孟令帥，孫景工，牛 福，任旭東，祁建成

(軍事醫(yī)學(xué)科學(xué)院 衛(wèi)生裝備研究所，天津 300161)

作為一種非線性隔振系統(tǒng)，準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)一般通過線性正剛度彈簧并聯(lián)負(fù)剛度機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。通過正負(fù)剛度并聯(lián)，準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)同時(shí)具有較高的靜態(tài)剛度和較低的動態(tài)剛度，在隔離低頻和超低頻振動時(shí)有很好的隔振性能，一直以來尤其是近年來成為國內(nèi)外學(xué)者的研究熱點(diǎn)。Alabuzhev等[1]首先較為全面地闡述了準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的理論，并提出了許多設(shè)計(jì)方法。Platus[2]采用了在軸向載荷作用下互相鉸接的兩根桿作為負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，之后張建卓等[3]采用相似的軸向載荷作用下的歐拉壓桿作為負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其用于精密儀器隔振的可行性。Carrella等[4-6]系統(tǒng)地研究了對稱斜彈簧并聯(lián)垂直彈簧機(jī)構(gòu)的靜力學(xué)特性和在平衡位置附近的隔振性能。Thanh等[7]研究了水平彈簧通過連桿并聯(lián)垂直彈簧來獲得靜力平衡位置的準(zhǔn)零剛度，并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其用于汽車座椅隔振的優(yōu)異表現(xiàn)。路純紅等[8]采用了一種新型連桿彈簧機(jī)構(gòu)作為負(fù)剛度機(jī)構(gòu)，增加了系統(tǒng)的靜態(tài)承載能力。劉興天等[9]研究了采用滑動梁作為負(fù)剛度機(jī)構(gòu)的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，進(jìn)一步擴(kuò)展了準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)方法。

本文基于正負(fù)剛度并聯(lián)隔振原理，采用碟形彈簧作為負(fù)剛度機(jī)構(gòu)與線性正剛度彈簧并聯(lián)，提出了一種新型準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)。通過靜力學(xué)特性研究，分析了系統(tǒng)在靜力平衡位置附近的準(zhǔn)零剛度特性；通過動力學(xué)特性研究，建立了系統(tǒng)分別在簡諧力和簡諧位移激勵(lì)下的非線性動力學(xué)方程，應(yīng)用平均法得到系統(tǒng)的力傳遞率和位移傳遞率；并與其等效線性系統(tǒng)進(jìn)行了比較，分析了系統(tǒng)參數(shù)和激勵(lì)幅值對該系統(tǒng)力傳遞率和位移傳遞率的影響。

1 靜力學(xué)特性研究

1.1 碟形彈簧

如圖1所示的碟形彈簧彈性模量為E，泊松比為μ，a，b分別為碟形彈簧的外半徑和內(nèi)半徑，e1，e2分別為支點(diǎn)到軸線的距離，h為碟形彈簧的內(nèi)錐高，δ為碟形彈簧的厚度。在軸向力fd的作用下，其力位移關(guān)系可表示為[10-11]

(1)

圖1 碟形彈簧的結(jié)構(gòu)示意圖

(2)

(3)

1.2 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)

將碟形彈簧與剛度為kv的線性正剛度彈簧并聯(lián)，構(gòu)造出一種新型準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示。在軸向力f的作用下，不考慮質(zhì)量m，該準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的力位移關(guān)系可表示為

(4)

(5)

圖2 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖

(6)

圖3 不同剛度比條件下的曲線

(7)

(8)

圖4 不同系統(tǒng)參數(shù)條件下的無量綱剛度位移曲線

2 動力學(xué)特性研究

2.1 動力學(xué)建模

如圖2所示，當(dāng)系統(tǒng)承載質(zhì)量為m的被隔振物體后，剛好在碟形彈簧處于壓平狀態(tài)，即u=0時(shí)，達(dá)到靜力平衡，且系統(tǒng)在平衡位置的剛度為零。由式(5)和式(8)得

(9)

此時(shí)，對被隔振物體施加簡諧力激勵(lì)f=f0cos(ωt)或?qū)┘雍喼C位移激勵(lì)z=z0cos(ωt)，根據(jù)牛頓第二定律分別得到系統(tǒng)的非線性動力學(xué)方程為

(10a)

(10b)

其中：y=u-z，f1=mg+kvu3/[δ2(α2-2Γ)]，f2=mg+kvy3/[δ2(α2-2Γ)]。

將式(9)帶入式(10)，系統(tǒng)的無量綱運(yùn)動方程化為

(11a)

(11b)

式(11)可統(tǒng)一化為

(12)

(13a)

(13b)

式(13)右邊可以用外界激勵(lì)一個(gè)周期內(nèi)的平均值代替，得到

(14a)

(14b)

對式(14)的右邊積分，并令左邊等于零，得到

(15a)

(15b)

兩式平方和得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)函數(shù)為

(16)

上式是關(guān)于Ω2的二次項(xiàng)方程，對于系統(tǒng)分別在簡諧力和簡諧位移激勵(lì)條件下，解得

(17)

(18)

當(dāng)系統(tǒng)在簡諧力激勵(lì)作用下，傳遞到基座上的無量綱作用力為

(19)

則系統(tǒng)的力傳遞率為

(20)

當(dāng)系統(tǒng)在簡諧位移激勵(lì)作用下，被隔振物體的無量綱位移為

(21)

則系統(tǒng)的位移傳遞率為

(22)

系統(tǒng)的最大傳遞率幅值對應(yīng)于系統(tǒng)的最大響應(yīng)幅值，分別令式(17)和式(18)中的兩式相等，得到系統(tǒng)分別在簡諧力和簡諧位移激勵(lì)下的最大響應(yīng)幅值和其對應(yīng)的頻率為

(23a)

(23b)

(24a)

(24b)

將式(23)和式(24)分別代入式(20)和式(22)可以得到系統(tǒng)分別在簡諧力和簡諧位移激勵(lì)下的最大傳遞率幅值。

當(dāng)系統(tǒng)除去負(fù)剛度結(jié)構(gòu)碟形彈簧時(shí)，被隔振物體由線性正剛度彈簧獨(dú)自承載。該等效線性系統(tǒng)的靜態(tài)位移增加，但其在相同簡諧力激勵(lì)作用下的力傳遞率和相同簡諧位移激勵(lì)作用下的位移傳遞率不變，均為

(25)

2.2 系統(tǒng)參數(shù)和激勵(lì)幅值對傳遞率的影響

根據(jù)2.1節(jié)中的分析，得到系統(tǒng)參數(shù)和激勵(lì)幅值對系統(tǒng)的力傳遞率和位移傳遞率的影響如圖5-7所示。

圖5 非線性項(xiàng)對系統(tǒng)傳遞率的影響

如圖5所示，當(dāng)激勵(lì)頻率小于系統(tǒng)最大傳遞率幅值對應(yīng)的頻率時(shí)，系統(tǒng)的傳遞率幅值大于線性系統(tǒng)；當(dāng)激勵(lì)頻率大于系統(tǒng)最大傳遞率幅值對應(yīng)的頻率時(shí)，系統(tǒng)的傳遞率幅值小于其等效線性系統(tǒng)；當(dāng)激勵(lì)頻率特別大時(shí)，系統(tǒng)和其等效線性系統(tǒng)的傳遞率趨于相等。相較于其等效線性系統(tǒng)，該系統(tǒng)的隔振起始頻率低，隔振頻率范圍大。且非線性項(xiàng)越小，系統(tǒng)的隔振起始頻率越低，隔振頻率范圍越大，系統(tǒng)的最大傳遞率幅值越小，對被隔振物體造成的危害越小，隔振性能越好。結(jié)合圖4，可以通過增大α值和減小C值來獲得更小的非線性項(xiàng)，從而使系統(tǒng)具有更好的隔振性能。

如圖6所示，激勵(lì)幅值對系統(tǒng)的力傳遞率和位移傳遞率影響與非線性項(xiàng)對系統(tǒng)的影響基本相同。相較于其等效線性系統(tǒng)傳遞率不受激勵(lì)幅值的影響，該系統(tǒng)的激勵(lì)幅值越小，系統(tǒng)的隔振起始頻率越低，隔振頻率范圍越大，系統(tǒng)的最大傳遞率幅值越小，對被隔振物體造成的危害越小，隔振性能越好。因此，可以通過適當(dāng)?shù)乜刂萍?lì)幅值來獲取系統(tǒng)更好的隔振性能。

如圖7所示，與等效線性系統(tǒng)基本一致，阻尼比越大，該系統(tǒng)在共振頻率附近的傳遞率幅值越小，在高頻時(shí)的傳遞率幅值越大，系統(tǒng)的最大傳遞率幅值越小，不穩(wěn)定區(qū)域逐漸減小，對被隔振物體造成的危害越小。

除此之外，不同于簡諧力激勵(lì)下系統(tǒng)的力傳遞率，該系統(tǒng)在受到簡諧位移激勵(lì)時(shí)，較大的非線性項(xiàng)和激勵(lì)幅值或者較小的阻尼比會導(dǎo)致其出現(xiàn)極大的最大位移傳遞率幅值，嚴(yán)重影響系統(tǒng)的隔振性能。

綜上所述，為了使該隔振系統(tǒng)能隔離超低頻或低頻振動，并具有很好的隔振性能，可以在適當(dāng)?shù)乜刂萍?lì)幅值的基礎(chǔ)上，通過增大α值和減小C值來減小系統(tǒng)的非線性項(xiàng)或者增大系統(tǒng)的阻尼比。

3 結(jié) 論

本文通過碟形彈簧與線性彈簧并聯(lián)，設(shè)計(jì)了一種新型準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，并研究了該系統(tǒng)的靜力學(xué)和動力學(xué)特性。通過靜力學(xué)研究，系統(tǒng)在平衡位置可以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性，并且可以通過增大α值和減小C值來獲取系統(tǒng)在平衡位置附近的較小剛度和較大的較小剛度范圍；通過動力學(xué)分析，分別研究了不同非線性項(xiàng)、激勵(lì)幅值和阻尼比對系統(tǒng)力傳遞率和位移傳遞率的影響，并與其等效線性系統(tǒng)進(jìn)行了比較。研究表明，在適當(dāng)?shù)乜刂萍?lì)幅值的基礎(chǔ)上，通過增大α值和減小C值來減小系統(tǒng)的非線性項(xiàng)或者增大系統(tǒng)的阻尼比，使系統(tǒng)在隔離超低頻或低頻振動時(shí)具有優(yōu)異的隔振性能。

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