實分析中關于Lipschitz條件的一個充要條件

林植林

(華南師范大學數學科學學院,廣東廣州510631)

在實分析中,Lipschitz條件和實函數往往會有著十分緊密的聯系，例如有限實函數f(x)在[a,b]上滿足Lipschitz條件的充要條件為f(x)是[a,b]上某個有界可積函數的不定積分[1].因此,對Lipschitz條件成立時充要條件的分析,對于研究實函數的某些性質則具有深遠意義.

1 Lipschitz條件及相關引理

定義設f(x)是定義在[a,b]上的實函數.若存在一個常數M,使得對于?x,y∈[a,b],都有f(x)-fy≤Mx-y成立,則稱f(x)在[a,b]上滿足Lipschitz條件.

引理1設f(x)為定義在[a,b]上的有限函數.若f(x)在每一點的導出數均為正數,則f(x)是[a,b]的嚴格增函數.

這表明f(x)在x′處有Dfx′≤0,與f(x)在每一點的導出數均為正數矛盾,故假設不成立,從而f(x)是[a,b]的嚴格增函數.

由引理1,可得到以下的引理2.

引理2設f(x)為定義在[a,b]上的有限函數.若f(x)在每一點的導出數均為非負數,則f(x)是[a,b]的增函數.

證取fμ(x)=f(x)+μx,其中μ>0,則有

Dfμ(x)=Df(x)+μ≥0+μ=μ>0.

由引理1可斷言,fμ(x)在[a,b]上關于x嚴格單調遞增.從而,當y>x,x,y∈[a,b]時,有

fy+μy=fμy>fμ(x)=f(x)+μx.

令μ→0+,可得

fy>f(x),

這表明f(x)為[a,b]的增函數.

2 Lipschitz條件成立的充要條件

定理f(x)在[a,b]上滿足Lipschitz條件的充要條件是f(x)的所有導出數滿足|Df(x)|≤M, ?x∈[a,b].

證先證必要性.假定f(x)為在[a,b]上滿足Lipschitz條件的實函數,則對于?x1,x2∈[a,b],有

fx1-fx2≤Mx1-x2.

f(xn)-f(x0)≤Mxn-x0,

即

由x0的任意性知，f(x)的所有導出數滿足Df(x)≤M.

下證充分性.先證f(x)為[a,b]上的連續(xù)函數.若不然,不妨設x′∈[a,b]為其不連續(xù)點,則存在ε0>0,存在αn→0n→∞,αn≠0,使得

fx′+αn-fx′≥ε0,

故有

這與f(x)的所有導出數滿足Df(x)≤M矛盾,故f(x)必為[a,b]上的連續(xù)函數.

現構造函數

g1(x)=Mx+f(x),g2(x)=Mx-f(x).

注意到Df(x)≤M,則有

Dg1(x)=M+Df(x)≥0,

Dg2(x)=M-Df(x)≥0.

由引理2知g1(x)與g2(x)均為[a,b]的增函數，故當x,y∈[a,b],且當y>x時,有

My+fy=g1y≥g1(x)=Mx+f(x),

My-fy=g2y≥g2(x)=Mx-f(x),

從而有

-My-x≤fy-f(x)≤My-x,

即

f(x)-fy≤Mx-y.

這表明f(x)在[a,b]上滿足Lipschitz條件.

[參 考 文 獻]

[1] 程其襄,等.實變函數與泛函分析基礎[M].北京:高等教育出版社,2003:97-175.

[2] 周民強.實變函數論[M].北京:北京大學出版社,2001:149-270.

[3] 曹廣福.實變函數論與泛函分析(上冊)[M].3版 .北京:高等教育出版社,2011:96-139.

[4] Aliprantis C D.Principles of real analysis[M].北京:世界圖書出版公司,2008:161-254.