董林璽,俞 權(quán),包金艷,陶家平

(1.杭州電子科技大學(xué)射頻電路與系統(tǒng)教育部重點實驗室,杭州 310018;2.中科院上海傳感技術(shù)聯(lián)合國家重點實驗室,上海 200050)

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MEMS圓盤諧振器形變對電氣剛度影響分析*

董林璽1,2*,俞 權(quán)1,包金艷1,陶家平1

(1.杭州電子科技大學(xué)射頻電路與系統(tǒng)教育部重點實驗室,杭州 310018;2.中科院上海傳感技術(shù)聯(lián)合國家重點實驗室,上海 200050)

電氣剛度是影響MEMS諧振器諧振頻率精度的因素之一。但是對于諧振器受到應(yīng)力時,產(chǎn)生的形變量對電氣剛度的影響的理論研究報道甚少。鑒于此,本文對電容式盤結(jié)構(gòu)諧振器受徑向靜電力和縱向慣性力下的形變量以及電氣剛度的改變量進行了系統(tǒng)的理論分析。研究結(jié)果表明,當(dāng)圓盤與電極間隙為50 nm,且電壓達到50 V時,圓盤由于靜電力產(chǎn)生的徑向形變量可達間隙的2.05%,電氣剛度改變6.15%。當(dāng)圓盤半徑為100 μm,且受到10 000gn的縱向慣性力時,其最大形變量可以達到圓盤厚度的2.4%,電氣剛度改變2.4%。本文分析結(jié)果對其他盤結(jié)構(gòu)諧振器的分析亦有重要借鑒意義。

MEMS圓盤諧振器;靜電力;慣性力;形變量;電氣剛度

微機電系統(tǒng)MEMS(Micro Electro Mechanical Systems),是微電子技術(shù)的拓寬和延伸,它是將微電子技術(shù)和精密機械加工技術(shù)相互融合,并將微電子與機械融為一體的系統(tǒng)。MEMS現(xiàn)已成為全世界增長最快的市場之一,不斷開拓汽車、醫(yī)學(xué)、航天和軍事市場[1-2]。而對于MEMS器件的研究是提高其性能的關(guān)鍵因素。在MEMS器件中,圓盤諧振器由于其頻率高,集成度高,Q值高,功耗小等優(yōu)勢成為學(xué)者研究的熱點之一,廣泛應(yīng)用于振蕩器、濾波器等無線通信系統(tǒng)的元件中[3-4]。

在對圓盤諧振器的研究中,電氣剛度引起的靜電彈簧軟化效應(yīng)能使圓盤諧振頻率發(fā)生微小頻偏。因此,研究電氣剛度對提高諧振頻率精度,提升諧振器性能尤為重要。Clark T C Nguyen研究了電氣剛度產(chǎn)生原理并分析了它對圓盤諧振器諧振頻率偏移的影響[5]。Mehmet Akgul研究了圓盤諧振器陣列的電氣剛度調(diào)諧機制來提高陣列輸出電流[6]。但是他們研究電氣剛度時,沒有考慮到圓盤受外界應(yīng)力時,產(chǎn)生的形變會導(dǎo)致電氣剛度發(fā)生變化。鑒于此,本文分析了圓盤諧振器受靜電力和外界慣性力時,產(chǎn)生的形變量對電氣剛度大小的影響。

1 圓盤諧振器運行原理

中心支撐徑向模式圓盤諧振器原理圖如圖1所示。

圖1 中心支撐徑向模式圓盤諧振器原理圖

圓盤諧振器及電極由多晶硅制成。圓盤通過底面圓柱形錨懸空在基片上,兩邊電極包圍其圓盤,并通過狹小的間隙(通常為真空)形成電容式換能器[7-8]。當(dāng)圓盤本身加載直流偏置電壓V,輸入電極加載與圓盤一階固有頻率相同的交流小信號電壓vi時,圓盤與電極之間產(chǎn)生發(fā)射狀時變靜電力,使圓盤徑向擴大和縮小。靜電力大小可以表示為[9]

(1)

其中C為圓盤與輸入電極電容,r為圓盤徑向形變。圓盤的這種諧振運動使輸出電極端產(chǎn)生了時變電容,進而在輸出電極產(chǎn)生交流輸出電流。由于靜電彈簧軟化效應(yīng),圓盤振動時的諧振頻率小于其固有頻率,其大小可以表示為[10]

(2)

其中f0為諧振頻率,f為固有頻率,mre為圓盤有效質(zhì)量,km為純機械剛度,ke為電氣剛度,其大小可以表示為

(3)

其中ε0為真空介電常數(shù),A為圓盤與電極重疊面積,d為圓盤與電極初始間隙,R為圓盤半徑,t為圓盤厚度。當(dāng)圓盤的純機械剛度和有效質(zhì)量不變時,電氣剛度的變化決定了圓盤諧振頻率精度。

2 徑向靜電力下形變及電氣剛度分析

當(dāng)圓盤加載直流偏置電壓時,產(chǎn)生的固定靜電力分量能使圓盤產(chǎn)生一定的徑向形變。此形變會導(dǎo)致檢測電容產(chǎn)生一定變化,從而改變電氣剛度大小。根據(jù)式(1)可得,其右邊第一部分靜電力分量與交流小信號電壓頻率相同,使圓盤發(fā)生諧振運動。第二部分為固定靜電力分量,使圓盤發(fā)生徑向固定形變。而輸出電極與圓盤之間也有固定的靜電力分量,大小與輸入電極和圓盤之間的靜電力相等。由于輸入輸出電極幾乎完全包圍圓盤,因此可以認(rèn)為圓盤橫截面每個節(jié)點受到相等的固定靜電力。圓盤受徑向靜電力示意圖如圖2所示。

圖2 圓盤受徑向靜電力示意圖

現(xiàn)分析圓盤由于固定靜電力而產(chǎn)生的徑向形變量。由彈性力學(xué)的知識以及廣義胡克定律可得,當(dāng)圓盤的半徑為R,楊氏模量為E,泊松比為υ,橫截面受均勻應(yīng)力P時,其平衡方程可以簡化為[11]

(4)

其中u為徑向形變大小,r為圓盤某節(jié)點離圓盤中心的距離。方程邊界條件為圓盤中心和邊界的應(yīng)力載荷,即當(dāng)r=0時,應(yīng)力σr=0,當(dāng)r=R時,σr=P。通過廣義胡克定律中應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,可以得到其解為

(5)

對于MEMS圓盤諧振器,其驅(qū)動力為靜電力,忽略邊緣效應(yīng),其大小為

(6)

當(dāng)靜電力作用于圓盤時,由于圓盤橫截面每個節(jié)點所受靜電力相等,因此,其應(yīng)力P值大小為

(7)

在圓盤半徑處(r=R),圓盤的形變量可以表示為

(8)

由式(8)可以得到,圓盤橫截面上的徑向形變量與所加偏置電壓的平方成正比,與初始間隙的平方成反比,并與圓盤半徑、材料特性有關(guān),與圓盤厚度無關(guān)。此形變量將導(dǎo)致圓盤與電極初始間隙發(fā)生變化,從而改變了電氣剛度大小。其改變幅度可由ke對d的一階導(dǎo)數(shù)得到。

(9)

(10)

由式(10)可得,電氣剛度的改變量是圓盤與電極間隙改變量的3倍。以下通過ANSYS仿真分析圓盤在徑向靜電力下的形變量,并由此計算電氣剛度改變量。表1列出了仿真的圓盤材料特性及尺寸。

表1 圓盤諧振器材料特性及尺寸

現(xiàn)分析圓盤固定尺寸下徑向形變量與所加電壓的關(guān)系。根據(jù)式(8),可得圓盤邊界形變量與電壓之間的關(guān)系為

通過有限元仿真可得在不同電壓下圓盤邊界的形變量,將仿真值與理論值進行對比,其結(jié)果如圖3所示。

圖3 理論值與仿真值形變量分析

上述仿真結(jié)果是以圓盤右邊界的節(jié)點x方向的形變值作為參考的,其y方向和z方向的形變量由于比較小,忽略不計。從上圖結(jié)果可知,理論值和仿真值十分得吻合,誤差很小。

實際上,由于器件的非理想性,理論分析與實際器件的運行有一定的不同:理論分析是基于電極完全包圍圓盤,圓盤橫截面所有節(jié)點受力相同而得出的。但是實際中,由于電極不能完全包圍圓盤(除非圓盤運行在單端模式,圓盤本身進行信號輸出),導(dǎo)致圓盤橫截面靜電力分布不均勻,使圓盤不能理想化地以徑向方向形變。當(dāng)電壓為16 V時,圓盤徑向形變分布圖如圖4所示。

圖4 圓盤徑向形變分布圖

在分析提高圓盤諧振器性能時,可以通過降低間隙和增加偏置電壓來降低運動電阻[12-13]。但這也會產(chǎn)生較大的徑向形變量,導(dǎo)致電氣剛度的改變不能忽略。由上述理論計算,當(dāng)間隙降為50 nm,偏置電壓為50 V時,其形變量能達到間隙的2.05%,電氣剛度改變6.15%。此時,電氣剛度的改變量對于諧振頻率的影響不能忽略。

3 縱向慣性力下形變及電氣剛度分析

圓盤諧振器不僅會在工作時由于靜電力產(chǎn)生徑向形變,而且會由于長期處于慣性條件下而產(chǎn)生形變[14-15],從而改變圓盤諧振器的電氣剛度。本文根據(jù)圓盤薄板彎曲理論,研究了圓盤縱向形變量與所加靜態(tài)縱向慣性加速度的關(guān)系,并以此分析電氣剛度的改變量。

圓盤薄板彎曲的微分方程可以表示為[16]

D22u=q

(11)

2=++

(12)

D稱為薄板的彎曲剛度,其大小可以表示為

(13)

u為板的縱向彎曲形變量,q為外界縱向靜態(tài)慣性載荷。圓盤受縱向慣性載荷簡圖如圖5所示。

圖5 圓盤受縱向慣性載荷簡圖

由于此次分析的慣性載荷關(guān)于圓盤圓面軸對稱,且載荷為靜力載荷,因此u與θ無關(guān)。此時微分方程可以表示為

(14)

根據(jù)圓盤錨點和邊界條件,可以計算其解為

(15)

當(dāng)r=R時,圓盤的形變量最大,其值可以表示為

(16)

對于添加的慣性載荷,大小可以表示為F=ma,其中m為圓盤質(zhì)量,其大小為m=ρAt,其中ρ為圓盤密度。因此,q可以表示為

(17)

將式(13)和式(17)代入式(16),可得

(18)

由式(18)可以得到,圓盤最大縱向形變量與圓盤厚度,圓盤半徑,以及材料特性有關(guān),并與所加慣性加速度成線性正比例關(guān)系。此形變量將導(dǎo)致圓盤與電極重疊面積發(fā)生變化,從而改變了電氣剛度大小。其改變幅度可由ke對A的一階導(dǎo)數(shù)得到。

(19)

(20)

由式(20)可得,電氣剛度的改變量和圓盤與電極重疊面積改變量相等。以下通過ANSYS仿真分析圓盤在縱向慣性力下的形變量,并由此計算電氣剛度改變量。ANSYS可模擬靜態(tài)慣性加速度,當(dāng)a=g時,其圓盤縱向形變分布圖如圖6所示。

圖6 圓盤縱向形變分布圖

根據(jù)表1中材料特性及尺寸,可得圓盤在縱向靜態(tài)慣性加速度下的最大形變量為

1.75×10-14a

對圓盤施加不同大小的慣性加速度載荷,可以得到圓盤邊界不同的最大形變值。把仿真值與理論值進行對比,可得如圖7中的關(guān)系曲線。

圖7 理論值與仿真值的形變量比較

由上述理論分析及仿真結(jié)果可得,圓盤最大的形變量發(fā)生在圓盤邊界,其值與所加的慣性加速度成線性正比例關(guān)系。此形變量將使圓盤與電極重疊面積發(fā)生變化,導(dǎo)致電氣剛度同等程度改變。由上述分析可以得到,當(dāng)圓盤半徑變?yōu)?00 μm且受到10 000gn的慣性加速度時,圓盤最大形變量為圓盤厚度的2.4%,電氣剛度改變2.4%。此時,分析圓盤諧振器諧振頻率時此電氣剛度改變量需考慮在內(nèi)。

上述分析是基于圓盤的錨點是無窮小的不動點的假設(shè)得到的。實際器件中,錨的有限尺寸會對圓盤的彎曲形變量產(chǎn)生重要影響。圖8顯示了當(dāng)a=g時,圓盤邊界形變量與錨半徑之間的關(guān)系曲線。此圖表明,增大錨的半徑可以顯著降低圓盤向下彎曲形變量,從而減小電氣剛度的改變。但是增大錨半徑會增加從圓盤到基片的能量損耗,從而降低Q值[17]。因此,在設(shè)計錨的尺寸時需同時考慮對形變量和Q值的影響。

圖8 圓盤邊界形變量與錨半徑的關(guān)系曲線

4 靜電力和慣性力同時作用下的電氣剛度分析

當(dāng)徑向靜電力和縱向慣性力同時作用于圓盤諧振器時,若忽略靜電力與慣性力之間的相互作用,電氣剛度的該變量可以表示為

(21)

(22)

(23)

由式(23)以及(20)和(10)可得,諧振器電氣剛度的改變量可以表示為由徑向靜電力和縱向慣性力導(dǎo)致的電氣剛度的改變量的線性疊加。此外,式(23)表明縱向慣性力導(dǎo)致的電氣剛度的降低可以抵消徑向靜電力導(dǎo)致的電氣剛度增加。在實際諧振頻率測量中,當(dāng)圓盤諧振器處于振動環(huán)境時,若所加電壓一定,可以得到其諧振頻率隨著縱向慣性力的增加而增加。當(dāng)所加慣性力一定時,其諧振頻率隨著偏置電壓的增加而減小。并且由于固定徑向靜電力的形變作用,其諧振頻率減小幅度將越來越大。

5 結(jié)論

本文分析了圓盤諧振器受徑向靜電力和縱向慣性力作用下的形變量,得到了徑向形變量與所加電壓以及縱向形變量與慣性加速度之間的關(guān)系曲線,并以此研究電氣剛度的改變大小。當(dāng)圓盤受到徑向靜電力時,其邊界形變量會隨著間隙的降低以及電壓的增加而顯著增加。當(dāng)間隙降為50 nm且電壓達到50 V時,其徑向形變量可以達到間隙的2.05%,電氣剛度改變6.15%。當(dāng)圓盤受到縱向慣性力時,其邊界形變量最大,其值與所加慣性加速度成線性正比例關(guān)系。對于半徑為100 μm的圓盤,當(dāng)慣性加速度為10 000gn時,其最大形變量可以達到圓盤厚度的2.4%,電氣剛度改變2.4%。最后,本文分析了圓盤諧振器同時受到徑向靜電力和縱向慣性力時的電氣剛度改變量,得到了實際測量中圓盤諧振器諧振頻率的變化與偏置電壓和慣性力大小的關(guān)系。由于電氣剛度決定了圓盤諧振器諧振頻率精度,而圓盤受力下的形變使電氣剛度發(fā)生變化,因此本文結(jié)論可為未來設(shè)計高頻率精度的電容式盤結(jié)構(gòu)諧振器提供依據(jù)。

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董林璽(1976-),男,博士,研究員,碩士生導(dǎo)師,主要從事超高精度MEMS傳感技術(shù)、RF MEMS器件、NEMS諧振器等方面的研究,已發(fā)表SCI/EI收錄論文二十余篇,donglinxi@hdu.edu.cn;

俞權(quán)(1990-),男,碩士,主要從事MEMS諧振器的研究;1024080438@qq.com。

AnalysisofImpactofDeformationonElectricalStiffnessforMEMSDiskResonator*

DONGLinxi1,2*,YUquan1,BAOJinyan1,TAOJiaping1

(1.The Key Laboratory of RF Circuits and System of Ministry of Education,Hangzhou Dianzi University,Hangzhou 310018,China;2.State Key Laboratory of Transducer Technology,Chinese Academy of Sciences,Shanghai 200050,China)

Electrical stiffness is one of the factors that affect the resonant frequency accuracy of MEMS resonator.But there are few reports on the study of the impact of deformation on the electrical stiffness when the resonator is under the stress.Therefore,the deformation under the radial electrostatic force and longitudinal inertial force,and the variation on the electrical stiffness of capacitive disk resonator are systematically analyzed in this paper.The results show that when the gap between the disk and electrodes is 50 nm,and the voltage reaches 50 V,the radial deformation due to the electrostatic force can be 2.05% of the gap and the electrical stiffness changes 6.15%.When the longitudinal inertial force of 10 000gnis supplied,if the radius of disk is 100 μm,the biggest deformation can be 2.4% of the disk thickness and the electrical stiffness changes 2.4%.The results of this paper also have important references for other disk resonators.

MEMS disk resonator;electrostatic force;inertial force;deformation;electrical stiffness

項目來源:國家自然科學(xué)基金項目(60506015);浙江省自然科學(xué)基金項目(Y107105);GHz頻率機械耦合陣列組合的盤結(jié)構(gòu)電容式微機械諧振器關(guān)鍵技術(shù)研究項目(61376117);規(guī)模集成振動微機械諧振器的靜電調(diào)諧技術(shù)研究項目(LY13F040004)

2014-02-28修改日期:2014-05-26

10.3969/j.issn.1004-1699.2014.07.006

TP212

:A

:1004-1699(2014)07-0881-05