xí)過(guò)程中的成就感。

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)掘數(shù)學(xué)知識(shí)的意義，不僅可以幫學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)，更可以促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中地可持續(xù)發(fā)展，可謂一舉兩得，必須長(zhǎng)期堅(jiān)持！

（作者單位：江蘇省海門(mén)實(shí)驗(yàn)學(xué)校）