用快速多極方法預(yù)測(cè)圓柱繞流的氣動(dòng)噪聲

劉 超，劉秋洪，蔡晉生

（西北工業(yè)大學(xué) 翼型葉柵空氣動(dòng)力學(xué)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710072）

用快速多極方法預(yù)測(cè)圓柱繞流的氣動(dòng)噪聲

劉 超，劉秋洪，蔡晉生

（西北工業(yè)大學(xué) 翼型葉柵空氣動(dòng)力學(xué)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710072）

采用聲模擬理論預(yù)測(cè)氣動(dòng)噪聲時(shí)需要大量的計(jì)算時(shí)間，快速多極方法將傳統(tǒng)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)計(jì)算轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)集之間的相互作用，可以有效加速計(jì)算?；诙S自由空間格林函數(shù)的分波展開方式，推導(dǎo)了FW-H方程應(yīng)用快速多極變換后的積分核函數(shù)與計(jì)算公式。計(jì)算了低馬赫數(shù)圓柱繞流的非定常流場(chǎng)；并由此預(yù)測(cè)了氣動(dòng)聲源。隨后，分別采用傳統(tǒng)方法和快速多極方法計(jì)算其聲場(chǎng)分布。結(jié)果表明，基于分波展開方式的快速多極方法能準(zhǔn)確計(jì)算圓柱繞流氣動(dòng)噪聲，在頻率較低時(shí)能大幅減少聲場(chǎng)計(jì)算時(shí)間，且觀測(cè)點(diǎn)數(shù)越多，加速效果越明顯。

聲學(xué)；氣動(dòng)噪聲；數(shù)值預(yù)測(cè)；快速多極；聲模擬

快速多極方法[4]對(duì)積分核函數(shù)引入多極擴(kuò)展，將源點(diǎn)和場(chǎng)點(diǎn)分離，用節(jié)點(diǎn)集之間相互作用取代節(jié)點(diǎn)之間一對(duì)一計(jì)算，使計(jì)算量和存儲(chǔ)量大幅減少，目前該方法已廣泛應(yīng)用于力學(xué)、電磁學(xué)等諸多領(lǐng)域。在聲學(xué)方面，Rokhlin[5]最早使用快速多極方法求解聲散射問題，隨后國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者將其與邊界元結(jié)合用于振動(dòng)聲學(xué)計(jì)算[6]。然而，在氣動(dòng)聲學(xué)方面，關(guān)于將快速多極方法應(yīng)用于聲模擬理論的文獻(xiàn)較少，目前已知Wolf[7—9]利用寬頻快速多極方法與聲模擬理論相結(jié)合，數(shù)值計(jì)算了圓柱和翼型等流場(chǎng)的氣動(dòng)噪聲，但在其文章[7]中僅給出了多極擴(kuò)展系數(shù)的轉(zhuǎn)移公式，而未給出相應(yīng)的FW-H方程的變換公式。在國(guó)內(nèi)方面，目前為止還沒有快速多極方法應(yīng)用于氣動(dòng)聲學(xué)計(jì)算的公開報(bào)道。

本文借鑒Wolf[7]的思路，將快速多極方法應(yīng)用于聲模擬理論，詳細(xì)推導(dǎo)了FW-H方程應(yīng)用快速多極變換后的積分核函數(shù)與計(jì)算公式，并編寫相應(yīng)的計(jì)算程序，數(shù)值預(yù)測(cè)了二維圓柱繞流的氣動(dòng)噪聲，與傳統(tǒng)方法對(duì)比驗(yàn)證了快速多極方法的有效性和快速性。

1 氣動(dòng)聲學(xué)計(jì)算的快速多極方法

1.1 傳統(tǒng)氣動(dòng)聲學(xué)計(jì)算方法

聲模擬理論在忽略聲場(chǎng)對(duì)流場(chǎng)影響的假設(shè)下，將近場(chǎng)非線性流動(dòng)區(qū)域的聲源和遠(yuǎn)場(chǎng)線性區(qū)域的聲輻射分離求解，其計(jì)算流場(chǎng)中固體物繞流誘發(fā)氣動(dòng)噪聲的FW-H方程[3]為

其中H(f)是Heaviside函數(shù)，c0是介質(zhì)中聲速，Tij為L(zhǎng)ighthill應(yīng)力張量，G0為自由空間格林函數(shù)，p為壁面壓力，vn為壁面運(yùn)動(dòng)的法向速度，Ω是聲源區(qū)域，S是固體邊界。當(dāng)邊界靜止時(shí)，式(1)的頻域表達(dá)式為

1.2 快速多極方法應(yīng)用于聲學(xué)控制方程

快速多極方法通過構(gòu)造自適應(yīng)四叉樹將所有離散的聲源點(diǎn)劃分成多個(gè)點(diǎn)集，然后將積分核函數(shù)在樹結(jié)構(gòu)的葉子節(jié)點(diǎn)處多極展開并計(jì)算多級(jí)擴(kuò)展系數(shù)，之后通過多極擴(kuò)展系數(shù)轉(zhuǎn)移公式計(jì)算每個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)處的局部擴(kuò)展系數(shù)，最后由所有葉子節(jié)點(diǎn)處的局部擴(kuò)展系數(shù)計(jì)算不同觀測(cè)點(diǎn)處聲壓，具體流程如下圖1所示：

對(duì)于二維問題，式(2)中自由空間格林函數(shù)為

設(shè)聲場(chǎng)點(diǎn)x和聲源點(diǎn)y在極坐標(biāo)系中的表達(dá)式為x=(ρx,θx)和y=(ρy,θy)。根據(jù)Graf加法定理[10]得零階第1類漢克爾函數(shù)的級(jí)數(shù)表達(dá)式為

圖1 快速多極方法示意圖

頻率ω固定時(shí)，將G0(x,y)在聲源點(diǎn)y周圍的結(jié)構(gòu)中心yc多極展開為

將上述二維自由空間格林函數(shù)的多極展開式(5)代入到原頻域聲學(xué)控制方程(2)，得到兩個(gè)需要重新計(jì)算的積分核函數(shù)如下

將式(7)代入控制方程(2)，并令多極擴(kuò)展系數(shù)

則式(2)變換為

1.2.1 多極擴(kuò)展系數(shù)轉(zhuǎn)移

當(dāng)多極展開中心由子正方形中心yc轉(zhuǎn)移到父正方形中心yc'時(shí)，多極擴(kuò)展系數(shù)轉(zhuǎn)移按下式計(jì)算

可以看出新的多極擴(kuò)展系數(shù)Mn(yc')可以從老的多極擴(kuò)展系數(shù)Mm(yc)計(jì)算得到，從而避免了重復(fù)計(jì)算。通過多極擴(kuò)展系數(shù)的轉(zhuǎn)移可以把同層的子正方形的多極擴(kuò)展系數(shù)總和轉(zhuǎn)移到包含更大邊界的父正方形的多極擴(kuò)展系數(shù)中去。此時(shí)的頻域聲學(xué)控制方程(9)變換為

1.2.2 局部擴(kuò)展

當(dāng)多極擴(kuò)展系數(shù)向局部擴(kuò)展系數(shù)轉(zhuǎn)移，把原配置點(diǎn)y的父正方形的多極擴(kuò)展系數(shù)（中心在yc'）轉(zhuǎn)移到了包含x的父正方形的局部擴(kuò)展系數(shù)（中心在xc）時(shí)，局部擴(kuò)展系數(shù)按下式計(jì)算

其中Ln(xc)表示中心在xc的局部擴(kuò)展系數(shù)。此時(shí)的頻域聲學(xué)控制方程(11)變換為

1.2.3 局部擴(kuò)展系數(shù)轉(zhuǎn)移

當(dāng)局部擴(kuò)展中心由父正方形的中心xc轉(zhuǎn)移到子正方形的中心xc'時(shí)，局部擴(kuò)展系數(shù)轉(zhuǎn)移按下式計(jì)算

通過局部擴(kuò)展系數(shù)轉(zhuǎn)移，將父正方形的局部擴(kuò)展系數(shù)轉(zhuǎn)移到了所包含的子正方形局部擴(kuò)展系數(shù)。此時(shí)的頻域聲學(xué)控制方程(13)變換為

在實(shí)際計(jì)算中，以上公式的無窮級(jí)數(shù)必須截?cái)?，由此引入截?cái)嗾`差并影響聲場(chǎng)計(jì)算精度。截?cái)囗?xiàng)數(shù)越多，截?cái)嗾`差越小，聲場(chǎng)計(jì)算精度越高，但計(jì)算時(shí)間變長(zhǎng)，計(jì)算效率下降；若截?cái)囗?xiàng)數(shù)不足，聲場(chǎng)計(jì)算則會(huì)出現(xiàn)失真。因此需要合理的選擇截?cái)囗?xiàng)數(shù)以同時(shí)兼顧計(jì)算精度和計(jì)算效率。

1.3 快速多極方法的計(jì)算過程

1.3.1 建立分層樹結(jié)構(gòu)

首先建立根節(jié)點(diǎn)使其包含所有流場(chǎng)和聲場(chǎng)網(wǎng)格，之后根據(jù)每個(gè)節(jié)點(diǎn)內(nèi)包含流場(chǎng)和聲場(chǎng)網(wǎng)格的數(shù)量遞歸劃分四叉樹，最后建立鄰居節(jié)點(diǎn)、相互作用節(jié)點(diǎn)和遠(yuǎn)場(chǎng)節(jié)點(diǎn)的索引。

1.3.2 上行遍歷計(jì)算多極擴(kuò)展系數(shù)

上行遍歷指由樹結(jié)構(gòu)的葉子節(jié)點(diǎn)開始，逐層上行計(jì)算所有節(jié)點(diǎn)的多極擴(kuò)展系數(shù)，直至第二層。對(duì)于葉子節(jié)點(diǎn)，直接使用公式(8)計(jì)算其多極擴(kuò)展系數(shù)，此時(shí)需要計(jì)算貝塞爾函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及其積分，所需計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)；對(duì)于非葉子節(jié)點(diǎn)，直接使用公式(10)將子節(jié)點(diǎn)的多極擴(kuò)展系數(shù)轉(zhuǎn)移到父節(jié)點(diǎn)的多極擴(kuò)展系數(shù)。

1.3.3 下行遍歷計(jì)算局部擴(kuò)展系數(shù)

下行遍歷指由樹結(jié)構(gòu)的第二層開始，逐層下行計(jì)算出所有節(jié)點(diǎn)的局部擴(kuò)展系數(shù)，直至葉子節(jié)點(diǎn)。所有節(jié)點(diǎn)的局部擴(kuò)展系數(shù)來源于相互作用節(jié)點(diǎn)和遠(yuǎn)場(chǎng)節(jié)點(diǎn)兩部分貢獻(xiàn)量的和。前者的貢獻(xiàn)通過公式(12)計(jì)算，后者的貢獻(xiàn)通過公式(14)計(jì)算。

1.3.4 計(jì)算總積分

樹結(jié)構(gòu)的多極擴(kuò)展系數(shù)及局部擴(kuò)展系數(shù)計(jì)算完成后，針對(duì)不同的聲場(chǎng)觀測(cè)點(diǎn)，計(jì)算兩個(gè)積分核函數(shù)在固體壁面和流體流動(dòng)區(qū)域積分的總和。其中，對(duì)于遠(yuǎn)離聲場(chǎng)觀測(cè)點(diǎn)的流場(chǎng)聲源點(diǎn)，使用快速多極算法計(jì)算積分；對(duì)于臨近觀測(cè)點(diǎn)的聲源點(diǎn)則直接計(jì)算其積分。

2 算例驗(yàn)證與分析

將上述方法應(yīng)用于二維圓柱繞流的氣動(dòng)聲學(xué)計(jì)算，使用Fortran 90編寫相應(yīng)的計(jì)算程序。

2.1 流場(chǎng)計(jì)算模型與結(jié)果

流場(chǎng)計(jì)算選取直徑D=0.019 m的圓柱，均勻來流馬赫數(shù)為Ma=0.2，雷諾數(shù)為Re=9×104，遠(yuǎn)場(chǎng)采用無反射邊界條件，時(shí)間推進(jìn)步長(zhǎng)取Δt=2×10-5s，使用k-w SST兩方程模型求解湍流雷諾應(yīng)力，圓柱局部網(wǎng)格如圖2所示。

圖2 圓柱局部網(wǎng)格

圖3給出了圓柱升力系數(shù)Cl和阻力系數(shù)Cd隨時(shí)間的變化?？梢钥闯觯S模型所得到的升力系數(shù)和阻力系數(shù)有規(guī)整的周期性波動(dòng)，其中升力系數(shù)的脈動(dòng)幅值遠(yuǎn)大于阻力系數(shù)，因此卡門渦街中渦脫落形成升力激發(fā)的噪聲要遠(yuǎn)大于壓差阻力及摩擦阻力引起的噪聲。

圖4為升阻力系數(shù)變化的功率譜密度(PSD)，其中升力系數(shù)的基頻也即尾渦脫落頻率為f0= 897.53 Hz，相應(yīng)的無量綱斯特勞哈數(shù)為St=0.251，與Orselli[11]的計(jì)算結(jié)果(St=0.235)較符合。此外升力系數(shù)較明顯的諧波分量為基頻的奇數(shù)倍，而阻力系數(shù)較明顯的諧波分量為基頻的偶數(shù)倍，與Orselli[11]和Takaishi[12]得到的結(jié)論一致。

圖4 升阻力系數(shù)隨時(shí)間變化的功率譜密度

2.2 聲場(chǎng)計(jì)算結(jié)果與分析

選取36個(gè)周期的流場(chǎng)數(shù)據(jù)輸出作為氣動(dòng)聲源，采樣步長(zhǎng)與流場(chǎng)計(jì)算的物理時(shí)間推進(jìn)步長(zhǎng)一致，總采樣步數(shù)2 048步，頻率分辨率約為24.2 Hz。聲場(chǎng)云圖計(jì)算使用3 000個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，布置在以圓柱中心點(diǎn)為圓心，半徑10D到128D的環(huán)形區(qū)域內(nèi)。自適應(yīng)四叉樹劃分時(shí)每個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)內(nèi)最多包含50個(gè)聲場(chǎng)觀測(cè)點(diǎn)，得到的自適應(yīng)樹結(jié)構(gòu)共有5層，149個(gè)節(jié)點(diǎn)，128個(gè)葉子節(jié)點(diǎn)。

圖5為使用傳統(tǒng)方法和使用快速多極方法得到的渦脫落頻率f=f0下聲場(chǎng)觀測(cè)點(diǎn)位于128D處的聲場(chǎng)指向性對(duì)比圖，其中多極展開的截?cái)囗?xiàng)數(shù)取p= 20。圖中TM-dip和TM-quad表示傳統(tǒng)方法得到的偶極子和四極子噪聲，F(xiàn)M-dip和FM-quad則表示使用快速多極方法得到的偶極子和四極子噪聲。從圖中可以看出，偶極子噪聲在空間呈正8字形，聲壓級(jí)幅值占優(yōu)，而四極子噪聲則呈現(xiàn)光滑規(guī)則的四花瓣?duì)?，聲壓?jí)較小。此外，兩種方法得到聲場(chǎng)結(jié)果一致，驗(yàn)證了本文快速多極方法的準(zhǔn)確性。

圖5 渦脫落1倍頻時(shí)聲場(chǎng)指向性對(duì)比圖

圖6和圖7給出了升力系數(shù)變化的基頻即渦脫落頻率f=f0下聲場(chǎng)總聲壓云圖和聲壓實(shí)部，從中可以看出升力脈動(dòng)引起聲場(chǎng)的聲壓級(jí)在空間呈上下對(duì)稱并沿豎直方向傳播，此外，多極展開的截?cái)囗?xiàng)數(shù)取p=20可以準(zhǔn)確計(jì)算一倍頻下聲場(chǎng)聲壓云圖，下面將討論2倍頻時(shí)截?cái)囗?xiàng)數(shù)取值過小導(dǎo)致聲場(chǎng)失真的情況。

圖6 1倍頻截?cái)囗?xiàng)數(shù)p=20時(shí)聲場(chǎng)云圖

圖7 一倍頻截?cái)囗?xiàng)數(shù)p=20時(shí)聲壓實(shí)部

圖8給出了截?cái)囗?xiàng)數(shù)繼續(xù)取p=20時(shí)渦脫落2倍頻f=2 f0下聲場(chǎng)總聲壓云圖，可以看出此時(shí)部分聲場(chǎng)失真，這是由于頻率提高，聲壓量級(jí)減小，多極擴(kuò)展系數(shù)所需計(jì)算精度提高，截?cái)囗?xiàng)數(shù)需要相應(yīng)的增加才能準(zhǔn)確計(jì)算聲場(chǎng)分布。

圖8 二倍頻截?cái)囗?xiàng)數(shù)p=20時(shí)聲場(chǎng)云圖

圖9和圖10給出了p=35時(shí)二倍頻率下聲場(chǎng)總聲壓云圖和聲壓實(shí)部，此時(shí)聲場(chǎng)呈倒8字，主要由阻力脈動(dòng)引起，與圖4功率譜密度中計(jì)算得到阻力系數(shù)較明顯的諧波分量為基頻的偶數(shù)倍的結(jié)論相符，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文快速多極方法的準(zhǔn)確性。

圖9 二倍頻截?cái)囗?xiàng)數(shù)p=35時(shí)聲場(chǎng)云圖

圖10 二倍頻截?cái)囗?xiàng)數(shù)p=35時(shí)聲場(chǎng)實(shí)部

圖11給出了渦脫落三倍頻f=3 f0時(shí)聲場(chǎng)總聲壓云圖，此時(shí)聲場(chǎng)恢復(fù)正8字形狀，對(duì)應(yīng)升力系數(shù)脈動(dòng)的2次諧波分量，但聲壓量級(jí)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于一倍頻，使用快速多極方法取截?cái)囗?xiàng)數(shù)p=50計(jì)算得到聲場(chǎng)結(jié)果仍有輕微的失真。

圖11 三倍頻截?cái)囗?xiàng)數(shù)p=50時(shí)聲場(chǎng)云圖

表1列出了在圓柱繞流渦脫落的前3個(gè)整數(shù)倍頻下使用傳統(tǒng)方法和使用快速多極方法求解FW-H方程所需要的計(jì)算時(shí)間對(duì)比。從表中可以看出，使用傳統(tǒng)方法計(jì)算3個(gè)頻率下的聲場(chǎng)所需時(shí)間差別不大，而使用快速多極方法在頻率較低時(shí)能大幅縮減聲場(chǎng)計(jì)算時(shí)間，有很高的實(shí)用價(jià)值和工程應(yīng)用前景。

表1 快速多極方法加速效率

在1.3.2節(jié)提到，對(duì)于葉子節(jié)點(diǎn)，計(jì)算其包含的所有聲源點(diǎn)在該葉子節(jié)點(diǎn)處的多極擴(kuò)展系數(shù)時(shí)，需要計(jì)算貝塞爾函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及其積分，所需計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，而由葉子節(jié)點(diǎn)的局部擴(kuò)展系數(shù)計(jì)算觀測(cè)點(diǎn)處聲壓時(shí)需要的時(shí)間較短，所以觀測(cè)點(diǎn)數(shù)量增多對(duì)整體計(jì)算時(shí)間影響較小。下表列出了渦脫落一倍頻時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)數(shù)量變化導(dǎo)致快速多極方法加速計(jì)算效率變化的比較，從中可以看出，基于分波展開方式的快速多極方法特別適合于廣域空間內(nèi)大量聲場(chǎng)點(diǎn)的聲壓計(jì)算。

表2 聲場(chǎng)觀測(cè)點(diǎn)數(shù)量對(duì)加速效率的影響

3 結(jié)語

(1)快速多極方法通過格林函數(shù)的多極展開將聲源點(diǎn)和觀測(cè)點(diǎn)分離，通過構(gòu)造自適應(yīng)四叉樹使傳統(tǒng)FW-H方程中格林函數(shù)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)積分轉(zhuǎn)化為點(diǎn)集之間的相互作用，從而使聲場(chǎng)計(jì)算時(shí)間大幅縮短；(2)本文使用的分波展開方式由流場(chǎng)信息計(jì)算葉子節(jié)點(diǎn)的多極擴(kuò)展系數(shù)時(shí)所需時(shí)間較長(zhǎng)，由葉子節(jié)點(diǎn)的局部擴(kuò)展系數(shù)計(jì)算觀測(cè)點(diǎn)處聲壓時(shí)需要的時(shí)間較短，因此聲場(chǎng)觀測(cè)點(diǎn)數(shù)越多，加速效果越明顯；

(3)隨著頻率提高，聲壓量級(jí)降低，需要增大多極截?cái)囗?xiàng)數(shù)來準(zhǔn)確計(jì)算聲場(chǎng)分布，導(dǎo)致高頻時(shí)加速效率下降，但工程中往往更關(guān)注聲壓級(jí)較高的低頻噪聲問題，因此本文快速多極加速計(jì)算方法具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

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Fast Multipole Method Applied in Prediction ofAeroacoustics Induced by a Circular Cylinder

LIU Chao,LIU Qiu-hong,CAI Jin-sheng

(National Key Laboratory of Aerodynam ic Design and Research, Northwestern Polytechnical University,Xi’an 710072,China)

Prediction of aeroacoustics using acoustic analogy is a time-consum ing process,while the fast multipole method which changes traditional way of node-to-node computing into set-to-set interaction can accelerate the process effectively.In this paper,the FW-H equation and its integral kernel function are derived w ith the fast multipole method based on the partial-wave expansion formulation of free-space Green’s function.The unsteady flow field w ith low Mach’s number near a two-dimensional circular cylinder is computed and exported as the sound source,and the sound field is obtained via traditional method and the fast multipole method.The results show that the fast multipole method based on partial-wave expansion can calculate the aerodynam ic noise accurately,and reduce the computing time greatly for relatively low frequencies.And the acceleration effect is more obvious w ith larger number of observers.

acoustics;aerodynamic noise;numerical prediction;fast multipole method;acoustic analogy

1006-1355(2014)04-0123-05+133

O42 < class="emphasis_bold">文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI編碼：

10.3969/j.issn.1006-1335.2014.04.027

隨著國(guó)內(nèi)外商用飛機(jī)的迅速發(fā)展，飛機(jī)噪聲預(yù)測(cè)與控制受到人們的普遍關(guān)注，基于計(jì)算流體力學(xué)的計(jì)算氣動(dòng)聲學(xué)逐漸成為研究熱點(diǎn)。然而，傳統(tǒng)的氣動(dòng)聲學(xué)混合計(jì)算方法[1—3]需要計(jì)算所有流場(chǎng)聲源點(diǎn)和遠(yuǎn)場(chǎng)觀測(cè)點(diǎn)之間格林函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及其積分，這個(gè)過程需要大量的計(jì)算時(shí)間，而應(yīng)用于飛機(jī)噪聲預(yù)測(cè)等大規(guī)模聲學(xué)計(jì)算問題的計(jì)算耗時(shí)更是難以接受，因此發(fā)展快速和有效的氣動(dòng)噪聲計(jì)算方法越來越受到人們的重視，同時(shí)也具有十分重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

2013-10-30

國(guó)家自然科學(xué)基金(基金編號(hào)：11002116)

劉超（1990-），男，河北滄州人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)橛?jì)算流體力學(xué)和氣動(dòng)聲學(xué)計(jì)算。

E-mail:lc1990@mail.nwpu.edu.cn