王 冉，陳 進(jìn)，董廣明

(上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

20世紀(jì)80年代，Maynard等[1-2]提出的近場(chǎng)聲全息(NAH)技術(shù)，為求解聲輻射問題帶來較大突破。傳統(tǒng)基于快速傅里葉變換(FFT)的NAH具有理論成熟、計(jì)算快速、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，但其要求全息孔徑須大于聲源尺寸，因現(xiàn)場(chǎng)條件限制，尤其對(duì)大型聲源該要求無法滿足。為此局部近場(chǎng)聲全息(PNAH)[3-5]技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生，不僅突破傳統(tǒng)NAH對(duì)全息孔徑的限制，且在小全息孔徑下仍具有較高計(jì)算精度，極大方便NAH技術(shù)的應(yīng)用。

Helmholtz方程最小二乘法(HELS)[6-9]將聲場(chǎng)近似展開為一系列正交基函數(shù)的線性組合，對(duì)測(cè)點(diǎn)及重建點(diǎn)位置無限制，所需測(cè)點(diǎn)數(shù)少、計(jì)算效率高、易于實(shí)現(xiàn)，且允許聲場(chǎng)局部重建。但HELS方法對(duì)不規(guī)則形狀聲源重建精度較低。實(shí)際工程中較多聲源形狀復(fù)雜，常含多個(gè)組成部分，或聲場(chǎng)由多個(gè)相干聲源組成，整體聲源形狀不規(guī)則，難以用HELS方法獲得理想重建結(jié)果。對(duì)多源相干聲場(chǎng)研究結(jié)合波疊加法與統(tǒng)計(jì)最優(yōu)NAH特點(diǎn)發(fā)展的聲場(chǎng)分離技術(shù)[10]，可在單全息面測(cè)量條件下實(shí)現(xiàn)相干聲源聲場(chǎng)分離。但對(duì)聲場(chǎng)局部重建仍需進(jìn)一步研究。

針對(duì)HELS方法缺點(diǎn)，本文提出改進(jìn)的HELS方法，并在其基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)據(jù)外推，發(fā)展出新的PNAH技術(shù)。改進(jìn)的HELS方法將復(fù)雜聲源聲場(chǎng)視為各組成部分產(chǎn)生的相干聲場(chǎng)疊加，各部分單獨(dú)產(chǎn)生的聲場(chǎng)分別由一組獨(dú)立、正交球面波的線性組合表示，利用測(cè)量聲壓求得線性組合系數(shù)，便可計(jì)算輻射聲場(chǎng)；再利用改進(jìn)HELS法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)外推，通過迭代算法減小外推誤差，等效擴(kuò)大測(cè)量面；用外推數(shù)據(jù)進(jìn)行聲場(chǎng)重建，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜聲源或多源相干聲場(chǎng)的局部重建，提高重建精度。聲場(chǎng)重建為典型的反問題，因此在計(jì)算正交球面波的組合系數(shù)時(shí)，采用Tikhonov正則化方法[11]解決病態(tài)問題，正則化參數(shù)由廣義交叉驗(yàn)證(GCV)法[12]確定。仿真分析及半消聲室中雙音箱聲源的實(shí)驗(yàn)研究已驗(yàn)證該方法的正確性、有效性及可行性。

1 HELS方法聲場(chǎng)重建原理

考慮均質(zhì)、可壓縮、無粘性流體中以角頻率ω振動(dòng)的任意輻射體，其聲壓滿足簡化波動(dòng)方程，即Helmholtz方程。HELS方法的基本思想即結(jié)合邊界條件求解Helmholtz方程，將任意場(chǎng)點(diǎn)x處的復(fù)聲壓p(x)表示為一組正交基函數(shù)的線性組合：

(1)

式中：ρ為介質(zhì)密度；c為聲速；Ψ為基函數(shù)；Cj為對(duì)應(yīng)系數(shù)。坐標(biāo)系不同基函數(shù)亦不同，球坐標(biāo)系下基函數(shù)為球面波函數(shù)，由于球面波函數(shù)在MATLAB等軟件的函數(shù)庫中可直接獲得，故通常采用球坐標(biāo)系，Ψ可表示為

(2)

假設(shè)測(cè)點(diǎn)數(shù)為M(M≥J)，據(jù)HELS方法，測(cè)量聲壓向量可表示為矩陣形式：

Pn=ρcΨHC

(3)

式中：

(4)

采用最小二乘法消除一階誤差，得基函數(shù)系數(shù)向量為

(5)

式中：上標(biāo)“*”代表矩陣共軛轉(zhuǎn)置。

2 基于改進(jìn)HELS法的PNAH基本原理

2.1 改進(jìn)的HELS方法

常規(guī)HELS方法用球面波函數(shù)作基函數(shù)時(shí)，較適用于外形尺寸長寬高比接近1:1:1的球形或近似球形聲源。用于其它形狀聲源時(shí)，通常將聲源包含在虛擬球面內(nèi)作為球形聲源處理。一方面測(cè)量需在含聲源的最小球面外進(jìn)行，損失了倏逝波成分，另一方面球面波函數(shù)在聲源形狀高度不規(guī)則時(shí)無法精確描述聲場(chǎng)，導(dǎo)致聲場(chǎng)重建精度較低。工程實(shí)際中聲源形狀較復(fù)雜，常含多個(gè)組成部分，或存在多個(gè)聲源，此時(shí)整體聲源形狀不規(guī)則，尤其當(dāng)各組成部分或聲源聲場(chǎng)相干時(shí)，用常規(guī)的HELS方法難以獲得理想的重建結(jié)果。對(duì)此本文提出改進(jìn)的HELS方法。設(shè)復(fù)雜聲源含K個(gè)組成部分，若各部分為相干聲源，據(jù)相干聲場(chǎng)的可疊加性，實(shí)際聲場(chǎng)可視為各部分聲場(chǎng)的疊加，則式(1)可改寫為

(6)

式(6)用矩陣形式表示為

Pn=ρcΨACA

(7)

CA=(ρc)-1[ΨA]-1PH

(8)

2.2 數(shù)據(jù)外推

為提高聲場(chǎng)重建精度，提出基于改進(jìn)HELS法的PNAH，其核心為數(shù)據(jù)外推。聲源、重建面、全息面及擴(kuò)展面間位置關(guān)系見圖1。數(shù)據(jù)外推目的即由全息面H1上N1個(gè)測(cè)點(diǎn)的聲壓PH1(xh1)獲得更大擴(kuò)展面H2上N2個(gè)點(diǎn)聲壓PH2(xh2)，據(jù)可用外推聲壓進(jìn)行聲場(chǎng)重建，從而以數(shù)值計(jì)算方式等效擴(kuò)大全息孔徑，增加算法輸入的聲場(chǎng)數(shù)據(jù)，減小有限孔徑對(duì)重建結(jié)果影響，提高重建精度及效率。

圖1 數(shù)據(jù)外推基本布局

若已知全息面H1上測(cè)量聲壓PH1，利用改進(jìn)的HELS方法由式(8)可得系數(shù)向量：

{CA}(1)=(ρc)-1[ΨA]-1PH1

(9)

計(jì)算得擴(kuò)展面H2上聲壓為

{PH2}(1)=ρcΨB{CA}(1)=ΨB[ΨA]-1PH1

(10)

由于擴(kuò)展面H2含測(cè)量面H1，將{PH2}(1)中位于H1內(nèi)的部分用實(shí)測(cè)聲壓PH1代替。再將{PH2}(1)作為式(8)的輸入，得系數(shù)向量{CA}(2)，進(jìn)而計(jì)算{PH2}(2)，將與H1重合部分用實(shí)測(cè)聲壓替代后進(jìn)入下次迭代。迭代過程可表示為

(11)

(12)

式中：i為迭代次數(shù)；UB為ΨB進(jìn)行SVD后所得矩陣；

(13)

式中：eps為閾值取10-5。該迭代終止條件及閾值選取見文獻(xiàn)[13]。

實(shí)際上，經(jīng)大量仿真、實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證，外推結(jié)果經(jīng)一定次數(shù)迭代后趨于穩(wěn)定，因此可在應(yīng)用迭代終止條件前進(jìn)行試探性迭代，對(duì)此Jia等[14]已證明此結(jié)論的正確性與合理性。而有關(guān)迭代收斂性理論推導(dǎo)證明仍需進(jìn)一步研究。用外推數(shù)據(jù)作為改進(jìn)HELS法的輸入進(jìn)行全息重建，得重建面聲壓：

PR=ΨR[ΨB]-1PH2

(14)

式中：ΨB為重建面R上所有重建點(diǎn)基函數(shù)矩陣。

3 數(shù)值仿真

為驗(yàn)證基于改進(jìn)HELS法PNAH的有效性，對(duì)多聲源仿真分析。兩個(gè)脈動(dòng)球源，半徑均0.1 m，中心分別位于(-0.4,0,0) m、(0,0,0) m處，表面法向振速2.5×10-3m/s，相干聲場(chǎng)頻率1 000 Hz。全息面H1位置zH=0.15 m，尺寸0.4 m×0.4 m，含5×5個(gè)測(cè)點(diǎn)，擴(kuò)展面H2含13×13個(gè)測(cè)點(diǎn)。重建面R位置zR=0.11 m，尺寸與H2相同，所有網(wǎng)格間距均為0.1 m。測(cè)量數(shù)據(jù)PH1中加入信噪比30 dB的隨機(jī)噪聲。定義聲場(chǎng)重建的平均相對(duì)誤差為

(15)

重建面理論聲壓分布見圖2。用常規(guī)HELS方法進(jìn)行聲場(chǎng)重建，所得聲壓分布見圖3。與圖2理論聲壓分布相比，常規(guī)HELS方法重建的聲場(chǎng)完全失真，無法準(zhǔn)確識(shí)別出聲源位置。聲場(chǎng)重建相對(duì)誤差最大為552.5%，平均誤差為55.88%。

圖2 重建面理論聲壓等高線圖

用改進(jìn)的HELS方法進(jìn)行聲場(chǎng)重建，分別以兩個(gè)球源中心為球面波基函數(shù)原點(diǎn)，利用兩組獨(dú)立的球面波函數(shù)組合表示兩球源各自聲場(chǎng)，測(cè)量聲壓為兩球源各自輻射聲壓之和。將測(cè)點(diǎn)聲壓中沿兩條軸線方向9個(gè)測(cè)點(diǎn)聲壓用于計(jì)算展開項(xiàng)系數(shù)，其余測(cè)點(diǎn)聲壓用于計(jì)算展開項(xiàng)數(shù)，用迭代法獲得最優(yōu)展開項(xiàng)數(shù)J=3，獲得對(duì)應(yīng)的展開項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行聲場(chǎng)重建，重建結(jié)果見圖4。由圖4看出，重建結(jié)果得到較大改善，重建聲壓與理論值較接近，最大相對(duì)誤差約14%。

為進(jìn)一步提高重建精度，采用基于改進(jìn)HELS法的PANH技術(shù)，即利用25個(gè)測(cè)點(diǎn)聲壓進(jìn)行數(shù)據(jù)外推獲得全息外144個(gè)新增點(diǎn)聲壓，再用外推聲壓進(jìn)行聲場(chǎng)重建。利用迭代20次的外推數(shù)據(jù)重建結(jié)果見圖5。可見，重建精度獲得大幅提高，最大相對(duì)誤差降至4.05%，整體平均誤差僅0.87%。

圖5 數(shù)據(jù)外推20次迭代后重建誤差

為說明數(shù)據(jù)外推過程的收斂性，聲場(chǎng)整體重建誤差隨數(shù)據(jù)外推迭代次數(shù)的變化見圖6。由圖6看出，隨迭代次數(shù)的增加，重建誤差逐漸降低；迭代次數(shù)增加到50次后，誤差減小速度變慢，最終趨于穩(wěn)定值。在多次仿真分析中，迭代200次以內(nèi)大多可實(shí)現(xiàn)收斂，與基于FFT的PNAH[3]或基于邊界元算法的PNAH[4]相比，該方法收斂速度較快。

以上仿真結(jié)果說明，基于改進(jìn)HELS法的PNAH不僅適用于復(fù)雜聲源或多源相干聲場(chǎng)的重建，且可提高重建精度、穩(wěn)定性良好。

4 實(shí)驗(yàn)研究

為驗(yàn)證基于改進(jìn)HELS法的PNAH技術(shù)在實(shí)際應(yīng)用中的正確性、可行性，在半消聲室中對(duì)雙音箱聲源進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究。實(shí)驗(yàn)設(shè)置見圖7，消聲室本底噪聲15.6 dB(A)，室內(nèi)支架上放置兩音箱作為聲源，音箱紙盆中心分別位于(-0.4,0,0) m、(0,0,0) m，全息面上均勻布置間距0.1 m的5×5個(gè)傳聲器，測(cè)量距離zH為0.15 m。數(shù)據(jù)外推時(shí)，擴(kuò)展面大小為1.2 m×1.2 m，網(wǎng)格間距及位置均與全息面相同。重建面位置zR=0.1 m，尺寸與擴(kuò)展面相同。音箱產(chǎn)生的相干聲場(chǎng)頻率為1 000 Hz。

圖7 雙音箱實(shí)驗(yàn)布置

常規(guī)HELS方法的重建結(jié)果見圖8。由圖8看出，聲源位置與實(shí)際音箱位置完全不符。取重建面與全息面對(duì)應(yīng)位置的局部聲場(chǎng)重建結(jié)果與測(cè)量結(jié)果比較，計(jì)算得聲場(chǎng)重建相對(duì)誤差，最大誤差為193.9%，平均誤差為40.38%。

圖8 常規(guī)HELS法重建聲壓

采用本文改進(jìn)的HELS方法，聲場(chǎng)重建結(jié)果見圖9。由圖9看出，盡管左邊聲源不夠明顯，但聲源位置與音箱實(shí)際擺放位置基本一致。與常規(guī)的HELS方法相比，改進(jìn)的HELS方法更適用于復(fù)雜聲源或多源相干聲場(chǎng)的重建。

為說明數(shù)據(jù)外推對(duì)聲場(chǎng)重建精度影響，取全息面位置局部聲場(chǎng)重建結(jié)果與測(cè)量聲壓比較，以便計(jì)算聲場(chǎng)重建相對(duì)誤差。直接采用改進(jìn)的HELS方法進(jìn)行重建，相對(duì)誤差見圖10，最大誤差30%，平均誤差7.94%。采用數(shù)據(jù)外推數(shù)據(jù)進(jìn)行重建，誤差見圖11，最大誤差3.63%，平均誤差5.67%。因此，數(shù)據(jù)外推過程可進(jìn)一步減小聲場(chǎng)重建誤差、提高重建精度。該實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了基于改進(jìn)HELS法的PNAH技術(shù)的有效性及可行性。

4 結(jié) 論

(1) 本文提出基于改進(jìn)HELS法的PNAH技術(shù)。針對(duì)常規(guī)HELS方法對(duì)復(fù)雜聲源或多源相干聲場(chǎng)重建精度低的問題，提出的改進(jìn)HELS方法，對(duì)聲場(chǎng)假設(shè)更合理，能成功重建復(fù)雜聲源或多源相干聲場(chǎng)。

(2) 利用改進(jìn)HELS方法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)外推，再用外推結(jié)果進(jìn)行聲場(chǎng)重建。通過計(jì)算方式等效增大全息面尺寸，提高聲場(chǎng)重建精度。通過仿真分析及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，表明該技術(shù)不僅繼承了常規(guī)HELS方法優(yōu)點(diǎn)，可實(shí)現(xiàn)復(fù)雜聲源或多源相干聲場(chǎng)的局部重建，且重建精度較高；針對(duì)聲源類型接近工程實(shí)際，便于應(yīng)用。

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