杜文舉，俞建寧，張建剛，安新磊

（蘭州交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070）

18世紀(jì)以來，科學(xué)家對(duì)天體力學(xué)、流體力學(xué)和非線性振動(dòng)中的一些失穩(wěn)現(xiàn)象的研究發(fā)現(xiàn)了分岔現(xiàn)象.對(duì)于含參數(shù)的系統(tǒng)，當(dāng)參數(shù)變動(dòng)并經(jīng)過某些臨界值時(shí)，系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生本質(zhì)的變化，我們稱這種變化為分岔.Hopf分岔是一類比較簡(jiǎn)單但很重要的動(dòng)態(tài)分岔問題.它不僅在動(dòng)態(tài)分岔研究和極限環(huán)研究中有著重要的理論價(jià)值，而且它密切聯(lián)系著自激振動(dòng)產(chǎn)生的問題，所以在解決實(shí)際問題中也有著很廣泛的應(yīng)用.隨著人們對(duì)分岔現(xiàn)象的研究，分岔理論已經(jīng)取得了很大研究成果.文獻(xiàn)［1］討論了一個(gè)混沌系統(tǒng)的霍普夫分岔情況，并通過計(jì)算系統(tǒng)的第一Lyapunov系數(shù)，判斷了其分岔的方向，對(duì)相應(yīng)的動(dòng)力系統(tǒng)行為也做了簡(jiǎn)要的分析.文獻(xiàn)［2］研究了一個(gè)類Lorenz系統(tǒng)，詳細(xì)討論了該系統(tǒng)的穩(wěn)定性，運(yùn)用第一Lyapunov系數(shù)法分析系統(tǒng)平衡點(diǎn)的Hopf分岔情況.文獻(xiàn)［3］通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)及數(shù)值仿真研究了一個(gè)新的類Lorenz系統(tǒng)，得到了平衡點(diǎn)穩(wěn)定性及Hopf分岔的參數(shù)條件，通過對(duì)系統(tǒng)的第一Lyapunov系數(shù)的分析，推導(dǎo)出系統(tǒng)發(fā)生余維二退化Hopf分岔的參數(shù)條件.文獻(xiàn)［4］提出了一個(gè)新的三維自治類Lorenz系統(tǒng)，理論分析了該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，并通過數(shù)值計(jì)算分析了系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性，以及產(chǎn)生Hopf分岔的條件.目前已經(jīng)有很多關(guān)于這方面的文獻(xiàn)和專著［5－14］，文獻(xiàn)［5］基于一個(gè)三維混沌系統(tǒng)構(gòu)造了一個(gè)新的四維超混沌系統(tǒng)，并分析了該系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、吸引子的相圖、系統(tǒng)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜等基本動(dòng)力學(xué)特性.然而，文獻(xiàn)［5］并未對(duì)系統(tǒng)的Hopf分岔進(jìn)行研究，本文將通過中心流形理論和范式理論，對(duì)該系統(tǒng)的Hopf分岔行為進(jìn)行詳細(xì)研究.

1 新的四維混沌系統(tǒng)

文獻(xiàn)［5］提出了一個(gè)新的四維自治混沌系統(tǒng)，其狀態(tài)方程為：

其中：x＝（x，y，z，u）T∈R4為系統(tǒng)的狀態(tài)變量；a，b，c，m 是實(shí)參數(shù).當(dāng)參數(shù)a＝20，b＝35，c＝5，m＝4時(shí)，系統(tǒng)（1）存在一個(gè)混沌吸引子，如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)（1）在不同空間的吸引子

本文采用 Wolf算法，計(jì)算得到系統(tǒng)（1）的4個(gè)Lyapunov指數(shù)：λ1＝0.3477，λ2＝0.1983，λ3＝0，λ4＝－26.4303.并由Kaplan－Yorke猜想公式，求得Lyapunov維數(shù)DKY＝3.02065.系統(tǒng)（1）的時(shí)間響應(yīng)圖、龐加萊截面、Lyapunov指數(shù)譜圖及其功率譜圖如圖2所示.

圖2 系統(tǒng)（1）得到的各種譜圖

2 平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析

令方程組（1）的右邊等于零，即

可以解得系統(tǒng)有唯一的平衡點(diǎn)E0＝（0，0，0，0）.

定理1 如果a＞－1，mb＞0，a（1－b）＞0，c＞0且

這時(shí)，平衡點(diǎn)E0漸近穩(wěn)定.

證明 系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E0＝（0，0，0，0）處的Jacobian矩陣為

求得系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E0處Jacobian矩陣的特征方程為

根據(jù)Routh－Hurwitz判據(jù)，可知方程（5）的一切根的實(shí)部為負(fù)數(shù)的必要且充分條件是不等式

成立.所以，當(dāng)滿足以上條件時(shí)，平衡點(diǎn)E0漸近穩(wěn)定.

定理2 如果方程（5）有一對(duì)純虛根λ1，2＝±iω0，并且Re（λ′m（m0））≠0.若有a＞0，b＜0，c＞0，當(dāng)m穿過臨界值m0時(shí)，系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E0發(fā)生Hopf分岔.

證明 令λ＝iω（ω＞0）為方程（5）的根，則有

分離以上方程的實(shí)部和虛部，通過計(jì)算有

方程（4）的4個(gè)特征值為：

對(duì)方程（4）兩邊同時(shí)關(guān)于m求導(dǎo)，有

根據(jù)上式可得

根據(jù)文獻(xiàn)［6］中的Hopf分岔理論，可知m0便是分岔的臨界值.假設(shè)a＞0，b＜0，c＞0，當(dāng)m穿過臨界值m0時(shí)，系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E0發(fā)生Hopf分岔.

3 平衡點(diǎn)E0的Hopf分岔分析

在理論分析之前，我們先回顧一下文獻(xiàn)［7］中介紹的對(duì)于四維系統(tǒng)Hopf分岔的第一Lyapunov系數(shù)的求法.

考慮如下系統(tǒng)

其中x∈R4，ζ∈Rm分別是系統(tǒng)的狀態(tài)變量和控制參數(shù).假設(shè)系統(tǒng)（7）有一個(gè)平衡點(diǎn)x＝x0，ζ＝ζ0，并且變量x－x0仍然記做x，則F（x）＝f（x，ζ0）的泰勒展開式為

其中A＝fx（0，ζ0），并且對(duì)i＝1，2，3，4有

假設(shè)在平衡點(diǎn)（x0，ζ0）系統(tǒng)（7）的Jacobian矩陣有一對(duì)純虛根λ2，3＝±iω0（ω0＞0），并且其他的特征值沒有零實(shí)部.

令p，q∈C4滿足

其中AT為A的轉(zhuǎn)置.則第一Lyapunov系數(shù)可以定義為

其中：

I4為4×4的單位矩陣.

當(dāng)a＞0，b＜0，c＞0，m＝m0時(shí)，我們討論平衡點(diǎn)E0處的Hopf分岔.根據(jù)（9）式，可以計(jì)算得對(duì)應(yīng)于f的線性函數(shù)

通過直接的計(jì)算可以求得滿足（10）式的特征向量

并且有

其中：

同樣可以得到

其中：

定理3 系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E0處的第一Lyapunov系數(shù)為

如果l1≠0，則此時(shí)系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E0處發(fā)生非退化的Hopf分岔.如果l1＝0，則系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E0處發(fā)生余維二的Bautin分岔.

4 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證以上的理論分析，我們選取一組參數(shù)：a＝2，b＝－1，可以得到Hopf的臨界值m0＝－12.當(dāng)m＝－10＞m0時(shí)，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的；當(dāng)m＝－14＜m0時(shí)，平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定的，分別如圖3—5所示.根據(jù)前面的結(jié)論，并且經(jīng)過復(fù)雜的計(jì)算得到l1＝－0.362681＜0，則系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E0的Hopf分岔是超臨界的Hopf分岔，并且產(chǎn)生一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán).

當(dāng)固定參數(shù)a＝20，b＝35，m＝4，參數(shù)c∈［0，1］變化時(shí)，系統(tǒng)（1）的Lyapunov指數(shù)譜和關(guān)于x的分岔圖如圖6所示.隨著c的不斷變化，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)在變化，系統(tǒng)的狀態(tài)也在跟著發(fā)生改變.當(dāng)c∈（0，0.18）時(shí)，系統(tǒng)（1）處于擬周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài).當(dāng)c∈（0.18，0.4）時(shí)，系統(tǒng)（1）處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài).當(dāng)c∈（0.4，1）時(shí)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài).

圖3 當(dāng)a＝2，b＝－1，c＝5，m＝－10時(shí)，系統(tǒng)（1）的時(shí)間響應(yīng)圖（a）和相圖（b）

圖4 當(dāng)a＝2，b＝－1，c＝5，m＝－12時(shí)，系統(tǒng)（1）的時(shí)間響應(yīng)圖（a）和相圖（b）

圖5 當(dāng)a＝2，b＝－1，c＝5，m＝－14時(shí)，系統(tǒng)（1）的時(shí)間響應(yīng)圖（a）和相圖（b）

圖6 參數(shù)c變化時(shí)系統(tǒng)（1）關(guān)于x的分岔圖（a）和Lyapunov指數(shù)譜圖（b）

當(dāng)固定參數(shù)a＝20，b＝35，c＝5，參數(shù)m∈［50，70］變化時(shí)，系統(tǒng)（1）的Lyapunov指數(shù)譜和關(guān)于x的分岔圖如圖7所示.當(dāng)m∈（50，55）時(shí)，系統(tǒng)（1）處于混沌狀態(tài)；當(dāng)m∈（55，55.8）時(shí)，系統(tǒng)（1）處于周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)m∈（55.8，57）時(shí)，系統(tǒng)又近于混沌狀態(tài)；當(dāng)m∈（57.59.5）時(shí)，系統(tǒng)處于四周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)m∈（59.5，66）時(shí)，系統(tǒng)處于二周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；當(dāng)m∈（66，70）時(shí)，系統(tǒng)處于一周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài).當(dāng)m取不同值時(shí)，系統(tǒng)（1）的相圖如圖8所示.

圖7 參數(shù)m變化時(shí)系統(tǒng)（1）關(guān)于x的分岔圖（a）和Lyapunov指數(shù)譜圖（b）

固定a＝20，c＝5，系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E0的特征多項(xiàng)式為

當(dāng)b＜1，mb＞0，420（1－b）＞mb時(shí)，平衡點(diǎn)E0漸近穩(wěn)定；當(dāng)b＜1，mb＞0，420（1－b）＝mb時(shí)，滿足Hopf分岔發(fā)生的參數(shù)條件.令b＝1，mb＝0，420（1－b）－mb＝0，畫出b－m參數(shù)空間上平衡點(diǎn)的穩(wěn)定域，如圖9所示.其中曲線Li，i＝2，3，4分別代表b＝1，mb＝0和420（1－b）－mb＝0，在曲線L4上滿足 Hopf分岔發(fā)生的參數(shù)條件.區(qū)域（Ⅰ）：b＜1，mb＞0，420（1－b）＞mb，在區(qū)域（Ⅰ）上平衡點(diǎn)E0漸近穩(wěn)定，其他區(qū)域平衡點(diǎn)E0都不穩(wěn)定.結(jié)合圖9，取b＝－8，則它與L4相交點(diǎn)即為Hopf分岔點(diǎn)，可以求得分岔臨界值m0＝－472.5.此時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔有一個(gè)極限環(huán)產(chǎn)生，如圖10b所示.圖10a，c和d分別為取區(qū)域（Ⅰ）、區(qū)域（Ⅷ）和區(qū)域（Ⅵ）中的點(diǎn)所得到的相圖，與圖1的理論分析相符合.

圖8 m取不同值時(shí)系統(tǒng)（1）的相圖

圖9 系統(tǒng)（1）在參數(shù)平面（b，m）上的穩(wěn)定域

圖10 系統(tǒng)（1）在b和m不同參數(shù)下的相圖

固定b＝35，c＝5，系統(tǒng)（1）在平衡點(diǎn)E0的特征多項(xiàng)式為

當(dāng)－1＜a＜0，m＞0，－34a（a＋1）＞35m時(shí)，平衡點(diǎn)E0漸近穩(wěn)定；當(dāng)－1＜a＜0，m＞0，－34a（a＋1）＝35m時(shí)，滿足Hopf分岔發(fā)生的參數(shù)條件.令a＋1＝0，－34a＝0或35，m＝0，－34a（a＋1）－35m＝0，畫出a－m參數(shù)空間上平衡點(diǎn)的穩(wěn)定域，如圖11所示.其中曲線Li，i＝1，2，3，4分別代表a＋1＝0，－34a＝0或35，m＝0和－34a（a＋1）－35m＝0，在曲線L4上滿足Hopf分岔發(fā)生的參數(shù)條件.區(qū)域（Ⅰ）：－1＜a＜0，m＞0，－34a（a＋1）＞35m，在區(qū)域（Ⅰ）上平衡點(diǎn)E0漸近穩(wěn)定，其他區(qū)域平衡點(diǎn)E0都不穩(wěn)定.結(jié)合圖11，取a＝－0.5，則它與L4相交點(diǎn)即為 Hopf分岔點(diǎn)，可以求得分岔臨界值m0＝0.24286.此時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔有一個(gè)極限環(huán)產(chǎn)生，如圖12b所示.圖12a，c和d分別為取區(qū)域（Ⅰ）、區(qū)域（Ⅲ）和區(qū)域（Ⅶ）中的點(diǎn)所得到的相圖，與圖1的理論分析相符合.

圖11 系統(tǒng)（1）在參數(shù)平面（a，m）上的穩(wěn)定域

圖12 系統(tǒng)（1）在a和m不同參數(shù)下的相圖

5 結(jié)論

本文通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)及數(shù)值仿真研究了一個(gè)新三維混沌系統(tǒng)，理論分析了該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，通過選取適當(dāng)?shù)姆植韰?shù)，證明了當(dāng)分岔參數(shù)經(jīng)過臨界值時(shí)系統(tǒng)發(fā)生了Hopf分岔.通過計(jì)算系統(tǒng)的第一Lyapunov系數(shù)判斷了分岔的方向和穩(wěn)定性.然后進(jìn)行了數(shù)值模擬，驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性.

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