陳珍培

(浙江樹人大學基礎部,浙江杭州310015)

1 引 言

在定積分的幾何應用中,有關(guān)旋轉(zhuǎn)體體積的計算問題,一般都是在直角坐標系下進行討論的,極坐標系下旋轉(zhuǎn)體的體積計算問題,則很少提及. 文[1]，[2]給出了曲邊扇形繞極軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積計算公式， 但有關(guān)曲邊扇形繞任意空間直線(過極點)旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積問題,至今還沒有文獻進行論述.本文運用微積分的有關(guān)知識來解決這一問題.

2 球底圓錐殼及其體積

由于曲邊扇形繞空間直線旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的空間結(jié)構(gòu)比較復雜,為此,先引入球底圓錐殼的定義及其體積的計算公式.

定義設C是半徑為R的球面，C1，C2是以C的球心為頂點、半頂角分別為α和β的同軸圓錐面(其中β>α), 稱由C，C1，C2圍成的空間立體Ω為球底圓錐殼. 而R,α和β-α分別稱為球底圓錐殼的斜高、半頂角和厚度角，C1，C2稱為球底圓錐殼的內(nèi)、外圓錐面.

結(jié)論1斜高為R、半頂角為α、厚度角為Δα的球底圓錐殼Ω的體積為

(1)

證顯然, 球底圓錐殼體積為

結(jié)論2當球底圓錐殼的厚度角Δα→0時，其體積

(2)

證由(1)可得

3 旋轉(zhuǎn)體體積元素的構(gòu)造

如圖1,設O-xyz為空間坐標系，xOy坐標面上有一曲邊扇形區(qū)域T，在極坐標系下表示為T={(r,θ)0≤r≤r(θ),α≤θ≤β}，旋轉(zhuǎn)軸l經(jīng)過原點且方向向量s=(m,n,p)為單位向量.在[α,β]上任意取一小區(qū)間[θ,θ+dθ](dθ>0)，得相應的小曲邊扇形OMM1,它繞l旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體近似為球底圓錐殼，顯然其斜高為OM=r(θ)，而半頂角φ及厚度角(顯然為dφ)的計算如下：

圖1 旋轉(zhuǎn)體體積元素構(gòu)造示意圖

(3)

兩邊微分，得

-sinφdφ=-(msinθ-ncosθ)dθ，

所以

由(2)可得球底圓錐殼的體積(即旋轉(zhuǎn)體體積元素)為

(4)

4 旋轉(zhuǎn)體體積公式及證明

(5)

圖2 旋轉(zhuǎn)體體積公式推導示意圖

注1 為使證明過程簡潔,不妨先做以下假設:

(ii) 隨θ的增加,曲線上點的運動方向與s的夾角為銳角(證明中保證mx′+ny′+pz′>0)

(iii)m·sinθ-n·cosθ≥0 (能保證旋轉(zhuǎn)體沒有重復部分)

任意取θ∈[α,β],得曲邊扇形AOM,過A，M分別作l的垂線，垂足為D，C, 見圖2,記ΔOMC，ΔOAD及空間曲邊四邊形AMCD繞l所得旋轉(zhuǎn)體的體積分別為V1,V2,V3.則

同理可得

由文[3]中的公式(1)可得當旋轉(zhuǎn)軸過原點且方向向量為單位向量時，旋轉(zhuǎn)體體積公式為

將x=r(θ)cosθ,y=r(θ)sinθ,z=0代入，得

顯然曲邊扇形AOM繞l的旋轉(zhuǎn)體體積為

V(θ)=V1(θ)-V2(θ)-V3(θ)，

所以

V′(θ)=V′1(θ)-V′2(θ)-V′3(θ).

而

V′1(θ) =πr2(θ)r′(θ)(mcosθ+nsinθ)[1-(mcosθ+nsinθ)2]

=πr2(θ)r′(θ)(mcosθ+nsinθ)[1-(mcosθ+nsinθ)2]

V′2(θ)=0,

V′3(θ) =πr2(θ)[1-(mcosθ+nsinθ)2]·[r′(θ)(mcosθ+nsinθ)+r(θ)(ncosθ-msinθ)]

=πr2(θ)r′(θ)(mcosθ+nsinθ)[1-(mcosθ+nsinθ)2]

+πr3(θ)(ncosθ-msinθ)][1-(mcosθ+nsinθ)2],

所以

從而體積元素為

所以旋轉(zhuǎn)體體積

再考慮到體積非負，所以旋轉(zhuǎn)體體積公式為

注2 (i) 若l的方向向量(m,n,p)不是單位向量，則體積公式變?yōu)?/p>

(6)

(ii) 當n=p=0時，此時旋轉(zhuǎn)軸為x軸且取m=1,公式(5)簡化為

此為文[1]，[2]的結(jié)論.

例1計算T={(r,θ)0≤r≤sin2θ,0≤θ≤π/4}繞l:x=y=z旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.

解取l的單位方向向量

由n·cosθ-m·sinθ=cosθ-sinθ≥0知旋轉(zhuǎn)體沒有重疊部分,根據(jù)公式(5)得

5 性 質(zhì)

證在曲線r=r(θ)上任意取關(guān)于θ=θ0對稱的兩點M1(θ0-δ,r(θ0-δ)),M2(θ0+δ,r(θ0+δ)),設OM1,OM2繞l旋轉(zhuǎn)所得的圓錐面分別為C1,C2,其斜高分別為r(θ0-δ),r(θ0+δ)，根據(jù)T的對稱性，顯然有r(θ0-δ)=r(θ0+δ).

再設C1,C2的半頂角分別為φ1,φ2，由(3)可得

所以

cosφ1-cosφ2=2m·sinθ0sinδ-2n·cosθ0sinδ

故φ1=φ2，從而兩個圓錐面C1,C2的半頂角和斜高分別相等，即兩個圓錐面重合，由取點的任意性可知T1和T2繞l所得的旋轉(zhuǎn)體重合.

性質(zhì)2設兩根旋轉(zhuǎn)軸l1和l2的方向向量分別為s1=(m,n,p1)和s2=(m,n,p2)，則xOy平面內(nèi)的曲邊扇形繞l1和l2所得的體積V1和V2之比為

證由公式(6)顯然可得.

T1={(r,θ)0≤r≤R,0≤θ≤π/3}

和

T2={(r,θ)0≤r≤R,π/3≤θ≤π/2}，

根據(jù)性質(zhì)(1),T2所得的旋轉(zhuǎn)體包含在T1所得的旋轉(zhuǎn)體中，所以只要求T1所得的旋轉(zhuǎn)體體積即可，所以

[參 考 文 獻]

[1] 邸雙亮.曲邊扇形繞極軸旋轉(zhuǎn)體體積的新算法[J].高等數(shù)學研究,1995(1):27-29.

[2] 燕列雅,趙彥暉.極坐標系下旋轉(zhuǎn)體體積元素的直接構(gòu)造法[J].高等數(shù)學研究,2007,10(6):17-18.

[3] 王林芳,馬雅琴.空間情形下旋轉(zhuǎn)體體積的計算[J].數(shù)學的實踐與認識,2006,36(5):304-307.