全秀娥

(吉首大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院，湖南 吉首416000)

基于PASCO轉(zhuǎn)動實(shí)驗(yàn)裝置的質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動慣量測量*

全秀娥

(吉首大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院，湖南 吉首416000)

為提高實(shí)驗(yàn)的精確度，減少實(shí)驗(yàn)誤差，在PASCO轉(zhuǎn)動實(shí)驗(yàn)裝置中運(yùn)用落體法對質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動慣量進(jìn)行測量.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，下落加速度a應(yīng)取v-t圖像的斜率，并非a-t圖像的截距；對同一轉(zhuǎn)動系統(tǒng)，通過2次改變懸掛物的質(zhì)量m下落來消除阻力矩對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響；為了減少2次下落時阻力矩的誤差，懸掛物的質(zhì)量差Δm越小，實(shí)驗(yàn)結(jié)果越精確，相對誤差最小值達(dá)到0.54%.

PASCO轉(zhuǎn)動實(shí)驗(yàn)裝置；轉(zhuǎn)動慣量；下落加速度；阻力矩

大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)是理工科院校本科生重要的基礎(chǔ)課程，是大學(xué)生進(jìn)入高校必修課程之一，其中剛體轉(zhuǎn)動慣量的測量是高校大學(xué)生必修的基礎(chǔ)性物理實(shí)驗(yàn).傳統(tǒng)的落體法在測量剛體轉(zhuǎn)動慣量時忽略了阻力矩的影響，當(dāng)懸掛物的下落加速度a遠(yuǎn)小于重力加速度g時，忽略力矩mar這一項(xiàng)，且實(shí)驗(yàn)要求下落高度為h時，須從初速度為0開始計時[1-2]，這些因素都會對實(shí)驗(yàn)結(jié)果帶來較大的實(shí)驗(yàn)誤差.筆者利用PASCO轉(zhuǎn)動實(shí)驗(yàn)裝置測量了質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動慣量，該裝置的傳感器利用了先進(jìn)的傳感技術(shù)，可實(shí)時采集物理量，計算機(jī)接口將來自傳感器的數(shù)據(jù)信號輸入計算機(jī)，采樣頻率最高可達(dá)25萬次/s.

1 實(shí)驗(yàn)裝置與原理

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置圖

利用PASCO實(shí)驗(yàn)裝置，由落體法測量質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動慣量的儀器如圖1所示.

由理論分析可知，質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量為

I=(M1+M2)R2.

(1)

其中：M1，M2是待測質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量；R是質(zhì)點(diǎn)離轉(zhuǎn)軸的距離.用電子天平測量待測質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量M1，M2，用刻度尺測量轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心的距離R，由(1)式計算出轉(zhuǎn)動慣量的理論值.

在該裝置中，剛體轉(zhuǎn)動體系受到2個力矩的作用：一個是繩子的拉力矩τ(τ=Tr，r為繞線塔輪的半徑，T=mg-ma)；另一個是剛體轉(zhuǎn)動體系受到的阻力矩τf，該阻力矩主要包括轉(zhuǎn)軸軸承處的摩擦力矩、滑輪軸的阻力矩和轉(zhuǎn)動時的空氣阻力矩.因此,已知懸掛物的質(zhì)量m、線加速度a和角加速度β，就可得轉(zhuǎn)動慣量I.由上述分析可知：

(2)

利用PASCO裝置由下落法測量質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量，具體步驟如下：(ⅰ)安裝并調(diào)節(jié)實(shí)驗(yàn)儀器，記錄塔輪半徑r，確定補(bǔ)償阻力矩的下落質(zhì)量m0.考慮阻力矩的存在，應(yīng)對其進(jìn)行補(bǔ)償測量.確定繩子末端應(yīng)加放質(zhì)量m0為多少的物塊來克服阻力矩，保證物塊勻速下落.在位移-時間圖中，斜率為線速度v，若它為常數(shù)，顯然物體是勻速下落的，m0稱為補(bǔ)償摩擦質(zhì)量.(ⅱ)測量該裝置安裝質(zhì)點(diǎn)時的轉(zhuǎn)動慣量.將質(zhì)量m′(其中m′=m0+m)約為50 g的懸掛物放在繩子末端，在PASCO裝置軟件上運(yùn)行靈敏滑輪測量程序，將線繞在中心軸的滑輪上,讓物體從桌沿落下，在物體開始下落時采集數(shù)據(jù)，在落地前結(jié)束數(shù)據(jù)的采集.作出a-t和β-t關(guān)系曲線，2個曲線圖的截距分別為線加速度a和角加速度β,用(2)式即可求出裝置和質(zhì)點(diǎn)一起時的轉(zhuǎn)動慣量.(ⅲ)測量裝置空載時的轉(zhuǎn)動慣量.把質(zhì)點(diǎn)從轉(zhuǎn)動裝置中取走，裝置空載時重復(fù)實(shí)驗(yàn)步驟(ⅱ)，就可以測量出空載時的轉(zhuǎn)動慣量.裝置和質(zhì)點(diǎn)一起時的轉(zhuǎn)動慣量減去裝置空載時的轉(zhuǎn)動慣量就得到質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量.[3]

2 測量與分析

2.1加速度a和角加速度β的選取

在PASCO實(shí)驗(yàn)裝置上進(jìn)行落體法測量質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動慣量原實(shí)驗(yàn)中，物體下落的加速度a和角加速度β分別是加速度-時間和角加速度-時間關(guān)系曲線圖的截距.然而這樣取得的線加速度a和角加速度β存在問題.該P(yáng)ASCO實(shí)驗(yàn)裝置可以同時采集不同物理量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，實(shí)際操作中對同一次轉(zhuǎn)動下落運(yùn)動，可以同時取得速度-時間關(guān)系曲線圖和加速度-時間關(guān)系曲線圖(見圖2).從圖2a可知，其曲線的斜率是加速度a，實(shí)驗(yàn)結(jié)果為0.070 6 m/s2；由圖2b可知，其曲線的截距即為加速度a，實(shí)驗(yàn)結(jié)果為0.094 3 m/s2.分析其原因可知，從速度-時間關(guān)系曲線得到的斜率包括了整個運(yùn)行時間，且隨著線速度的增大其空氣阻力矩也變大，加速度會越來越小，由斜率得到的a就是其線性平均值.從圖2b可以看出，其線加速度a越來越小，斜率為負(fù)值，截距大于線加速度a的真實(shí)平均值.因此線加速度a的實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)該取速度-時間關(guān)系曲線圖的斜率，不應(yīng)該取加速度-時間關(guān)系曲線的截距.同樣的道理，角加速度β的實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)該取角速度-時間關(guān)系曲線的斜率而不用角加速度-時間關(guān)系曲線的截距.

圖2 加速度的2種選取方式

2.2改變m大小消除阻力矩對結(jié)果的影響

從理論上分析可知，懸掛物體m0的大小恰當(dāng)時，該物塊就會勻速下落，其力矩m0gr可以消除摩擦力矩對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響.在實(shí)際操作中發(fā)現(xiàn)，即便只加上鉤碼(大約5 g)，也會使得下落的加速度存在.雖然用輕質(zhì)的塑料小桶加橡皮泥進(jìn)行反復(fù)操作可以測出恰當(dāng)?shù)膍0，但這樣操作會很繁瑣，況且實(shí)驗(yàn)裝置空載時的摩擦力矩與實(shí)驗(yàn)裝置上加有質(zhì)點(diǎn)的摩擦力矩是不同的，補(bǔ)償摩擦質(zhì)量m0也不相同.筆者在實(shí)驗(yàn)中采取在同一轉(zhuǎn)動系統(tǒng)中改變m的大小，進(jìn)行2次轉(zhuǎn)動下落運(yùn)動，第1次下落時懸掛物質(zhì)質(zhì)量設(shè)為m1,第2次下落時懸掛物的質(zhì)量設(shè)為m2，下落物質(zhì)質(zhì)量差Δm=m2-m1.測出對應(yīng)的a和β，并記錄塔輪半徑r,分別代入(2)式，即

(3)

可以消除阻力矩τf的影響,不需測量m0. 考慮到阻力矩τf不僅是轉(zhuǎn)軸軸承處的摩擦力矩、滑輪軸的阻力矩，還有轉(zhuǎn)動時的空氣阻力矩，下落的速度不要太大[4-5].實(shí)驗(yàn)裝置空載時,懸掛物通常選擇1個鉤碼就可以，其質(zhì)量m1約為5 g；實(shí)驗(yàn)裝置安裝有待測質(zhì)點(diǎn)時，懸掛物通常選擇1個鉤碼和1個約5 g的砝碼.

2.3測量結(jié)果及分析

設(shè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量M1，M2分別為7.538 1×10-2，7.536 3×10-2kg.質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)動軸心的半徑R為1.803×10-1m，利用(1)式計算其轉(zhuǎn)動慣量為4.897 6×10-3kg·m2.表1為物塊采用2次下落法利用(3)式測量實(shí)驗(yàn)裝置空載時的轉(zhuǎn)動慣量I0.表2為物塊采用2次下落法測量實(shí)驗(yàn)裝置安裝有質(zhì)點(diǎn)時的轉(zhuǎn)動慣量I1，結(jié)合表1的結(jié)果，即可計算出質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量I.

表1 實(shí)驗(yàn)裝置空載時轉(zhuǎn)動慣量測量數(shù)據(jù)

表2 載有質(zhì)點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)裝置轉(zhuǎn)動慣量測量數(shù)據(jù)

從表3可以發(fā)現(xiàn)，對于同一轉(zhuǎn)動系統(tǒng)，2次下落物體的m改變值Δm越大，實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果相對誤差越大.下落物體質(zhì)量m越大，轉(zhuǎn)速加速度a越大，致使阻力矩τf變大[6]，要保證阻力矩τf在物塊2次下落過程中誤差越小，則懸掛物Δm最好控制在5～10 g為宜.

3 結(jié)語

在PASCO實(shí)驗(yàn)裝置上測量了質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量，利用改變懸掛物的質(zhì)量大小，消除阻力矩對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響，從而避免尋找補(bǔ)償摩擦質(zhì)量的操作.在對PASCO轉(zhuǎn)動實(shí)驗(yàn)裝置取得的圖表數(shù)據(jù)進(jìn)行分析中，加速度-時間關(guān)系曲線圖的截距數(shù)據(jù)大于a的平均值，加速度應(yīng)采用速度-時間關(guān)系曲線的斜率.同理，角加速度取角速度-時間關(guān)系曲線的斜率.實(shí)驗(yàn)過程中，要求滿足g?a，考慮減少操作對實(shí)驗(yàn)的影響，在實(shí)驗(yàn)中空載時懸掛物取約5 g或10 g為宜，安裝有待測質(zhì)點(diǎn)時懸掛物取約10 g或15 g為宜.通過懸掛物的質(zhì)量差可計算出質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量的多組測量結(jié)果.與理論值比較發(fā)現(xiàn)，懸掛物的質(zhì)量差越小，阻力矩越接近，實(shí)驗(yàn)結(jié)果越精確.

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(責(zé)任編輯 陳炳權(quán))

MeasuringtheRotationalInertiaoftheParticlebythePASCORotatingExperimentalDevice

QUAN Xiu’e

(College of Physics and Mechanical & Electrical Engineering,Jishou University,Jishou 416000，Hunan China)

Taking advantage of the PASCO rotational experiment device,the author measured the inertia of a particle through the law of falling bodies.It is found that the falling acceleration a should be the slope of the v-t graph instead of the intercept of a-t graph;and for the same rotation system,the influence of resisting moment on the experiment is eliminated by twice changing the mass m of the hanging object.To reduce the error of resisting moment at the second falling,the smaller the difference Δmis,the more accurate the experimental results will be,and the minimum relative error will reach 0.54%.

the PASCO rotating experiment device;rotational inertia;falling acceleration;resisting momen

1007-2985(2014)06-0045-03

2014-08-10

湖南省教育廳科學(xué)研究資助項(xiàng)目(13C750)

全秀娥(1969—)，女，湖南張家界人，吉首大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院高級實(shí)驗(yàn)師，主要從事物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)研究.

O313.3

A

10.3969/j.issn.1007-2985.2014.06.012