岳 磊,張民悅

(蘭州理工大學(xué)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730050)

隨著現(xiàn)代科技和工業(yè)的發(fā)展，機(jī)械系統(tǒng)大型化、復(fù)雜化、自動(dòng)化和速度化越來(lái)越高，可以說(shuō)信息時(shí)代對(duì)可靠性理論提出了新的挑戰(zhàn)，同時(shí)也為可靠性理論的發(fā)展提供了前所未有的機(jī)遇和空間?；炻?lián)系統(tǒng)是指系統(tǒng)由n個(gè)部件串聯(lián)和并聯(lián)混合而成，最常見(jiàn)的混聯(lián)系統(tǒng)有串-并聯(lián)系統(tǒng)和并-串聯(lián)系統(tǒng)兩種?？尚藁炻?lián)系統(tǒng)的可靠性維修問(wèn)題是系統(tǒng)可靠性研究的重要內(nèi)容之一。目前該系統(tǒng)已被用于機(jī)械系統(tǒng)、電子元件系統(tǒng)以及質(zhì)量與控制系統(tǒng)等工程領(lǐng)域。年齡更換策略是最常見(jiàn)的維修策略之一，在一些早期的研究工作中，人們廣泛地研究年齡更換策略[1-4].曹晉華[1]假定元件的失效率為常量和變量時(shí)，分別給出了常見(jiàn)的混聯(lián)系統(tǒng)的系統(tǒng)可靠度和平均壽命的計(jì)算方法；師小琳[5]在逐次截尾樣本下，研究電子元件混聯(lián)系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的估計(jì)問(wèn)題。實(shí)驗(yàn)總時(shí)間(Total Time on Test),即TTT變換函數(shù)是在50年代，Epstein & sobel提出的實(shí)驗(yàn)總時(shí)間概念的一個(gè)推廣。Barlow and Camp[6]利用TTT變換對(duì)失效數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并且利用TTT變換研究了各個(gè)壽命分布類(lèi)的特征。通過(guò)研究不難發(fā)現(xiàn)TTT變換在許多實(shí)際與理論應(yīng)用中是一個(gè)有力的工具。如在壽命數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析中，它有助于人們選擇合適的分布類(lèi)型來(lái)擬合樣本數(shù)據(jù)[7-9]。Nair and Sankaran[10]、Li Jinlin[11]、Bergman and Klefsj?[12]研究了TTT變換函數(shù)在其它方面的應(yīng)用，例如經(jīng)濟(jì)學(xué)和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估等。在年齡更換策略的討論中，用TTT變換可以確定最佳的更換年齡。Bengt Klefsj?[12-14]利用TTT探討了可修設(shè)備更一般的年齡更換模型。Rao,K.R.M.and Prasad,P.V.N.[15-16]討論了一些上面提到的TTT變換圖形工具來(lái)分析材料處理設(shè)備操作在采礦業(yè)或推土機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)的故障數(shù)據(jù)和計(jì)劃維修時(shí)間間隔。Zydrunas Vagnorius[17]分析了TTT變換函數(shù)確定金屬切削工具的最優(yōu)更換時(shí)間，其磨損模型服從威布爾分布。他們已經(jīng)對(duì)TTT變換函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題做了重點(diǎn)研究，提高了TTT變換的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值和應(yīng)用廣泛度。本文利用TTT變換函數(shù)解決混聯(lián)系統(tǒng)目標(biāo)規(guī)劃的多目標(biāo)問(wèn)題，對(duì)上述情形作TTT變換，利用TTT變換圖求解最優(yōu)更換時(shí)間間隔T值，并且根據(jù)具體的數(shù)值分析其維修周期。

1 TTT變換的概念

設(shè)F是一個(gè)左連續(xù)的壽命分布。令

F-1(t)=inf{x≥0：F(x)≥t}

(1)

定義1

(2)

(3)

定義2

(4)

稱(chēng)作正則化的TTT變換函數(shù)(ST函數(shù))。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，用φ來(lái)代替φF(t)。

TTT變換函數(shù)φ(t)對(duì)t遞增,由于φ(t)已經(jīng)正則化，故φ(t)的圖形在一個(gè)單位的正方形中。對(duì)此，可以通過(guò)觀察TTT變換圖像，并計(jì)算出φ與t之間的關(guān)系。

定義3

2 混聯(lián)系統(tǒng)模型與預(yù)防維修問(wèn)題

2.1 混聯(lián)系統(tǒng)模型

決定系統(tǒng)的輸入與輸出之間的功能模型或者數(shù)學(xué)模型完成這一過(guò)程，需要有關(guān)被研究的系統(tǒng)的知識(shí)，即工程背景知識(shí)。例如在液晶電視接收機(jī)中，其系統(tǒng)的部分核心包括公共通道，與此連接的有亮度通道、色度通道以及伴音通道等，組成混聯(lián)系統(tǒng)部分框圖，如圖1所示。

圖1 液晶電視機(jī)組成部分框圖

可以建立上述公共通道與輸出之間的系統(tǒng)核心部分為混聯(lián)系統(tǒng)模型，該模型抽象為包括四個(gè)元件構(gòu)成的系統(tǒng)，元件1與元件2并聯(lián)后再與元件4串聯(lián)，再由這個(gè)子串聯(lián)系統(tǒng)與元件3構(gòu)成并聯(lián)系統(tǒng)(見(jiàn)圖2)。

圖2 混聯(lián)系統(tǒng)圖

元件所處的狀況為系統(tǒng)的輸入，系統(tǒng)所處的狀況為系統(tǒng)的輸出。設(shè)四個(gè)元件的可靠度分別為Ri=1-Fi(i=1,2,3,4)，其中Fi為元件的分布函數(shù)，則系統(tǒng)的輸入與輸出的關(guān)系為

Ri=1-{1-[1-(1-R1)(1-R2)]·R4}(1-R3)

(5)

根據(jù)上述內(nèi)容與圖2所示的混聯(lián)系統(tǒng)模型，可以假設(shè)各元件的壽命均服從參數(shù)為λ指數(shù)分布，分布函數(shù)為Fi(t)=1-exp(-λt),(i=1,2,3,4)。根據(jù)式(5)可以得到系統(tǒng)的可靠度為

=1-(1-2e-2λt+e-3λt)(1-e-λt)

=e-4λt-3e-3λt+2e-2λt+e-λt

(6)

2.2 混聯(lián)系統(tǒng)預(yù)防維修問(wèn)題

預(yù)防維修是一種計(jì)劃性的維修活動(dòng)，最常用的形式是定期檢修。進(jìn)行預(yù)防性的維護(hù)和檢查，使得設(shè)備總體保持良好的工作狀態(tài)，是企業(yè)和工廠日常運(yùn)行過(guò)程必須進(jìn)行的一項(xiàng)工作,一種典型的檢查方法是定期保養(yǎng)或維修。從現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展來(lái)看，機(jī)械系統(tǒng)日益復(fù)雜化，不論是定期保養(yǎng)、定期維修、定期檢查及定期更換等等，都是為了提高產(chǎn)品的壽命，提高產(chǎn)品的使用效率，最終目的是減少期望損失，以致使用費(fèi)用最低且利潤(rùn)最大。故預(yù)防性維修，即故障前的維修顯得尤為重要，這就是所說(shuō)的年齡更換模型,如圖3所示。

圖3 年齡更換模型

(7)

和

(8)

圖4 TTT變換圖

觀察TTT變換圖不難發(fā)現(xiàn)，通過(guò)點(diǎn)(-a,0)和(-b,0)與TTT圖相交的直線，只需此直線有最大斜率，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)t*即為所求。

3 算例分析

假設(shè)某液晶電視機(jī)內(nèi)部組成的部分混聯(lián)系統(tǒng)的各元件壽命均服從參數(shù)為λ=2的指數(shù)分布，分布函數(shù)為Fi(t)=1-exp(-λt),(i=1,2,3,4)，平均預(yù)防維修時(shí)間和事后維修時(shí)間分別為T(mén)p=1,Tf=2；事后更換費(fèi)用和預(yù)防更換費(fèi)用分別為cf=9，cp=3,有a=0.5,b=1，我們根據(jù)定義，可以得到TTT變換函數(shù)為

(9)

F-1(t)=log(Z1)/λ

(10)

(11)

表1 TTT變換表

根據(jù)表1所示數(shù)據(jù)，利用Excel軟件中函數(shù)功能，為了更好地精確擬合圖中數(shù)據(jù)，故選用四次多項(xiàng)式，可以擬合出φ(t)=-2.4298t4+6.106t3-5.4388t2+2.7453t+0.0107 (如圖5所示)，繼而根據(jù)TTT變換函數(shù)的定義內(nèi)容，由Matlab軟件，易得該混聯(lián)系統(tǒng)的TTT變換圖，故直接利用TTT變換圖的方法來(lái)確定t*(如圖6所示)。

圖5 TTT變換函數(shù)的擬合

(12)

(13)

圖6 TTT變換圖

4 結(jié)束語(yǔ)

以復(fù)雜的混聯(lián)系統(tǒng)中系統(tǒng)平均期望損失最小和平均可用度最大建立目標(biāo)函數(shù)，利用TTT變換圖的方法確定系統(tǒng)的預(yù)防維修周期，并分析年齡更換策略。該方法充分體現(xiàn)了TTT變換函數(shù)的計(jì)算結(jié)果中各指標(biāo)對(duì)預(yù)防周期的影響，該方法對(duì)定周期的維修策略比較適用。但仍然可以從不同的預(yù)防維修策略的方向進(jìn)行拓展研究，例如更加符合實(shí)際的滿足幾何過(guò)程的變周期維修策略，也可以運(yùn)用TTT變換做研究，通過(guò)改進(jìn)得到更滿意的解，這樣一來(lái)，TTT變換的應(yīng)用范圍更加廣泛。

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