復(fù)合算子的單權(quán)Poincaré-型不等式

賀 丹

(黑龍江工程學(xué)院 數(shù)學(xué)系，黑龍江 哈爾濱 150050)

復(fù)合算子的單權(quán)Poincaré-型不等式

賀 丹

(黑龍江工程學(xué)院 數(shù)學(xué)系，黑龍江 哈爾濱 150050)

首先建立作用于光滑微分形式的復(fù)合算子T·G的Poincaré-型積分不等式，其中算子T為同倫算子，G為格林算子。在此基礎(chǔ)上，利用A-調(diào)和方程解的相關(guān)性質(zhì)及結(jié)果，給出作用于非齊次A-調(diào)和張量的復(fù)合算子T·G的單權(quán)Poincaré-型積分估計式。

非齊次A-調(diào)和方程；微分形式；雙權(quán)函數(shù)；積分不等式

定義1權(quán)函數(shù)ω(x)是子集E?Rn上的Ar(Ω)-權(quán)函數(shù)，r>1，如果ω(x)>0a.e.，并且有

對B?Ω成立，記為ω∈Ar(Ω)。

只有一個函數(shù)的權(quán)函數(shù)稱之為單權(quán)函數(shù)，而對于有兩個函數(shù)的權(quán)函數(shù)稱之為雙權(quán)函數(shù)。

引理1如果ω∈Ar，則存在與ω?zé)o關(guān)的常數(shù)β>1和C，使得對任意的B?Rn都成立

定義2當(dāng)1

G∶Lp(ΛlM)→W2,p(ΛlM,μ)∩H⊥，

G(ω)=Ω(ω)-H(ω),

則知G是W2,p(ΛlM,μ)中的有界線性算子。

引理2令u是Ω?Rn上的一個A-調(diào)和張量，σ>1,0

(1)

成立，其中B是M中滿足σB?Ω的球或矩形。

引理3令u∈C∞(Ω,Λl),l=1,2,…,n, 且1

(2)

(3)

對所有球體B?Ω成立。

由B?Ω且Ω是有界區(qū)域，式(3)可改寫為

(4)

由式ω=d(Tω)+T(dω),對任何微分形式u有如下分解

u=d(Tu)+T(du).

(5)

結(jié)合式(4)及(5)，可得

(6)

由引理3知存在常數(shù)C3,C4>0，使得式(7)成立

且

(7)

則由式(4)～(7)可得

證畢。

下面對定理1進(jìn)行推廣，從而得到如下加權(quán)Poincaré不等式。

(8)

對所有滿足ρB?Ω球體B成立。α是一個實(shí)數(shù)，且0<α≤1。

(9)

(10)

由不等式(9)及(10)得

(11)

(12)

把式(12)代入式(11)，得到

(13)

注意到ω∈Ar(Ω)，則有

(14)

把式(14)代入式(13)，可以得到

至此完成了0<α<1時情形的證明。

下面證明α=1時，定理2依然成立。由引理知，存在β>1,C7>0，使得式(15)成立

(15)

(16)

(17)

應(yīng)用廣義H?lder不等式，得到

(18)

又知ω∈Ar(Ω)，由此得

(19)

綜合式(16)～(19)，得到

證畢。

[1]J HEINONEN, T KILPELAINEN, O MARTIO. Nonlinear Potential Theory of Degenerate Elliptic Equations[M]. Oxford, 1993.

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[3]許興業(yè).Rn上帶奇異性的非線性雙調(diào)和方程的正整解[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報,2009,29(1):32-38.

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SingleweightedPoincaré-typeinequalitiesforthecompositeoperator

DAN He

(Dept. of Mathematics, Heilongjiang Institute of Technology, Harbin 150050, China)

First it establishes the Poincaré-type integral inequalities for the composite operator T·G acted on smooth differential forms. Operator T is homotopy operator and G is Green’s operator. On the basis of this, using the properties and results on estimates for the A-harmonic equations, the single weighted Poincaré-type integral estimates are obtained for the composite operator T·G acted on the non-homogeneous A-harmonic tensors.

non-homogeneous A-harmonic equation;differential form;two-weight function;integral inequality

2013-06-21

賀 丹(1980-)，女，講師，研究方向：微分方程.

O175.2

A

1671-4679(2014)01-0078-03

郝麗英]