薛 琳
(洛陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,洛陽471022)
為了更好地解決微分方程理論中出現(xiàn)的各種問題,Bonet,Meise,Taylor和Vogt等人在20世紀(jì)80 年代借助于權(quán)函數(shù)引入了ω-超可微函數(shù)和ω-超廣義函數(shù),從而擴(kuò)充了廣義函數(shù)的概念[1-10],也使得ω-超廣義函數(shù)理論的研究成為一個(gè)持續(xù)的熱點(diǎn).由于ω-超廣義函數(shù)空間構(gòu)造的復(fù)雜性,使得問題的研究變得十分困難.H?rmander[6]和Bonet,Meise,Taylor[1,3-11]等人注意到:超廣義函數(shù)空間與某些實(shí)解析函數(shù)空間之間可以通過Fourier-Lapalace變換建立起某種拓?fù)渫瑯?gòu)關(guān)系.所以,利用實(shí)解析函數(shù)空間來研究超廣義函數(shù)空間的結(jié)構(gòu)和特性成為一個(gè)有效可行的方法.
在文獻(xiàn)[12]中,利用Fourier-Laplace變換探討 了 四 類 加 權(quán) 的 實(shí) 解 析 空 間A(ω)(CN,Ω),A{ω}(CN,Ω)和A{ω}(CN,Ω),A{ω}(CN,Ω)以 及它們和ω-超可微函數(shù)和ω-超廣義函數(shù)之間的關(guān)系,給出了兩類ω-超可微函數(shù)和ω-超廣義函數(shù)的某種結(jié)構(gòu)表示.本文在更為一般的開集上進(jìn)一步地討論了D′*(Ω)上的結(jié)構(gòu)表示問題;另一方面,還把文獻(xiàn)[12]定理2.6中{E′*(Ω)的結(jié)果從開凸集進(jìn)一步擴(kuò)展到了一般的開集,得到:
定理1 設(shè)ω 是非偽解析的權(quán)函數(shù),Ω 是RN中的開集,令Λ(ω)={σ∶σ 是權(quán)函數(shù),σ(t)=o(ω(t))(t→∞)},則有φ(0)=0并且
取
定理2 設(shè)ω 是任意的權(quán)函數(shù),Ω 是RN中的開集,令Λ(ω)={σ∶σ 是 權(quán) 函 數(shù),σ(t)=o(ω(t))(t→∞)},則有
稱之為φ 的Young共軛.
定義2 設(shè)K 為RN中的緊集,記hK:RN→稱之為K 的支撐函數(shù),這里
首先給出文中所用到的基本概念和預(yù)備知識(shí).其中的記法和符號(hào)可參見文獻(xiàn)[1-6].
定義1 1)設(shè)ω 是[0,∞)→[0,∞)上連續(xù),單增的函數(shù),并且ω|[0,1]=0.如果ω 滿足下列條件:
(α)存在L≥1,使對(duì)任取的t≥0,都有ω(2t)≤L(1+ω(t));
(δ)φ:[0,∞)→[0,∞),φ(t)=ω(et)為凸函數(shù).
則稱ω 為一個(gè)權(quán)函數(shù).對(duì)z∈CN,記ω(z)=ω(|z|),其中
2)對(duì)于權(quán)函數(shù)ω,如果
利用權(quán)函數(shù),來構(gòu)造ω-超可微函數(shù)空間和ω-超廣義函數(shù)空間:
定義3 設(shè)ω 為定義1中函數(shù),滿足條件(α)~(γ),K 為RN中的緊集.
1)對(duì)λ>0,定義Banach空間
2)利用Dλ(K),定義
其中,拓?fù)浞謩e取為歸納極限拓?fù)浜屯队皹O限拓?fù)洌?/p>
3)對(duì)RN中的開集Ω,定義
則稱ω 是偽解析的.反之,如果積分有限,則稱ω是非偽解析的.
3)設(shè)φ 是[0,∞)→[0,∞)的單增凸函數(shù),
這里的歸納極限取遍Ω 中所有的緊子集K,D(ω)(Ω)及D{ω}(Ω)中的元素分別稱為Beurling型和Roumieu型試驗(yàn)函數(shù).
定義4 設(shè)ω 為權(quán)函數(shù),Ω 為RN中的開集,定義
和
注1 設(shè)ω 為定義1中函數(shù),并滿足條件(α)~(γ),設(shè)Ω 是RN中開集,易知
1)D{ω}(Ω)?D{ω}(Ω);當(dāng)σ(t)=o(ω(t))(t→∞)時(shí),D{ω}(Ω)?D(σ)(Ω).
2)E{ω}(Ω)?E{ω}(Ω);當(dāng)σ(t)=o(ω(t))(t→∞)時(shí),{E{ω}(Ω)?E(σ)(Ω).
并且,上面相應(yīng)的包含映射都是連續(xù)的.
如果一 個(gè) 命 題 對(duì) 于E{ω}和E(ω)(或 者D{ω}和D(ω)都成立時(shí),為方便計(jì),用E*(或者D*)來代替E{ω}和E(ω)(或者D{ω}和D(ω)).
定義5 用E′
*(Ω)和D′*(Ω)分別表示E*(Ω)和D*(Ω)的強(qiáng)對(duì)偶空間,即E*(Ω)上和D*(Ω)的線性連續(xù)泛函全體所形成的空間.
定義6 設(shè)ω 是權(quán)函數(shù),Ω 是RN中的開凸集.對(duì)u∈E′
*(Ω),定義:
稱之為u 的Fourier-Laplace變換.為方便計(jì),^u和F(u)都表示u的Fourier-Laplace變換.
定義7 設(shè)Ω 是RN中的開凸集,對(duì)Ω 中的任意緊集K 和非零常數(shù)λ,定義Banach空間
其中H(CN)為CN上的整函數(shù)空間.由此,可以定義下列實(shí)解析函數(shù)空間空間:
注2 由定義易證:
引理1[11]設(shè)ω 是權(quán)函數(shù),Ω 是RN中的開凸集,令Λ(ω)={σ:σ是權(quán)函數(shù),σ(t)=o(ω(t))(t→∞)},則有
引理2[12]設(shè)ω 是權(quán)函數(shù),ω(t)=o(t)(t→∞),ω 是RN中的開凸集,則Fourier-Laplace變換
是線性拓?fù)渫瑯?gòu)映射.
引理3[12]設(shè)ω 是權(quán)函數(shù),Ω 是RN中的開凸集,則Fourier-Laplace變換
是線性拓?fù)渫瑯?gòu)映射.
定理3 設(shè)ω 是非偽解析的權(quán)函數(shù),Ω 是RN中的開集,令Λ(ω)={σ:σ 是權(quán)函數(shù),σ(t)=o(ω(t))(t→∞)},則有
證明 首先,易知當(dāng)σ(t)=o(ω(t))(t→∞)時(shí),有從而下面,來證明相反的包含關(guān)系成立.
對(duì)于開集Ω,取一個(gè)緊集列{Kn},使得
對(duì)于任給的u∈D′{ω}(Ω),u 可以表為
那么,由E′{ω}(Ω)與A{ω}(CN,Ω)線性拓?fù)渫瑯?gòu)(引理3)以及A{ω}(CN,Ω)的構(gòu)造即可知,gj=o(ω).由此,由文獻(xiàn)[5]命題1.9及注1.8,存在權(quán)函數(shù)δ使對(duì)所有的j有
記Γ 為Ω 的凸殼.那么,由引理3和式(1)可知,uj∈E′(σ)(Γ).另一方面,由suppuj?Kj+2\Kj,可見∑∞j=1uj在Ω 中是局部有限的.因此,∑∞
j=1uj在
D′(σ)(Ω)中收斂.所以,u∈D′(σ)(Ω).故有命題得證.
依照定理3的方法,可以證明同樣的結(jié)論對(duì)于E′{ω}(Ω)也成立,即:
推論1 設(shè)ω 是非偽解析的權(quán)函數(shù),Ω 是RN中的開集,那么
由引理1,2及3,在文獻(xiàn)[12]中得到了下面關(guān)于ω-超廣義函數(shù)空間E′*(Ω)的一個(gè)結(jié)構(gòu)表示定理:
定理4[12]設(shè)ω 是任意的權(quán)函數(shù),Ω 是RN中的開凸集,令Λ(ω)={σ:σ 是權(quán)函數(shù),σ(t)=o(ω(t))(t→∞)},則有
現(xiàn)在,把這一結(jié)果推廣到更為一般的開集中去:為此,先介紹一個(gè)引理:
引理4[9]設(shè)ω 是偽解析的權(quán)函數(shù),K1,K2是RN中的緊子集.那么,對(duì)任取的supp(u)?K1∪K2,存在u1,u2∈E′{ω}(RN),且supp(uj)?Kj(j=1,2),使得u=u1+u2成立.
定理5 設(shè)ω 是任意的權(quán)函數(shù),Ω 是RN中的開集,令Λ(ω)={σ:σ 是 權(quán) 函 數(shù),σ(t)=o(ω(t))(t→∞)},則有
證明 對(duì)RN中的開集Ω,當(dāng)ω 是非偽解析的權(quán)函數(shù)時(shí),推論1已經(jīng)給出結(jié)論:
下面,考慮ω 為偽解析的權(quán)函數(shù)時(shí)的情況.
若Ω 為RN中的開凸集,由定理4已得.
現(xiàn)在設(shè)Ω 為RN中的任意開集.
設(shè)u∈E′{ω}(Ω),K=supp(u).則K 為RN中的緊集.由有限覆蓋定理,在Ω 中可選取有限多個(gè)開凸集Ωj,使得K?∪Ωj.由引理4,對(duì)每個(gè)j,可取使得
又由定理4,對(duì)每個(gè)j,存在權(quán)函數(shù)σj,使得
現(xiàn)取σ=max{σj},則對(duì)每個(gè)j有
另一方面
是顯然的.命題得證.
[1]Bonet J,Braun R W,Meise R,et al.Whitney’s extension theorem for non-quasianalytic classes of ultradifferentiabl functions[J].Studia Math.,1991,99(2):155-184.
[2]Bonet J,F(xiàn)ernández C,Meise R.Characterization of theω-h(huán)ypoelliptic convolution opertiors on ultradistributions[J].Ann.Acad.Sci.Fenn.Math.,2000(25):261-284.
[3]Bonet J,Meise R.Ultradistributions of Beurling type and projective descriptions[J].J.Math.Anal.a(chǎn)nd Appl.,2001(255):122-136.
[4]Bonet J,Meise R.Quasianalytic functional and projective descriptions[J].Math.Scand.,2004(94):249-266.
[5]Braun R W,Meise R,Taylor B A.A characterization of the algebraic surfaces on which the classical Phragmén-L ind el?f of theorem holds using branch curves[J].Pure Appl.Math.Q.,2011,7(1):139-197.
[6]Braun R W,Meise R,Taylor B A.Ultradifferentiable functions and Fourier analysis[J].Resulte Math.,1990(17):206-237.
[7]H?rmander L.Between distributions and hyperfunctions[J].Asterisque,1985(131):89-106.
[8]Meise R,Taylor B.A.Whitney’s extension theorem for ultradifferentiable functions of Beurling type[J].Ark.Math.,1988(26):265-287.
[9]Heinrich T,Meise R.A support theorem for Quasianalytic functionals[J].Math.Nachr.,2007(28):364-387.
[10]Bonet J,Meise R.On the theorem of Borel for quasianalytic classes[J].Math.Scand.,2013,112(2):302-319.
[11]任美華,王光.兩類加權(quán)的實(shí)解析空間A*(CN,Ω)的結(jié)構(gòu)和關(guān)系[J].中北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,34(5):560-562.Ren Meihua,Wang Guang.Constructions and relations of two weighted real-analytic functions spaces A*(CN,Ω)[J].Journal of North Uniwersity of China(Natural Science Edition),2013,34(5):560-562.(in Chinese)
[12]薛琳.ω-超廣義函數(shù)空間的結(jié)構(gòu)與關(guān)系[J].中北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2015,36(2):126-130.Xue Lin.Constructions and relations of someω-Ultradistributions[J].Journal of North Uniwersity of China(Natural Science Edition),2015,36(2):126-130.(in Chinese)