邵曼

伴隨《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的正式頒行，我國(guó)這一課程標(biāo)準(zhǔn)已實(shí)施數(shù)年，自然也產(chǎn)生了不少有關(guān)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)實(shí)踐與教學(xué)反思。為此，北京教育學(xué)院張丹教授、成都大學(xué)張曉霞教授、南京師范大學(xué)馬復(fù)教授、首都師范大學(xué)劉曉玫教授、西南大學(xué)黃燕蘋(píng)教授、北京師范大學(xué)曹一鳴教授及江蘇省教研室李善良教授和其他數(shù)學(xué)教育工作者一道對(duì)1—12年級(jí)的數(shù)學(xué)課程實(shí)踐進(jìn)行探討，總結(jié)與提煉我國(guó)小學(xué)與初高中數(shù)學(xué)教育的經(jīng)驗(yàn)，反思存在的問(wèn)題。

一、1—6年級(jí)數(shù)學(xué)課程的實(shí)踐與反思

1.關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)課程及教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展

廣西師范大學(xué)副教授葉蓓蓓開(kāi)場(chǎng)就談起她的研究“新中國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容知識(shí)量的演變”的動(dòng)機(jī)主要源于她的導(dǎo)師——呂世虎教授的研究，她表示呂教授曾研究過(guò)中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容知識(shí)量成“多少多少”這樣的正弦曲線變化，所以她很希望了解小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的知識(shí)量是否也呈現(xiàn)相同的變化趨勢(shì)。在她的研究中，她嘗試回答了這樣三個(gè)問(wèn)題，即新中國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容知識(shí)量的發(fā)展變化、這些發(fā)展變化所具有的特點(diǎn)及其對(duì)當(dāng)今小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容改革的啟示。她選定1952年12月教育部頒布的《小學(xué)算術(shù)教學(xué)大綱（草案）》和《小學(xué)珠算教學(xué)大綱（草案）》）（簡(jiǎn)稱(chēng)52大綱，以下用簡(jiǎn)稱(chēng)）、63大綱、78大綱、86大綱、92大綱，2001年7月教育部頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》（簡(jiǎn)稱(chēng)01標(biāo)準(zhǔn)，以下用簡(jiǎn)稱(chēng)）、11標(biāo)準(zhǔn)等大綱作為具有代表性的小學(xué)大綱，以文獻(xiàn)分析的形式形成課程內(nèi)容知識(shí)量分析框架，梳理課程內(nèi)容知識(shí)量的變化情況，思考課程內(nèi)容知識(shí)量的變化對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的啟示。

她表示，沿著其導(dǎo)師呂世虎（2012）的研究思路，在定義了課程內(nèi)容的“知識(shí)領(lǐng)域”、“知識(shí)單元”、“知識(shí)點(diǎn)”等概念的基礎(chǔ)上，可以提出“知識(shí)領(lǐng)域”和“知識(shí)單元”之間的“知識(shí)塊”概念，得到小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容知識(shí)量的分析框架，包括數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐等4個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，數(shù)與計(jì)算、代數(shù)初步、量與計(jì)算、平面幾何、立體幾何、統(tǒng)計(jì)初步、概率初步、應(yīng)用題、實(shí)踐活動(dòng)等9個(gè)知識(shí)塊以及包括整數(shù)的認(rèn)識(shí)在內(nèi)的21個(gè)知識(shí)單元。并且，她對(duì)代表性的課程大綱（課程標(biāo)準(zhǔn)）進(jìn)行了系統(tǒng)的內(nèi)容分析。經(jīng)過(guò)分析，發(fā)現(xiàn)1949年至今的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（課程標(biāo)準(zhǔn)）已涵蓋了數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐等4個(gè)知識(shí)領(lǐng)域。除了保持不變的知識(shí)單元，如整數(shù)的認(rèn)識(shí)、整數(shù)的四則運(yùn)算、分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)、分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算、小數(shù)的認(rèn)識(shí)、小數(shù)的四則運(yùn)算、百分?jǐn)?shù)度量單位的認(rèn)識(shí)、度量單位的相互轉(zhuǎn)化、平面幾何的認(rèn)識(shí)、平面幾何的相關(guān)計(jì)算、立體幾何的認(rèn)識(shí)、立體幾何的相關(guān)計(jì)算、應(yīng)用題等外，其他知識(shí)單元在代表性大綱中的趨向是逐步增加的。另外，在她的研究中，還會(huì)發(fā)現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)的發(fā)展并不按照正弦走向，在63大綱達(dá)到頂峰后開(kāi)始減少，因此，她認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容知識(shí)量的變化在一次劇增、劇減過(guò)程后基本上保持穩(wěn)定，“數(shù)與代數(shù)”知識(shí)領(lǐng)域下的“數(shù)與計(jì)算”是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的主要內(nèi)容，“數(shù)與計(jì)算”知識(shí)塊下的“整數(shù)的四則運(yùn)算”知識(shí)單元占據(jù)大部分的內(nèi)容量。“量與計(jì)量”是小學(xué)數(shù)學(xué)課程特有的內(nèi)容，且一直保持著相對(duì)穩(wěn)定的知識(shí)量，“平面幾何”知識(shí)塊下的“平面圖形的認(rèn)識(shí)”是小學(xué)幾何知識(shí)的主要內(nèi)容?！皯?yīng)用題”知識(shí)塊（單元）作為中國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)課程的獨(dú)有內(nèi)容在歷年改革中得到保留，這是因?yàn)閷?duì)課程內(nèi)容知識(shí)量演變的探討最終還是要回歸到教學(xué)實(shí)踐的實(shí)際意義上來(lái)。鑒于此，她認(rèn)為在小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的選擇上，我們應(yīng)處理好傳統(tǒng)與現(xiàn)代的關(guān)系，使內(nèi)容的現(xiàn)代化與小學(xué)生的認(rèn)知水平相適應(yīng)，而且小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容知識(shí)類(lèi)型的拓展應(yīng)處理好“陳述性知識(shí)”向“過(guò)程性知識(shí)”的漸進(jìn)。知識(shí)類(lèi)型的拓展應(yīng)與小學(xué)教師的專(zhuān)業(yè)知識(shí)水平相適應(yīng)，在小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容知識(shí)量的確定方面，應(yīng)該通過(guò)廣泛的調(diào)查與恰當(dāng)?shù)脑囼?yàn)等多種方式，要結(jié)合我國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)的實(shí)際。

小學(xué)數(shù)學(xué)課程的操作離不開(kāi)教師的努力，有關(guān)教師教學(xué)專(zhuān)業(yè)性的研究也日益得到關(guān)注，香港中文大學(xué)講師張僑平的報(bào)告主要圍繞小學(xué)數(shù)學(xué)教師教育中的MPCK（數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)）研究而展開(kāi)。他表示，小學(xué)學(xué)生和教師對(duì)待諸如“寫(xiě)一個(gè)盡可能大的數(shù)”這樣的問(wèn)題的看法會(huì)不盡相同，因?yàn)檫@個(gè)年齡段的學(xué)生很可能是憑借直覺(jué)去感知問(wèn)題的。但是，他強(qiáng)調(diào)說(shuō)，一些學(xué)生出于直覺(jué)感知而出人意料的做法往往會(huì)被教師的“常規(guī)性”抹殺掉。他以化簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的例子作進(jìn)一步的解釋說(shuō)明，如在化簡(jiǎn)時(shí)，很多學(xué)生憑借直觀將分子、分母的6劃去，得出的結(jié)論，類(lèi)似的還有，分子、分母同時(shí)劃去6，得到。這些做法在教師看來(lái)是非常規(guī)的，因此很容易將孩子的創(chuàng)造性抹殺掉。他指出，由于數(shù)學(xué)與學(xué)生純粹的生活經(jīng)驗(yàn)之間存在一定的斷裂性，學(xué)生們也總會(huì)產(chǎn)生很多的疑問(wèn)，如數(shù)學(xué)的“0”是無(wú)，中文的“零”為何是有？0是自然數(shù)嗎，是又如何，不是又如何？為什么“0”作除數(shù)是沒(méi)意義的呢，什么叫沒(méi)意義？小學(xué)生，尤其是低年級(jí)的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣摻雜著與他們?cè)猩罱?jīng)驗(yàn)相異的好奇，因此我們?cè)谂嘤?xùn)教師時(shí)應(yīng)讓他們適當(dāng)?shù)乜紤]學(xué)生自己的理解。生活的語(yǔ)言到數(shù)學(xué)的語(yǔ)言再到符號(hào)之間是存在縫隙和裂痕的，教師應(yīng)該起到橋接和填補(bǔ)的作用，如為什么要先乘除后加減，為什么要先通分才能運(yùn)算，為什么是三角形、四邊形，而不是三邊形、四角形等，這些看起來(lái)稀松平常的知識(shí)，細(xì)想起來(lái)卻很難回答。那么，教師如何才能算盡職？他借用韓愈的話總結(jié)道，教師除了授業(yè)，最終還是要解惑的，即教師須有足夠的知識(shí)儲(chǔ)備為學(xué)生解疑答惑，并針對(duì)這些疑惑設(shè)計(jì)教學(xué)。那在教學(xué)中應(yīng)該如何促進(jìn)學(xué)生的理解？他表示我們要關(guān)注不同學(xué)生的層次需求，可以進(jìn)行“做表”教學(xué)，將表格的內(nèi)容分成四大部分，分別是學(xué)生的疑惑、教師的裝備、如何帶領(lǐng)學(xué)生、教學(xué)如何發(fā)展。最后，他指出，教學(xué)要時(shí)刻注意對(duì)教學(xué)方法和成效的反思，加深對(duì)一些基本問(wèn)題的認(rèn)識(shí)，多用自省模式發(fā)問(wèn)，如“有數(shù)感、空間感這回事嗎？能教嗎？怎么教？”他認(rèn)為，MPCK是隨著教師的發(fā)展而逐漸積累的，這種教學(xué)經(jīng)驗(yàn)由新手的只能把一堂課教完，可以慢慢地過(guò)渡到揮灑自如的狀態(tài)，需要一個(gè)長(zhǎng)時(shí)間的過(guò)程。

關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)思想的問(wèn)題，美國(guó)天普大學(xué)助理教授丁美霞與美國(guó)威得恩大學(xué)助理教授李小保在對(duì)比中、美兩國(guó)的教材后有了新的理解。什么是基本數(shù)學(xué)思想？丁美霞指出，在他們的研究中，這個(gè)概念指的是基本原則、性質(zhì)、關(guān)系、結(jié)構(gòu)等，如等值概念、基本運(yùn)算定律、逆運(yùn)算之間的關(guān)系等。那為什么將研究的重心聚焦于基本數(shù)學(xué)思想呢？她指出，有些學(xué)生不能理解復(fù)雜概念的原因往往可以追溯到他們?cè)谛W(xué)階段對(duì)這些基本數(shù)學(xué)思想的膚淺或不完整的理解。學(xué)生，甚至有些教師對(duì)基本數(shù)學(xué)思想尚不能完全理解。李小保則用具體的事例解釋了他們的研究緣起，他表示2008年他們?cè)鲞^(guò)一項(xiàng)對(duì)比研究，即分別考查美國(guó)和中國(guó)的小學(xué)生“8+4=？+5”這個(gè)問(wèn)題。研究發(fā)現(xiàn)，美國(guó)從幼兒園到六年級(jí)的145個(gè)學(xué)生中無(wú)一人做對(duì)，同樣的問(wèn)題在對(duì)安徽、江蘇等省的學(xué)生考查時(shí)卻得到了截然相反的結(jié)果，因?yàn)榇蟛糠值膶W(xué)生都可以得出正確答案。據(jù)此，他分析道，這有可能是中、美兩國(guó)數(shù)學(xué)教材的不同引起的差異性。另外，他還指出，很多美國(guó)職前教師普遍混淆結(jié)合律和交換律，特別是不能用文字題來(lái)說(shuō)明和演示乘法結(jié)合律。那么，如何優(yōu)化學(xué)生的學(xué)習(xí)環(huán)境，更好地發(fā)展他們對(duì)基本數(shù)學(xué)思想的理解，從而為后繼的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)呢？鑒于教材提供的學(xué)生學(xué)習(xí)以及教師增長(zhǎng)知識(shí)的機(jī)會(huì)，他認(rèn)為教材是學(xué)習(xí)環(huán)境中的關(guān)鍵因素之一，對(duì)教材的比較研究尤為重要，可以打破本土化教學(xué)的局限性，給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)更為廣闊的視野。

基于此，他們對(duì)比研究了美國(guó)教材改革之前和改革之后的不同版本的教材，以及中國(guó)的人民教育出版社版（以下簡(jiǎn)稱(chēng)人教版）、江蘇教育出版社版（以下簡(jiǎn)稱(chēng)蘇教版）、北京師范大學(xué)出版社版（以下簡(jiǎn)稱(chēng)北師大版）的數(shù)學(xué)教材，主要研究等于號(hào)、乘法分配律、結(jié)合律、逆運(yùn)算關(guān)系。綜合這幾個(gè)研究，他們發(fā)現(xiàn)中、美兩國(guó)教材在意義的初始學(xué)習(xí)（情境支持）、明確化的學(xué)習(xí)（數(shù)學(xué)基本思想）、跨時(shí)間的學(xué)習(xí)（結(jié)構(gòu)聯(lián)系）等三個(gè)方面存在著差異。美國(guó)大多數(shù)的小學(xué)數(shù)學(xué)教材甚至是在教師用書(shū)中，等于號(hào)往往被處理為運(yùn)算符號(hào)，而不作為關(guān)系符號(hào)，因此他們?cè)诿鎸?duì)如“5=5”正確與否的問(wèn)題時(shí)，總會(huì)產(chǎn)生疑惑，因?yàn)樵谒麄兊乃季S中，“5+0=5”這個(gè)命題才是真正成立的。我們可以看出，等于號(hào)在他們的思維中并沒(méi)有形成關(guān)系的概念，僅僅停留在運(yùn)算層面，很難架構(gòu)其以后要學(xué)習(xí)的方程概念。與此相比，中國(guó)的教材（主要是人教版、蘇教版、北師大版）把等于號(hào)放在一個(gè)比較的故事情境中介紹，明確等于號(hào)屬于關(guān)系符號(hào)，這種處理方式有利于學(xué)生對(duì)等于號(hào)的理解，并為日后學(xué)習(xí)方程概念奠定基礎(chǔ)。對(duì)于明確化的學(xué)習(xí)研究層面，他們表示美國(guó)在學(xué)習(xí)這一部分內(nèi)容時(shí)，會(huì)教給學(xué)生不同的拆分組合策略，但具體解法背后隱藏的數(shù)學(xué)基本思想并沒(méi)有得到很好的揭示，而中國(guó)四年級(jí)的教材會(huì)通過(guò)深度問(wèn)題的提出，亮出數(shù)學(xué)的基本思想。在第三個(gè)層面，即跨時(shí)間的學(xué)習(xí)研究中，他們表示，中國(guó)的教材會(huì)隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的深入有明顯的重點(diǎn)轉(zhuǎn)移，如中國(guó)的教材編排是先學(xué)加減后學(xué)乘除，但美國(guó)并沒(méi)有這樣的轉(zhuǎn)移，他們的學(xué)生在四年級(jí)時(shí)會(huì)加減乘除一起學(xué)。最后，他們指出他們下一步的研究方向是將中國(guó)教材對(duì)數(shù)學(xué)基本思想的呈現(xiàn)與實(shí)際課堂教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)、亞洲國(guó)家的教材相聯(lián)系，提煉和傳播中國(guó)教材對(duì)數(shù)學(xué)基本思想呈現(xiàn)的方法以及其他教學(xué)實(shí)踐模式，在全球化的背景下建立跨國(guó)合作的研究模式。

丁美霞和李小保兩位助理教授研究的數(shù)學(xué)基本思想是泉州師范學(xué)院副教授蘇明強(qiáng)報(bào)告中指出的“四基”中的“一基”，其他“三基”為基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能與基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。蘇副教授詳細(xì)解釋了“四基”中每一基的含義：基礎(chǔ)知識(shí)指的是概念、性質(zhì)、公式、法則、定律定理等，基本技能指的是運(yùn)算、測(cè)量、畫(huà)圖與問(wèn)題的解決，基本思想指的是抽象思想、推理思想、建模思想等數(shù)學(xué)思維能力，基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)指的是操作活動(dòng)、思維活動(dòng)與實(shí)踐活動(dòng)。他認(rèn)為，“四基”由“雙基”進(jìn)一步規(guī)劃、發(fā)展而來(lái)，其內(nèi)涵產(chǎn)生了新的變化。那么“四基”之間是什么關(guān)系呢？基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)形成基本思想，促進(jìn)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的掌握，學(xué)生在基礎(chǔ)知識(shí)儲(chǔ)備的增加與基本技能的鞏固過(guò)程中不斷積累的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，又成為獲取基本思想的源泉。他和他的團(tuán)隊(duì)認(rèn)為，“四基”應(yīng)該至少在教材分析、學(xué)情分析、教學(xué)設(shè)計(jì)、評(píng)價(jià)反思等4個(gè)范圍內(nèi)應(yīng)用，但他不無(wú)遺憾地表示，“四基”的思想雖然早已提出，但仍有大多數(shù)教師愿意用“雙基”思想來(lái)觀察課堂。這里，他舉出3個(gè)案例來(lái)進(jìn)一步闡述如何用“四基”思想進(jìn)行教學(xué)。第一個(gè)案例是“關(guān)于0的認(rèn)識(shí)”，他表示蘇教版、人教版、北師大舊版的教材是給出情境，然后馬上給出符號(hào)“0”，缺少中間過(guò)程；而北師大新版教材對(duì)“關(guān)于0的認(rèn)識(shí)”這一課作了一些改進(jìn)，不但給出小貓釣魚(yú)的情境，還給出具體的情境，把關(guān)注點(diǎn)從貓轉(zhuǎn)移到魚(yú)的數(shù)量上面。盡管如此，他認(rèn)為這其中還缺少一步，即以三角形、圓圈或者其他符號(hào)去代替貓，只有有了這樣的一個(gè)過(guò)程，才能真正化具體為抽象，從生活真正進(jìn)入數(shù)學(xué)。第二個(gè)案例是“同分母分?jǐn)?shù)的加法”，他認(rèn)為同分母分?jǐn)?shù)的加減法與整數(shù)加減法有所不同，加并不等于，小學(xué)生在這方面的學(xué)習(xí)有違于以往的認(rèn)知，因此須以一定的操作活動(dòng)輔助教學(xué)，讓學(xué)生在實(shí)際的生活中慢慢地了解和認(rèn)識(shí)一定的數(shù)學(xué)規(guī)則。第三個(gè)案例是我們?cè)趯W(xué)習(xí)“平行四邊形的面積”時(shí)，很多人弄不清楚周長(zhǎng)一樣的圖形，其面積是否一樣，周長(zhǎng)相等的長(zhǎng)方形與平行四邊形的面積是否一樣。在啟發(fā)學(xué)生探究“平行四邊形的面積”時(shí)，他傾向于設(shè)計(jì)這樣的問(wèn)題：如果這是什么圖形就好了？這種設(shè)問(wèn)符合小學(xué)學(xué)生的心理，將未知轉(zhuǎn)化為已知，按照以往的熟悉圖形進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中體會(huì)雖然“圖中的平行四邊形與跟它周長(zhǎng)相同的長(zhǎng)方形底長(zhǎng)是相同的，但由于高不同，面積也就不同”的道理。學(xué)會(huì)這種轉(zhuǎn)化思想，在切換到立體圖形時(shí)，學(xué)生也會(huì)潛移默化地根植這樣的函數(shù)思想，這便是張丹教授所說(shuō)的“一種數(shù)學(xué)直覺(jué)”。

2.關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究及特色實(shí)踐

不論是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容還是教師對(duì)教學(xué)思想的把握，最終都要回歸到教學(xué)實(shí)踐中，臺(tái)南市鹽水小學(xué)教師何鳳珠、北京教育學(xué)院教授張丹、北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校小學(xué)數(shù)學(xué)教研室主任孫京紅、紹興文理學(xué)院講師俞宏毓以及山東省日照市教學(xué)研究室副主任李軍在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中形成他們不同的教學(xué)特色。

何鳳珠老師出場(chǎng)幽默地表示，“以上幾位教師都是講數(shù)學(xué)課程的，我在這里讓大家放松一下，讓大家品嘗一下數(shù)學(xué)里的小點(diǎn)心，挑動(dòng)一下數(shù)學(xué)的味蕾”。她首先展示了紅青蛙棋、跳棋、迷宮軌道等益智玩具的圖片，指出使用益智玩具進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，充分地利用孩子愛(ài)玩的天性，可以激發(fā)出他們的創(chuàng)造性，培養(yǎng)他們的觀察能力、推理能力、操作能力、想象能力以及思維能力。此外，她舉例說(shuō)，我們可以將益智游戲引入四則運(yùn)算的課堂教學(xué)活動(dòng)中，讓學(xué)生將1～9的數(shù)字放入格子中，鍛煉他們自我設(shè)計(jì)題目、自主運(yùn)算的能力，還可以將五連塊巧用在空間幾何中，增進(jìn)學(xué)生對(duì)面積、周長(zhǎng)等的理解。在她看來(lái)，這些置于教室角落中的益智類(lèi)玩具可以將數(shù)學(xué)的氛圍帶入課堂，使學(xué)生在玩耍中充分思考數(shù)學(xué)玩具的精髓，促進(jìn)他們邏輯推理能力的提高。同時(shí)，何老師指出，她們學(xué)校還推出了親子同樂(lè)活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)童周末或假日借益智玩具與家人共同研究，寫(xiě)出玩具分享心得。她感慨道，很多她想了很久都沒(méi)有想出的玩具破解辦法竟然輕而易舉地被學(xué)生在短短的幾天就破解出來(lái)了，而且利用這些零碎的時(shí)間體會(huì)數(shù)學(xué)思想的存在，可以提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

張丹教授隨即拋出了她在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)的一個(gè)有趣現(xiàn)象——分?jǐn)?shù)教學(xué)的悖論問(wèn)題。她以一個(gè)課堂實(shí)例進(jìn)一步地解釋這種悖論，她說(shuō)，在五年級(jí)講分?jǐn)?shù)的意義時(shí)，教師基本上會(huì)將分?jǐn)?shù)的意義等同于分?jǐn)?shù)的定義，即把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或基本的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)?；谶@樣的定義，她拋出了如何理解諸如這樣的假分?jǐn)?shù)呢？按照這種定義，似乎并不應(yīng)該有假分?jǐn)?shù)的存在，學(xué)生也容易產(chǎn)生困惑?；诖耍J(rèn)為整體把握分?jǐn)?shù)的意義應(yīng)該要從四個(gè)維度來(lái)考量，使學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解從部分與整體的關(guān)系轉(zhuǎn)移到兩個(gè)量之間的關(guān)系，從數(shù)量比轉(zhuǎn)移到分?jǐn)?shù)比。也就是說(shuō)，既可以將分?jǐn)?shù)理解為是分?jǐn)?shù)單位的累加，如就是用作為單位測(cè)量三次的結(jié)果，又可以將分?jǐn)?shù)看成是一種運(yùn)算過(guò)程，還可以將分?jǐn)?shù)作為一種運(yùn)算結(jié)果。經(jīng)過(guò)對(duì)海淀區(qū)3所學(xué)校的教學(xué)測(cè)試，她發(fā)現(xiàn)這種對(duì)分?jǐn)?shù)意義的整體教學(xué)設(shè)計(jì)還是會(huì)取得良好的效果。最后，她表示這個(gè)研究只是一個(gè)開(kāi)始，系列活動(dòng)設(shè)計(jì)的有效性還需要得到更多群體的檢驗(yàn)，對(duì)分?jǐn)?shù)的“運(yùn)算”和“商”的理解還需要加強(qiáng)，對(duì)小學(xué)階段學(xué)生在分?jǐn)?shù)的理解方面要進(jìn)行更為精細(xì)的個(gè)案研究。

俞宏毓老師則認(rèn)為研究要回歸到課堂的具體實(shí)踐，她以“長(zhǎng)方形、正方形的面積與周長(zhǎng)”作為小切口，探尋教學(xué)過(guò)程中的邏輯順序問(wèn)題。她認(rèn)為在小學(xué)數(shù)學(xué)中，“面積與周長(zhǎng)”問(wèn)題是受中西方數(shù)學(xué)教育界普遍關(guān)注的教學(xué)主題之一。2012年下半年，在顧泠沅教授的主持下，上海青浦教師進(jìn)修學(xué)院的科研員和教研員、青浦實(shí)驗(yàn)小學(xué)的數(shù)學(xué)教師以及她本人，以“長(zhǎng)方形、正方形的面積與周長(zhǎng)”為教育主題，在青浦實(shí)驗(yàn)小學(xué)進(jìn)行教學(xué)指導(dǎo)活動(dòng)，以青浦實(shí)驗(yàn)小學(xué)三年級(jí)6個(gè)平行班的基礎(chǔ)相當(dāng)?shù)膶W(xué)生為研究對(duì)象，以教師發(fā)展指導(dǎo)者、執(zhí)教教師、研究人員為主要參與者進(jìn)行研究。俞老師表示，她的研究主要運(yùn)用課堂和指導(dǎo)會(huì)議錄像、錄像帶分析法、前后測(cè)試卷、量的統(tǒng)計(jì)加質(zhì)的分析、訪談錄音、質(zhì)的分析等數(shù)學(xué)分析方法，采用研究準(zhǔn)備會(huì)、前測(cè)、訪談學(xué)生、課后指導(dǎo)會(huì)議、后測(cè)的形式對(duì)兩位教師——年輕教師PN與經(jīng)驗(yàn)教師PE的執(zhí)教情況進(jìn)行跟蹤記錄和研究分析。在對(duì)兩位教師的后測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較分析后，她發(fā)現(xiàn)，教師PN經(jīng)教師發(fā)展指導(dǎo)者指導(dǎo)后，其課堂教學(xué)的效果差異顯著。而教師PE拘泥于教材，沒(méi)有完全接受教師發(fā)展指導(dǎo)者的改進(jìn)思路，教學(xué)效果并不理想。從后測(cè)來(lái)看，教師PN三次課的成績(jī)差異顯著，教師PE后兩次課執(zhí)教班級(jí)的測(cè)試成績(jī)明顯不如教師PN執(zhí)教班級(jí)的。

關(guān)于面積運(yùn)算正確率的比較，俞老師表示在第一次課后指導(dǎo)會(huì)議上，指導(dǎo)者便指出正方形是長(zhǎng)方形的特殊情形，建議教學(xué)要從長(zhǎng)方形突破，將正方形的面積放到練習(xí)中，但在測(cè)試中發(fā)現(xiàn)，第一次課時(shí)，兩位教師的正確率都不高，而第二和第三次課時(shí)，教師PE的課堂練習(xí)中的應(yīng)用題和后測(cè)試題一模一樣，而教師PN的課堂練習(xí)中沒(méi)有出現(xiàn)應(yīng)用題，但在第三次課，教師PE的正確率并不比教師PN高。她還發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)中，教師PE傾向于就事論事，在周長(zhǎng)和面積的教學(xué)中局限于長(zhǎng)方形和正方形，學(xué)生遇到組合圖形時(shí)會(huì)手足無(wú)措；而教師PN經(jīng)指導(dǎo)改進(jìn)后，在教學(xué)中會(huì)強(qiáng)調(diào)周長(zhǎng)的“一段一段相加”和面積的“一塊一塊相加”的本質(zhì)，學(xué)生在理解周長(zhǎng)、面積三要素的本質(zhì)后，不僅會(huì)求組合圖形的周長(zhǎng)與面積，而且還會(huì)出現(xiàn)幾種不同的求法。最后，俞老師提出了她自己的建議。她認(rèn)為：第一，教學(xué)應(yīng)遵從兒童的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，即應(yīng)遵從兒童認(rèn)知從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從規(guī)則到不規(guī)則這樣一個(gè)發(fā)展規(guī)律。在教學(xué)概念和方法的學(xué)習(xí)上，應(yīng)該是從一維到二維再到三維，先有周長(zhǎng)再有面積和體積，先加減再乘除進(jìn)行運(yùn)算。第二，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)注重?cái)?shù)與形的結(jié)合。從前測(cè)的結(jié)果及訪談內(nèi)容可以看出，小學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)與形結(jié)合得并不夠好，學(xué)生在學(xué)數(shù)和運(yùn)算時(shí)和形是脫離的，應(yīng)該嘗試數(shù)和形的有機(jī)結(jié)合。第三，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該注意學(xué)習(xí)方法的遷移，如數(shù)學(xué)概念、處理問(wèn)題的方法等都可以進(jìn)行類(lèi)比學(xué)習(xí)和遷移。

李軍副主任同樣在課堂的具體實(shí)踐上下足功夫，他的研究是圍繞著數(shù)學(xué)小課題進(jìn)行的。他表示，課程改革的新觀念深入人心，但新課程倡導(dǎo)的自主探索、合作交流、動(dòng)手實(shí)踐卻很難落到實(shí)處。這種落差不但有評(píng)價(jià)機(jī)制、教師素質(zhì)、觀念沒(méi)有切實(shí)轉(zhuǎn)變等原因的影響，還有教師在課堂上沒(méi)有給學(xué)生留有充分的時(shí)間和空間去經(jīng)歷數(shù)學(xué)過(guò)程的作用。他指出，有的學(xué)生通過(guò)提前預(yù)習(xí)會(huì)對(duì)所學(xué)的知識(shí)有個(gè)大概的了解，有的學(xué)生則會(huì)人云亦云，不會(huì)有自己的思想，還有的學(xué)生淺嘗輒止、研究不深，這就使得很多內(nèi)容僅僅停留于形式上。另外，他表示，在學(xué)生眼中，數(shù)學(xué)往往等同于做練習(xí)題，將課本內(nèi)容教好是教師教學(xué)的唯一目的。那么怎樣才能學(xué)好數(shù)學(xué)呢，借用荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴(lài)登塔爾“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行‘再創(chuàng)造”的思想，他認(rèn)為可以通過(guò)提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，形成研究課題，使學(xué)生經(jīng)歷、體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的過(guò)程來(lái)實(shí)現(xiàn)。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生不斷地找到有用的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)原理，經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，不斷地提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。為了更好、更深入地實(shí)施新課程，從有利于學(xué)生的發(fā)展、有利于日常教學(xué)相結(jié)合、有利于提高教師的研究水平和教學(xué)水平出發(fā)，我們要不斷地提高教學(xué)效率，倡導(dǎo)學(xué)校和教師積極的參與，邊實(shí)踐邊調(diào)整，經(jīng)常進(jìn)行交流和總結(jié)，不斷擴(kuò)大戰(zhàn)果。他認(rèn)為教師在教學(xué)時(shí)要注意以下一些教學(xué)原則，如注意課上與課下相結(jié)合、課本內(nèi)容與課本外內(nèi)容相結(jié)合、因材施教與面向全體相結(jié)合等?；谶@些教學(xué)原則，他認(rèn)為更應(yīng)該重視課堂的作用、學(xué)生的作用、教師的作用以及研究成果的展示交流。課堂應(yīng)用于課前，學(xué)生在課前可以進(jìn)行初步的預(yù)習(xí)研究，而課堂更多的是起到展示、交流和提升的作用。他認(rèn)為，課堂不能僅僅是學(xué)生展示交流研究的成果，還要輔之以補(bǔ)充練習(xí)。另外，數(shù)學(xué)小課題研究的課堂數(shù)學(xué)不能代替全部的常規(guī)課堂教學(xué)，常規(guī)教學(xué)也發(fā)揮著不可替代的作用，二者互相補(bǔ)充，才能相得益彰。最后，他解讀了小學(xué)數(shù)學(xué)小課題研究的意義，認(rèn)為小課題研究可以增強(qiáng)教師的課程意識(shí)和指導(dǎo)學(xué)生的能力，使學(xué)生真正經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、分析和解決問(wèn)題的完整過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、數(shù)學(xué)精神、表達(dá)與交流能力，改變單一的課堂教學(xué)組織形式，使自主探究、合作交流、動(dòng)手實(shí)踐等學(xué)習(xí)方式產(chǎn)生實(shí)效。

傳統(tǒng)的常規(guī)教學(xué)不易看出學(xué)生在問(wèn)題研究能力上的差異，通過(guò)研究成果的展示交流，學(xué)生可以在互相討論中引發(fā)更深入的思考。特色教學(xué)提倡學(xué)生和教師在課堂上的互動(dòng)，教師在學(xué)生的研究過(guò)程中提供針對(duì)性的指導(dǎo)，對(duì)出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行解釋、說(shuō)明，與學(xué)生一道進(jìn)行梳理、總結(jié)、補(bǔ)充、完善，甚至與學(xué)生進(jìn)行激烈的辨析。

二、7—9年級(jí)數(shù)學(xué)課程的實(shí)踐與反思

隨著學(xué)生年級(jí)的升高，其認(rèn)知水平也會(huì)發(fā)生一定的變化，那么從小學(xué)升入初中，數(shù)學(xué)課程教學(xué)實(shí)踐會(huì)有哪些不同，初中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)會(huì)有哪些特點(diǎn)與規(guī)律，這些都是值得我們深入思考的問(wèn)題。

1.有關(guān)中學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)的思考

教材是教師教學(xué)的主要依據(jù)，但教師往往會(huì)選擇其他的學(xué)習(xí)材料進(jìn)行教學(xué)補(bǔ)充，補(bǔ)充材料與教材之間會(huì)有一些差異，基于此，澳門(mén)大學(xué)教育學(xué)院助理教授江春蓮就初中數(shù)學(xué)教科書(shū)呈現(xiàn)問(wèn)題與課堂教學(xué)實(shí)際使用問(wèn)題的難度進(jìn)行分析，認(rèn)為可以引申出兩個(gè)大問(wèn)題，一是數(shù)學(xué)教科書(shū)呈現(xiàn)問(wèn)題與課堂教學(xué)實(shí)際使用問(wèn)題的難度有何差異，二是這些實(shí)際呈現(xiàn)問(wèn)題的來(lái)源除教科書(shū)外，還有哪些。她通過(guò)選取長(zhǎng)春某中學(xué)初二年級(jí)的3位教師，在問(wèn)題、探究、背景、推理、運(yùn)算、知識(shí)點(diǎn)等維度的框架下，對(duì)他們的勾股定理教學(xué)過(guò)程進(jìn)行觀察，發(fā)現(xiàn)這些教師在課堂上實(shí)際使用問(wèn)題是教材給出問(wèn)題的3～5倍，并且在背景與推理的維度下，教師補(bǔ)充題目與教材題目難度相當(dāng)，而在其他維度，尤其是運(yùn)算維度上存在差異。她認(rèn)為，就教師某一堂課的實(shí)際教學(xué)來(lái)說(shuō)，基本上會(huì)遵循由易到難的規(guī)律，這是比香港版教材強(qiáng)的地方。然而，她也不無(wú)遺憾地表示，通過(guò)收集學(xué)生的課后作業(yè)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)很多課外參考書(shū)的練習(xí)題不是按照由易到難的順序編排的，不太符合學(xué)生的認(rèn)知順序，而且教材中的題目在數(shù)量上不能滿足學(xué)生的要求，教師提供的問(wèn)題在探究和運(yùn)算兩個(gè)維度上顯著高于教材難度。她饒有興趣地講述了自己在華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)的工作經(jīng)歷，提出教師之間布置作業(yè)量的分配以及占用學(xué)生多少學(xué)習(xí)時(shí)間的問(wèn)題也是一個(gè)很有趣的研究方向。

江春蓮以豐富的課堂實(shí)戰(zhàn)經(jīng)歷以及較為詳實(shí)的課堂數(shù)據(jù)剖析了教科書(shū)與課堂教學(xué)使用問(wèn)題難度之間的關(guān)系，而人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室主任李海東則從編者的角度，對(duì)教科書(shū)應(yīng)該起到的“彰顯育人價(jià)值、提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的作用為教科書(shū)的編者點(diǎn)明了應(yīng)該努力的方向。他認(rèn)為，教材是非常重要的教學(xué)資源，不論是課程改革還是教材改革都離不開(kāi)教材。在回顧了十八大提出“立德樹(shù)人”這一教學(xué)根本任務(wù)后，他指出教育界也都在做一些立德樹(shù)人的研究，但都是在一些大教育的框架下。對(duì)數(shù)學(xué)教育來(lái)說(shuō)，育人目標(biāo)的核心是學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，但對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的研究雖多，卻鮮有明確的結(jié)論，大都停留在知識(shí)技能層面、數(shù)學(xué)能力層面、情感態(tài)度價(jià)值觀層面或者混合前三者進(jìn)行多維度表述。那么為了提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，我們的教科書(shū)應(yīng)該怎么編呢？他認(rèn)為應(yīng)該按照大綱的具體教學(xué)要求呈現(xiàn)知識(shí)和技能，在此基礎(chǔ)上，思考如何去體現(xiàn)教科書(shū)的教育價(jià)值。第一，突出重點(diǎn)和主線，構(gòu)建符合數(shù)學(xué)邏輯和學(xué)生心理的教科書(shū)體系。這種體系可以讓學(xué)生在浩如煙海的數(shù)學(xué)知識(shí)中看到它們之間的聯(lián)系，注意各領(lǐng)域內(nèi)容的前后順序、內(nèi)容之間的聯(lián)系與綜合、數(shù)學(xué)內(nèi)容與相關(guān)學(xué)科內(nèi)容的聯(lián)系以及核心的數(shù)學(xué)概念和重要的數(shù)學(xué)思想方法，循序漸進(jìn)。從這個(gè)角度來(lái)看，良好的體系結(jié)構(gòu)是教科書(shū)育人的載體。第二，加強(qiáng)學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)，使學(xué)生逐步地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)研究的“基本套路”。在教科書(shū)的編寫(xiě)過(guò)程中，注意挖掘數(shù)學(xué)核心知識(shí)蘊(yùn)含的思維教育價(jià)值，加強(qiáng)學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)，以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的概括過(guò)程、數(shù)學(xué)原理的抽象過(guò)程，從中體會(huì)數(shù)學(xué)研究方法，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)研究的“基本套路”。這其實(shí)是要發(fā)揮數(shù)學(xué)核心知識(shí)本身蘊(yùn)含的教育價(jià)值，有些數(shù)學(xué)知識(shí)本身就有其發(fā)生發(fā)展的過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)這一研究過(guò)程，必須進(jìn)行學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)。比如在研究幾何問(wèn)題時(shí)，教師要時(shí)刻地注意學(xué)生對(duì)圖形性質(zhì)、判定等概念的理解程度，重視從何種角度切入，要遵循從實(shí)驗(yàn)到論證、從一般到特殊的規(guī)律，利用性質(zhì)和判定的互逆關(guān)系，以便為學(xué)生思考問(wèn)題提供落腳點(diǎn)。第三，反映背景，重視過(guò)程，加強(qiáng)應(yīng)用，以便使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基本思想。第四，發(fā)揮章引言的“先行組織者”和章小結(jié)的“概括提升”作用，體現(xiàn)知識(shí)的整體性。他特別重視小結(jié)的作用，認(rèn)為這對(duì)幫助學(xué)生“由厚到薄”地再認(rèn)識(shí)本章內(nèi)容、幫助教師提升教學(xué)的思想性具有重要的作用。第五，加強(qiáng)探究，重視“綜合與實(shí)踐”，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。最后，他重申，教科書(shū)是重要的學(xué)習(xí)資源，而教材建設(shè)是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，希望在大家的共同努力下，可以編寫(xiě)出高質(zhì)量、利教利學(xué)的數(shù)學(xué)教科書(shū)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，為發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人功能作出更大的貢獻(xiàn)。

2.有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式與基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的研究

課程改革不但要關(guān)注教材的改良和提升，還應(yīng)致力于扭轉(zhuǎn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，四川省成都市教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)委員會(huì)副理事長(zhǎng)王富英、山東省青島市普通教育教研室教研員安志軍在這個(gè)層面上談起了自己的教學(xué)心得。

教師講數(shù)學(xué)，學(xué)生跟在后面被動(dòng)思維，這是中國(guó)課堂十分普遍的課堂教授形式，學(xué)生在這種形式下往往是知其然而不知其所以然。王富英副理事長(zhǎng)認(rèn)為，我們要盡快地脫離這種獨(dú)白式、問(wèn)答式、對(duì)話式的教授階段，轉(zhuǎn)變?yōu)榻忉屝缘?、啟發(fā)式的和對(duì)話性的學(xué)生講數(shù)學(xué)階段。何為學(xué)生講數(shù)學(xué)呢？他指出，學(xué)生講數(shù)學(xué)是指在課堂上圍繞一個(gè)共同的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)習(xí)者用口頭語(yǔ)言向他人表達(dá)和解釋自己的理解、想法與發(fā)現(xiàn)，教師與同伴通過(guò)傾聽(tīng)、提問(wèn)、質(zhì)疑、評(píng)價(jià)等方式與之對(duì)話交流的學(xué)習(xí)活動(dòng)方式。學(xué)生講數(shù)學(xué)的過(guò)程是對(duì)話交流和視域融合的過(guò)程，是在學(xué)習(xí)共同體內(nèi)完成的，同時(shí)講數(shù)學(xué)的過(guò)程也是一個(gè)理解的過(guò)程。此外，他認(rèn)為學(xué)生講數(shù)學(xué)的基本環(huán)節(jié)包括獨(dú)學(xué)、講解及評(píng)價(jià)。學(xué)生自己進(jìn)行學(xué)案導(dǎo)讀、課上講解，與其他不講課的學(xué)生形成共鳴，同時(shí)得到反饋和啟示，從而使講課的學(xué)生和不講課的學(xué)生都更能清晰明了地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題。經(jīng)過(guò)這樣一個(gè)過(guò)程，學(xué)生講數(shù)學(xué)就解決了“學(xué)什么”、“怎樣學(xué)”、“學(xué)得如何”這三個(gè)問(wèn)題。他從學(xué)生以講數(shù)學(xué)的形式學(xué)習(xí)一元二次方程的實(shí)戰(zhàn)教學(xué)說(shuō)起，指出學(xué)生講數(shù)學(xué)是一種更為豐富、能夠充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主體性的學(xué)習(xí)活動(dòng)，并不是簡(jiǎn)單地回答教師所提出的問(wèn)題，而是在自己獨(dú)立思考和組內(nèi)討論的基礎(chǔ)上，以個(gè)性化的方式展示和解釋他們的思維過(guò)程及其思想特點(diǎn)，同時(shí)，教師和其他學(xué)生以其各自的視角和理解參與這一知識(shí)意義的建構(gòu)過(guò)程。這種“導(dǎo)學(xué)講評(píng)式教學(xué)”融合了東西方的教育理念，既關(guān)注學(xué)生的參與，又傳承中國(guó)數(shù)學(xué)課堂中注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)與思想方法的優(yōu)秀傳統(tǒng)，改變國(guó)外學(xué)者對(duì)中國(guó)課堂教學(xué)的看法，這是國(guó)際學(xué)者對(duì)這一學(xué)習(xí)方式的看法，他如此總結(jié)道。教育部中小學(xué)教材審定委員馬復(fù)教授指出，這種教學(xué)方式的重心在于學(xué)生的學(xué)，有效地整合了多種學(xué)習(xí)方式，使我們看到中國(guó)人自己建構(gòu)的教學(xué)模式。

青島作為國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)區(qū)，自2001年課程改革以來(lái)，就重視對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，在踐行新課程理念方面作出富有創(chuàng)意的探索。他們的工作不僅體現(xiàn)在實(shí)踐及對(duì)實(shí)踐的思考，也濃縮成富有經(jīng)驗(yàn)的實(shí)踐成果，來(lái)自青島市普通教育教研室的安志軍教研員帶來(lái)了他們系統(tǒng)性的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。安教研員指出，中國(guó)的數(shù)學(xué)教育，既要發(fā)揚(yáng)自家之長(zhǎng)，又要牢記“他山之石，可以攻玉”。她認(rèn)為，在經(jīng)濟(jì)時(shí)代，學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)才是最重要的，努力轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式應(yīng)成為教師教學(xué)的首要目標(biāo)。她代表青島市初中數(shù)學(xué)教師從四個(gè)方面分享了她們的研究過(guò)程。

第一，重視學(xué)生的主體地位，提升學(xué)生的主動(dòng)性。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，要為自己的活動(dòng)代言，他們只有積極地參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中，才會(huì)有思維的飛躍，形成自己解決問(wèn)題的策略。結(jié)合北京師范大學(xué)出版社出版的教材，她的團(tuán)隊(duì)進(jìn)行了一系列的探索。在考察鄉(xiāng)村學(xué)校后，她們發(fā)現(xiàn)在這個(gè)沒(méi)有電腦、電子白板、實(shí)物展示臺(tái)，也無(wú)法打印紙張的課堂，依然體現(xiàn)出學(xué)生自主學(xué)習(xí)的探究過(guò)程。即使在農(nóng)村，即使沒(méi)有現(xiàn)代化的手段，新課程改革的理念依然得到貫徹。她以一道教學(xué)實(shí)例給予進(jìn)一步的解釋?zhuān)纭扒鬁y(cè)池塘AB的距離”這道習(xí)題，參考答案僅僅是利用全等或相似三角形來(lái)求解，但學(xué)生卻會(huì)綜合運(yùn)用三角形、四邊形、勾股定理、中位線等。這說(shuō)明只要我們肯給學(xué)生一個(gè)更自由的空間，學(xué)生的思維可能會(huì)更開(kāi)闊。此外，安教研員還給出了一些學(xué)校會(huì)運(yùn)用的典型的教學(xué)方式，如一生一師教學(xué)法、和諧互助教學(xué)法、猜想探索教學(xué)法等。在小組活動(dòng)中，教師要重視學(xué)生主觀能動(dòng)性的發(fā)揮。和諧互動(dòng)教學(xué)法共有五個(gè)環(huán)節(jié)，包括交流預(yù)習(xí)、互助探究、分層提高、總結(jié)歸納、鞏固提高。猜想探索教學(xué)法主要立足于已有的知識(shí)，是對(duì)所要學(xué)的知識(shí)的猜想，然后綜合運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行探究。綜合以上來(lái)看，安教研員總結(jié)道，“我們的課堂形式有了很大的變化，教師對(duì)學(xué)生主體的認(rèn)知有了很大的變化”。

第二，開(kāi)展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，促進(jìn)教與學(xué)方式的轉(zhuǎn)變。安教研員認(rèn)為，要充分利用教學(xué)資源，引領(lǐng)學(xué)生慢慢感悟教學(xué)思想。在建?；顒?dòng)中，教師秉承北師大新世紀(jì)數(shù)學(xué)教材的新課程理念，提供大量的實(shí)際背景，逐步地滲透和引導(dǎo)學(xué)生不斷地感悟，使學(xué)生經(jīng)歷“問(wèn)題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，通過(guò)數(shù)學(xué)建模改善學(xué)習(xí)方式。比如，在教授“拋物線”這一課時(shí)，教師可以讓學(xué)生進(jìn)行小組合作制作所設(shè)計(jì)的橋梁模型，通過(guò)展示小組同學(xué)的繪圖作品，通過(guò)具體的情境設(shè)置，讓學(xué)生在繪圖過(guò)程中慢慢地感知拋物線的頂點(diǎn)等相關(guān)概念。另外，她也指出，教師要使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)建模活動(dòng)、數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽等形式，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想。

第三，注重信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，提升學(xué)習(xí)品質(zhì)。她認(rèn)為，信息技術(shù)與學(xué)科整合研究的目的是要充分發(fā)揮信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，逐步實(shí)現(xiàn)教育內(nèi)容的呈現(xiàn)方式、教師的教學(xué)方式、學(xué)生的學(xué)習(xí)方式和師生互動(dòng)方式的變革。她指出，基于技術(shù)所作的翻轉(zhuǎn)課堂的一些教學(xué)材料，把單純的知識(shí)講述變成對(duì)問(wèn)題的指導(dǎo)和解決，會(huì)使學(xué)生的學(xué)習(xí)方式發(fā)生很大的變化，很多學(xué)生在家時(shí)會(huì)利用電子書(shū)包按照其自身需要進(jìn)行學(xué)習(xí)。

第四，運(yùn)用多種評(píng)價(jià)方式，落實(shí)“雙基”。安教研員認(rèn)為，針對(duì)傳統(tǒng)評(píng)價(jià)方式的單一性和封閉性，我們采取開(kāi)卷、閉卷兩種形式進(jìn)行評(píng)價(jià)，在每一節(jié)課、每一周、每一個(gè)月都會(huì)進(jìn)行這樣的評(píng)價(jià)。一個(gè)分?jǐn)?shù)或等級(jí)所能反映出來(lái)的信息畢竟有限，但評(píng)語(yǔ)卻可以彌補(bǔ)評(píng)分的不足，對(duì)用分?jǐn)?shù)或等級(jí)難以反映的問(wèn)題，可以用評(píng)語(yǔ)來(lái)反映。因此，他們?yōu)檎鹿?jié)測(cè)驗(yàn)和期中、期末階段性評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)了開(kāi)放的評(píng)價(jià)結(jié)果——試卷成績(jī)（或等級(jí)）+卷后感悟+卷后100分，引導(dǎo)師生用發(fā)展的態(tài)度對(duì)待每一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的分?jǐn)?shù)或等級(jí)，給學(xué)生更多的機(jī)會(huì)。在實(shí)際運(yùn)用中，她表示對(duì)學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，卷后100分會(huì)極大地鼓舞他們學(xué)數(shù)學(xué)的興趣和熱情，有助于更好地落實(shí)“雙基”。與此同時(shí)，她指出還應(yīng)注意運(yùn)用多種評(píng)價(jià)形式對(duì)過(guò)程、思想方法、情感態(tài)度、價(jià)值觀等進(jìn)行評(píng)價(jià)，通過(guò)口試、動(dòng)手操作、設(shè)計(jì)題目、數(shù)學(xué)小論文、數(shù)學(xué)手抄報(bào)、成長(zhǎng)記錄等多種形式、多角度的檢測(cè)，全面地了解學(xué)生，給予有針對(duì)性的分析和指導(dǎo)，使學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力、實(shí)踐能力、思辨能力、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力得到有效的鍛煉與提高。

最后，安教研員發(fā)出感言，“忙碌伴隨著充實(shí)，汗水孕育了豐碩。今天，當(dāng)我們?cè)跉q月的從容中駐足回望，靜靜沉思，我們發(fā)現(xiàn)，欣喜和嘆惋已蔥蘢了我們?cè)?jīng)的旅程。我們不知道歲月還將對(duì)我們有哪些饋贈(zèng)，但我們堅(jiān)信：在穿行歲月的腳步中，我們將繼續(xù)堅(jiān)持進(jìn)行學(xué)生學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變的實(shí)踐與研究”。

很多教師會(huì)注意要轉(zhuǎn)變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生自主思考問(wèn)題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動(dòng)過(guò)程，而學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的這種內(nèi)化離不開(kāi)在數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)中習(xí)得的知識(shí)與能力。北京師范大學(xué)副教授郭玉峰就此問(wèn)題向大家作了報(bào)告。她指出，截止到2014年4月13日，關(guān)于數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的文獻(xiàn)檢索非常多，但對(duì)其內(nèi)涵界定、特征、分類(lèi)、實(shí)踐以及如何落實(shí)等方面有各種各樣的看法。她從數(shù)學(xué)活動(dòng)基本經(jīng)驗(yàn)最重要的一個(gè)方面，即為何在義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的問(wèn)題進(jìn)行系統(tǒng)深入的研究。那么，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)既然作為人類(lèi)文化發(fā)展經(jīng)驗(yàn)中的一種，是否能夠被傳承和改造呢？也就是說(shuō)甲的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是否可以傳承給乙，成為乙的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)?？?duì)這個(gè)問(wèn)題，她認(rèn)為講給學(xué)生聽(tīng)的數(shù)學(xué)在一定程度上不是他自己的數(shù)學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不能依靠傳遞的方式，必須經(jīng)過(guò)自己的探究思考形成自身內(nèi)化的數(shù)學(xué)。經(jīng)驗(yàn)與能力因帶有各自的個(gè)性色彩和特征，向來(lái)是教學(xué)研究中的一個(gè)熱點(diǎn)，那么經(jīng)驗(yàn)可否與能力一樣成為研究對(duì)象呢？她表示，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)同樣可以成為研究對(duì)象，也有外顯特征，從行為上講是形成一種習(xí)慣，從思維上講是形成一定的思維方式或思維模式。

郭玉峰副教授誠(chéng)懇地談道，誠(chéng)如大家所知的，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)包括實(shí)踐和思維經(jīng)驗(yàn)，并指出她將自己的研究限定在思維經(jīng)驗(yàn)方面。如何理解“基本”呢？從大的方面講，即是數(shù)學(xué)的歸納和演繹這兩種最基本的推理活動(dòng)。學(xué)生需要經(jīng)歷這兩種推理活動(dòng)，從中感悟數(shù)學(xué)概念、命題等，在逐步的歸納推理中得到某種猜想，進(jìn)而證明猜想的過(guò)程；從小的方面講，指在觀察聯(lián)想的基礎(chǔ)上，在多個(gè)特例的基礎(chǔ)上得到一般規(guī)律的猜想，或類(lèi)比不同的事物，發(fā)現(xiàn)某些共同特征，進(jìn)而提出猜想，對(duì)猜想不斷地調(diào)整，并試圖證明猜想。在此思維活動(dòng)過(guò)程中，我們可以獲得一定的經(jīng)驗(yàn)，長(zhǎng)期經(jīng)歷后沉淀形成一定的數(shù)學(xué)思維方式或思維模式，這是她研究界定的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?；谶@樣的前提，才有可能有操作性的定義，才有可能對(duì)學(xué)生的思考問(wèn)題方式進(jìn)行研究。

在這種界定下，她從水平、豎直兩個(gè)維度給出兩種研究的基本框架。水平維度是指數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)包含的具體層面或包含因子，分為觀察聯(lián)想、歸納猜想、表達(dá)、驗(yàn)證或證明。觀察聯(lián)想指的是觀察并聯(lián)想事物的共性、特性以及事物之間的關(guān)系，這是很多教師所欠缺的，歸納猜想指的是從特例中歸納出一半。此外，她指出還有類(lèi)比，即從兩類(lèi)不同的事物中得出相似性，得到另一類(lèi)事物的特征。猜想過(guò)后需要表達(dá)，借助口頭、符號(hào)、文字表達(dá)和歸納猜想的結(jié)論。以上即為水平維度的框架。豎直維度的指標(biāo)，即層次水平的假設(shè)，有三個(gè)假設(shè)，第一個(gè)層次水平為“模仿階段”，即沒(méi)有形成有效的思維方式，不能有意識(shí)地觀察和想象，也不會(huì)從特例入手探求規(guī)律和結(jié)論，只會(huì)模仿；第二個(gè)層次水平可定義為“性質(zhì)階段”，可以進(jìn)行一定的歸納推理，但并不深入，只是流于事物表面；第三個(gè)層次水平為“實(shí)質(zhì)階段”，學(xué)生可以進(jìn)行有目的的觀察，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，對(duì)歸納猜想的結(jié)論進(jìn)行推翻、驗(yàn)證或證明，由此及彼、觸類(lèi)旁通地展開(kāi)聯(lián)想。在這種操作性定義和量化指標(biāo)之下，她指出自己曾在2011年底對(duì)1 295名初中學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行考查，研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的水平現(xiàn)狀表現(xiàn)總體一般，這與2011年義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)所表述的“中國(guó)學(xué)生在基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的掌握做得較好，能力培養(yǎng)方面次之，經(jīng)驗(yàn)的培養(yǎng)和積累是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的”的結(jié)論相吻合?；诖耍J(rèn)為，初中學(xué)生的抽象水平還很有限，演繹推理不宜過(guò)早地接入，大跨度聯(lián)想應(yīng)是我們進(jìn)一步培養(yǎng)的目標(biāo)。她強(qiáng)調(diào)這種數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是形成學(xué)生一定判斷能力的基礎(chǔ)，也是學(xué)生學(xué)會(huì)一眼“看”出結(jié)果的基礎(chǔ)，更是學(xué)生實(shí)現(xiàn)未來(lái)大跨度聯(lián)想的基礎(chǔ)，但這一研究任務(wù)任重而道遠(yuǎn)，它的出現(xiàn)不是空穴來(lái)風(fēng)，是基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能等數(shù)學(xué)課程目標(biāo)發(fā)展到一定階段的產(chǎn)物，是時(shí)代的產(chǎn)物，需要進(jìn)一步的研究。

3.中國(guó)數(shù)學(xué)比較研究

數(shù)學(xué)這種極具抽象的學(xué)科怎樣才可以作為一種語(yǔ)言來(lái)表達(dá)？北京十一學(xué)校教師章巍給予了解答，他表示他的研究源于一次教研活動(dòng)中對(duì)一個(gè)問(wèn)題的討論，教研組教師在討論“如果題目不給出圖形，學(xué)生的理解是否會(huì)有偏差”這個(gè)問(wèn)題時(shí)爭(zhēng)執(zhí)不下，這讓他敏感地感知到，這不僅是去掉一個(gè)圖形的問(wèn)題，而是去掉一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言形式的問(wèn)題。那么，究竟哪種語(yǔ)言對(duì)學(xué)生的影響最強(qiáng)，強(qiáng)到什么程度，這些數(shù)據(jù)對(duì)教師今后的教學(xué)有什么作用，這些問(wèn)題構(gòu)成她研究的支撐點(diǎn)。章老師指出，無(wú)論用什么方式引導(dǎo)學(xué)生，都必須要讓學(xué)生獨(dú)立自主地去讀數(shù)學(xué)，閱讀實(shí)際上是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心環(huán)節(jié)，而數(shù)學(xué)閱讀與一般的文字閱讀不同。著名的數(shù)學(xué)家克萊因曾說(shuō)過(guò)，“數(shù)學(xué)語(yǔ)言是一種慎重的精心設(shè)計(jì)的有益的有很高的抽象性的語(yǔ)言”，認(rèn)為我們所理解的中小學(xué)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言一般分為三種形式，即文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言，而在描述一種數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)采用三種語(yǔ)言并行的方式。那么，如果我們只呈現(xiàn)一種或兩種語(yǔ)言，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)產(chǎn)生什么影響，每種語(yǔ)言在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起到的作用又是如何？他將被試群體選定為北京某中學(xué)八年級(jí)的學(xué)生，通過(guò)全區(qū)的調(diào)研成績(jī)，對(duì)學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行差異性分析，分成高、中、低三個(gè)組，選擇四個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象，對(duì)每一種對(duì)象用2～3種數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表達(dá)，排列組合后，構(gòu)成不同的測(cè)試卷。章老師回憶道，對(duì)“最距離”的定義方式，第一種是文字表達(dá)，第二種是借助數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)式，第三種是用圖形（線段長(zhǎng)度）來(lái)表達(dá)，三種方式的基本含義相同，提出的問(wèn)題也是相同的。研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言?xún)上啾葘?duì)時(shí)，學(xué)生更容易接受文字語(yǔ)言而不是符號(hào)語(yǔ)言，中、低等學(xué)生，特別是中等學(xué)生對(duì)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換的反應(yīng)最強(qiáng)烈；把文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言放在一起時(shí)，整體差異不是很大，只有在高分組的其中一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象表現(xiàn)出顯著差異；將符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言作整體分析時(shí)，發(fā)現(xiàn)差異明顯，學(xué)生對(duì)圖形語(yǔ)言的數(shù)學(xué)理解優(yōu)于對(duì)符號(hào)語(yǔ)言的，特別是在中、低等學(xué)生身上，受影響較為強(qiáng)烈。因此，她認(rèn)為，與我們正常的生活語(yǔ)言不同，數(shù)學(xué)文字作為語(yǔ)言方式傳遞時(shí)有特定的語(yǔ)言表達(dá)習(xí)慣，文字語(yǔ)言對(duì)學(xué)生有一定的影響，符號(hào)語(yǔ)言則是最難理解的語(yǔ)言形式，這是由符號(hào)的抽象性造成的。最后，章老師指出，圖形語(yǔ)言是最易理解的語(yǔ)言形式，幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)過(guò)程中都發(fā)揮著重要的作用。此外，他認(rèn)為教師應(yīng)該教給學(xué)生必要的數(shù)學(xué)閱讀方法，既要把握閱讀速度，又要體味編排意圖，充分地鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)。

如何看待中國(guó)與美國(guó)初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)任務(wù)特征的不同，北京師范大學(xué)博士研究生邵珍紅對(duì)課堂教學(xué)、高質(zhì)量教學(xué)以及課堂中的教學(xué)任務(wù)作了深入研究，并利用中、美兩國(guó)初中教學(xué)之間的差異，以期在這種知彼為己的研究方式中探究中、美兩國(guó)初中課堂數(shù)學(xué)的任務(wù)特征。她選取的研究對(duì)象包含中國(guó)2011—2012年5個(gè)城市學(xué)區(qū)109位教師的218節(jié)初中數(shù)學(xué)課以及美國(guó)2011年4個(gè)城市學(xué)區(qū)224節(jié)初中數(shù)學(xué)課，并選出中、美兩國(guó)各15節(jié)高質(zhì)量的數(shù)學(xué)課。她指出，本研究通過(guò)比較相對(duì)高質(zhì)量的中、美數(shù)學(xué)課堂中的數(shù)學(xué)任務(wù)，進(jìn)而探求以下一些問(wèn)題，如數(shù)學(xué)任務(wù)中“實(shí)際生活”背景知識(shí)的使用有何異同、數(shù)學(xué)任務(wù)的表現(xiàn)形式有何異同、數(shù)學(xué)任務(wù)的認(rèn)知水平有何異同……通過(guò)對(duì)比，她發(fā)現(xiàn)同樣是15節(jié)課，中國(guó)129個(gè)數(shù)學(xué)任務(wù)中有84%解決的是純數(shù)學(xué)問(wèn)題，僅有的解決實(shí)際生活的問(wèn)題大多起到新課引入的作用；而美國(guó)39個(gè)教學(xué)任務(wù)中大部分解決的都是實(shí)際生活問(wèn)題。在任務(wù)表現(xiàn)方面，邵珍紅強(qiáng)調(diào)，中國(guó)的聯(lián)系任務(wù)稍多于學(xué)習(xí)任務(wù)，而美國(guó)的學(xué)習(xí)任務(wù)占了60%，聯(lián)系任務(wù)僅占12.5%。關(guān)于中、美數(shù)學(xué)任務(wù)認(rèn)知水平的異同，數(shù)據(jù)顯示，中國(guó)占據(jù)較大比重的是“無(wú)聯(lián)系的程序型”類(lèi)任務(wù)，其次為“聯(lián)系的程序型”類(lèi)任務(wù)；美國(guó)占較大比重的是“做數(shù)學(xué)”，其次為“聯(lián)系的程序型”類(lèi)任務(wù)，可以看出中、美兩國(guó)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)任務(wù)均是高認(rèn)知水平的數(shù)學(xué)任務(wù)占多數(shù)。在這里，她強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)任務(wù)特征之間存在差異是很正常的，這個(gè)研究只是實(shí)然地反映了客觀事實(shí)，并未斷定孰是孰非、孰優(yōu)孰劣。她認(rèn)為，即便如此，中國(guó)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究如能了解國(guó)際、立足本土、不斷完善，便更能提高課堂教學(xué)的質(zhì)量。

4.數(shù)學(xué)教師觀念變化的調(diào)查研究

義務(wù)教育課程從20世紀(jì)末、21世紀(jì)初開(kāi)始醞釀，2001年開(kāi)始試點(diǎn)，一直到2003年數(shù)學(xué)課程改革才在全國(guó)范圍內(nèi)鋪開(kāi)，10多年來(lái)課程改革到底給我們的數(shù)學(xué)教育帶來(lái)了怎樣的變化，這是值得我們深入反思的。重慶師范大學(xué)副教授童莉以此為切入點(diǎn)，對(duì)課改10多年來(lái)初中數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)觀念的變化作了調(diào)查研究。她解釋說(shuō)，“我最終選擇回歸課堂角度，是因?yàn)榻處煹恼n堂教學(xué)觀念是一個(gè)十分重要的視角，從中可以窺見(jiàn)教學(xué)課程的理念如何落實(shí)、學(xué)生如何反饋”。她的研究范圍主要包括以下幾個(gè)問(wèn)題，如數(shù)學(xué)課改前初中數(shù)學(xué)教師有著怎樣的課堂教學(xué)觀？課改10年后初中數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)觀念有了什么變化？對(duì)比課改前后，初中數(shù)學(xué)教師的課堂教學(xué)觀念發(fā)生了怎樣的變化？基于這樣的研究，她及她的團(tuán)隊(duì)選擇問(wèn)卷調(diào)查法與課堂觀察法進(jìn)行研究，今天主要跟大家交流的是問(wèn)卷調(diào)查法，即以問(wèn)卷形式對(duì)比10年課改前后數(shù)學(xué)教師的課堂教學(xué)觀念的變化，選擇經(jīng)歷10年課程改革的重慶市初中數(shù)學(xué)教師，共210位，男女比例基本一致。她認(rèn)為，課堂是教育情境中的師生與環(huán)境（教室及其中的設(shè)施）互動(dòng)而構(gòu)成的基本系統(tǒng)。而課堂教學(xué)生態(tài)系統(tǒng)，就是在一定的教學(xué)時(shí)空內(nèi)，由教室中的教師、學(xué)生與其教學(xué)環(huán)境之間相互作用、相互影響而構(gòu)成的動(dòng)態(tài)開(kāi)放的系統(tǒng)。在這個(gè)體系中，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)觀念是數(shù)學(xué)教師對(duì)課堂教學(xué)生態(tài)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)教師思考數(shù)學(xué)課堂教學(xué)問(wèn)題所獲得的結(jié)果，包括數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的認(rèn)識(shí)及其思維方式，也包括數(shù)學(xué)教師認(rèn)為應(yīng)該“如何教學(xué)”的價(jià)值和選擇結(jié)果。通過(guò)問(wèn)卷的調(diào)查數(shù)據(jù)，我們可以看出77.5%的初中數(shù)學(xué)教師認(rèn)為自己的課堂教學(xué)觀念發(fā)生了很多或較大的變化，其中新課程改革對(duì)數(shù)學(xué)教師的師生觀和教學(xué)觀的影響巨大，而對(duì)教師的課程觀、評(píng)價(jià)觀和環(huán)境觀的影響相對(duì)來(lái)說(shuō)要稍小一些。

三、10—12年級(jí)數(shù)學(xué)課程的實(shí)踐與反思

1.有關(guān)課程實(shí)施和課程標(biāo)準(zhǔn)的研究

課程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫(xiě)、教學(xué)、評(píng)估和考試命題的依據(jù)，體現(xiàn)國(guó)家對(duì)不同階段的學(xué)生在知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀等方面的基本要求。西北師范大學(xué)教授呂世虎、中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)特級(jí)教師周建華、北京師范大學(xué)教授曹一鳴與在讀博士生嚴(yán)虹、首都師范大學(xué)教授王尚志、常州市科學(xué)教育研究院教研員孫福明等圍繞高中新課程實(shí)施、課程標(biāo)準(zhǔn)以及新課標(biāo)之下的數(shù)學(xué)教材發(fā)表了他們各自的看法。

高中數(shù)學(xué)新課程已經(jīng)實(shí)施10年，高中數(shù)學(xué)新課程教與學(xué)的現(xiàn)狀如何，教師和學(xué)生有哪些變化？針對(duì)這些問(wèn)題，呂教授對(duì)我國(guó)高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)的實(shí)施現(xiàn)狀進(jìn)行調(diào)查研究，并與之前的相關(guān)研究進(jìn)行比較，旨在積累新課標(biāo)實(shí)施的過(guò)程性研究資料，為高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)的修訂和完善提供借鑒。他的研究主要選擇13個(gè)省、自治區(qū)、市的446位教師和5 685位學(xué)生，從八個(gè)維度對(duì)他們進(jìn)行教師和學(xué)生的問(wèn)卷考查，并進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，與2001年的研究結(jié)果相比照，指出高中數(shù)學(xué)新課程實(shí)施以來(lái)，教師的教學(xué)方式在很大程度上已經(jīng)由傳統(tǒng)的“以講授為主”逐漸轉(zhuǎn)變成“師生共同探究”和“小組合作”等多元化的方式。綜合來(lái)看，他認(rèn)為高中數(shù)學(xué)新課程倡導(dǎo)的目標(biāo)多數(shù)的實(shí)現(xiàn)情況較好，師生對(duì)數(shù)學(xué)新教材的整體評(píng)價(jià)較好，但高中數(shù)學(xué)課程的選擇性并沒(méi)有得到很好的落實(shí)，教材容量和習(xí)題數(shù)量及難度需要調(diào)整。雖然教師的教學(xué)方式發(fā)生了積極的轉(zhuǎn)變，但教師給學(xué)生自主學(xué)習(xí)的空間仍然不足，評(píng)價(jià)仍受考試制約，評(píng)價(jià)體制需要進(jìn)一步完善，實(shí)現(xiàn)多元評(píng)價(jià)等。此外，他也指出當(dāng)前學(xué)生的負(fù)擔(dān)依然較重，要實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的多樣化，增加教師培訓(xùn)的機(jī)會(huì)。

必修課與選修課相結(jié)合是課程改革的重要思想，也是課程標(biāo)準(zhǔn)的重要要求。特級(jí)教師周建華指出，大多數(shù)教師開(kāi)設(shè)選修課是因?yàn)閷W(xué)校的任務(wù)驅(qū)動(dòng)，但實(shí)際上選修課的教學(xué)價(jià)值體現(xiàn)為提升學(xué)生思維邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高教師自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，拓展學(xué)生的知識(shí)面，增強(qiáng)他們的邏輯推理能力，加強(qiáng)優(yōu)化意識(shí)，培養(yǎng)自主探究學(xué)習(xí)。同時(shí)，他表示開(kāi)設(shè)選修課的困難在于數(shù)學(xué)課時(shí)緊、任務(wù)重，導(dǎo)致教師教授進(jìn)度快，而且教材缺失，資料有限，難度大，又不是高考的內(nèi)容，這些都直接導(dǎo)致了學(xué)生缺少學(xué)習(xí)選修課的動(dòng)力。在開(kāi)設(shè)選修課的收獲方面，他認(rèn)為教師的最大收獲在于可以豐富自身的知識(shí)，使得知識(shí)系統(tǒng)化，加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解，拓展視野，促進(jìn)教師合作，更好地發(fā)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)潛力，提升學(xué)科素質(zhì)。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，選修課對(duì)提升他們的自主學(xué)習(xí)能力起著非常大的作用，可以培養(yǎng)他們獨(dú)立思考、研究問(wèn)題、組織問(wèn)題的能力。另外，不少教師會(huì)采用新的教學(xué)方法開(kāi)設(shè)選修課，如采用小組合作討論的形式，每節(jié)課讓小組圍繞一個(gè)主題匯報(bào)和互相提問(wèn)。此外，他指出，一些教師認(rèn)為開(kāi)設(shè)選修課有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，補(bǔ)充必修課程探索與研究中的相關(guān)問(wèn)題，拓展數(shù)學(xué)視野，在學(xué)習(xí)形式和相關(guān)知識(shí)與方法上有促進(jìn)的作用。但部分教師也認(rèn)為，要想提高選修課的教學(xué)質(zhì)量，應(yīng)該適當(dāng)?shù)卦黾舆x修課的課時(shí)，給教師充足的備課時(shí)間，出版校本教材，盡可能地進(jìn)行分層教學(xué)，在教學(xué)中多選一些有實(shí)際背景且有一定趣味的問(wèn)題。

嚴(yán)虹在回顧了20世紀(jì)80年代后期以來(lái)的基礎(chǔ)教育改革之后，認(rèn)為課程標(biāo)準(zhǔn)或教育標(biāo)準(zhǔn)被放置在突出的位置上，“標(biāo)準(zhǔn)”一詞一時(shí)間成了基礎(chǔ)教育改革，尤其是課程改革的關(guān)鍵詞，并指出她和曹一鳴教授的研究基于包括我國(guó)在內(nèi)的遍及5大洲12個(gè)國(guó)家現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)文本，對(duì)高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容分布從知識(shí)領(lǐng)域、單元領(lǐng)域、知識(shí)主題三個(gè)層面進(jìn)行比較研究。基于知識(shí)領(lǐng)域內(nèi)容、單元領(lǐng)域、知識(shí)主題分布的比較研究和分析，她認(rèn)為，從內(nèi)容條目數(shù)量來(lái)看，我國(guó)僅在“微積分”領(lǐng)域低于12個(gè)國(guó)家的平均水平，其他領(lǐng)域均高于平均水平，其中“其他”的內(nèi)容條目是平均水平的2倍。從內(nèi)容條目比重來(lái)看，我國(guó)在內(nèi)容條目比重中，其中“圖形與幾何”、“統(tǒng)計(jì)與概率”與平均水平相當(dāng)，在“數(shù)與代數(shù)”、“微積分”上略低于平均水平，在“其他”中比平均水平高出較多。從知識(shí)領(lǐng)域分布內(nèi)容來(lái)看，我國(guó)的數(shù)學(xué)課程整體上分布比較合理。從知識(shí)單元內(nèi)容分布來(lái)看，我國(guó)數(shù)學(xué)課程較為重視“函數(shù)”、“解析幾何”、“統(tǒng)計(jì)”等內(nèi)容，也比較重視“算法初步”、“集合”、“基本邏輯用語(yǔ)”、“向量”、“推理與證明”等工具性數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)容。從知識(shí)主題內(nèi)容的分布來(lái)看，我國(guó)數(shù)學(xué)課程重視“數(shù)學(xué)文化”的滲透及工具性知識(shí)的學(xué)習(xí)。

“立德樹(shù)人”工程主要圍繞培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人這一核心，統(tǒng)籌推進(jìn)好學(xué)校的品德、語(yǔ)文、歷史、藝術(shù)、體育五個(gè)學(xué)科，科學(xué)設(shè)置好小學(xué)、初中、高中、本專(zhuān)科、研究生五個(gè)階段，統(tǒng)籌運(yùn)用好教育專(zhuān)家、管理干部、教研人員、一線教師、社會(huì)力量五個(gè)資源，統(tǒng)籌利用好課堂、校園、社團(tuán)、家庭、社會(huì)五個(gè)陣地。王尚志教授的研究即源于此，他認(rèn)為課程是落實(shí)這個(gè)舉措的主要載體，高中課程標(biāo)準(zhǔn)是近期的突破口，并指出他的研究背景基于下列四個(gè)方面，一是21世紀(jì)中國(guó)學(xué)生應(yīng)具備的核心素養(yǎng)是修訂課標(biāo)的基礎(chǔ)，二是考試與課時(shí)的脫節(jié)以及誰(shuí)決定誰(shuí)的問(wèn)題，三是數(shù)學(xué)課程應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育的作用及特點(diǎn)，四是學(xué)生、教育、教學(xué)是構(gòu)成數(shù)學(xué)課程的三個(gè)基點(diǎn)。此外，他認(rèn)為《成功的基礎(chǔ)》（美國(guó)總統(tǒng)數(shù)學(xué)顧問(wèn)委員會(huì)報(bào)告）表明，引導(dǎo)社會(huì)發(fā)展需要數(shù)學(xué)能力，數(shù)學(xué)能力將會(huì)給國(guó)家在醫(yī)學(xué)健康、技術(shù)商業(yè)、航行太空、防御金融等方面帶來(lái)發(fā)展優(yōu)勢(shì)，而數(shù)學(xué)教育也會(huì)在個(gè)人的發(fā)展中起到十分重要的作用，在與數(shù)學(xué)有密切聯(lián)系的科學(xué)和工程方面，勞動(dòng)力需求的增長(zhǎng)速度和總的職業(yè)需求增長(zhǎng)速度相比的比值為3：1。但借R.柯朗的話，他指出，今天數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)地位陷入了嚴(yán)重的危機(jī)，數(shù)學(xué)教學(xué)有時(shí)也變成了空洞的解題訓(xùn)練，而不能導(dǎo)入真正的理解與深入的獨(dú)立思考，過(guò)分專(zhuān)門(mén)化和強(qiáng)調(diào)抽象的趨勢(shì)忽視了數(shù)學(xué)應(yīng)用與其他領(lǐng)域的聯(lián)系，而數(shù)學(xué)學(xué)科不是一系列的技巧，技巧不能代表數(shù)學(xué)?；诖耍踅淌谥赋?，解決數(shù)學(xué)教育問(wèn)題是個(gè)系統(tǒng)工程，需要跳出數(shù)學(xué)教育的圈子來(lái)解決數(shù)學(xué)教育的問(wèn)題?！秶?guó)家中長(zhǎng)期教育改革與發(fā)展規(guī)劃綱要（2010-2020年）》指出，創(chuàng)造條件開(kāi)設(shè)豐富多彩的選修課，提高課程的選擇性，促進(jìn)學(xué)生全面而有個(gè)性的發(fā)展。那么，高中數(shù)學(xué)課程怎樣才能在國(guó)家課程、地方課程與校本課程中體現(xiàn)出選擇性？他認(rèn)為，不同的專(zhuān)業(yè)方向需要不同的數(shù)學(xué)，選擇性應(yīng)是此次高中課程改革的核心，但也要關(guān)注整體性的問(wèn)題。他指出，這種整體性主要是高中課程結(jié)構(gòu)與內(nèi)容的整體與關(guān)聯(lián)、高中數(shù)學(xué)課程與其他課程的聯(lián)系、高中數(shù)學(xué)課程與義務(wù)數(shù)學(xué)課程的關(guān)系……基于此，我們對(duì)模塊的稱(chēng)呼應(yīng)該有所變化，以便與課程內(nèi)容掛鉤，如可以用“變量與函數(shù)”、“向量與代數(shù)”這樣的模塊名稱(chēng)。對(duì)校本課程，王教授建議，可以分為分析類(lèi)課程、代數(shù)類(lèi)課程、幾何類(lèi)課程、統(tǒng)計(jì)概率類(lèi)課程、應(yīng)用類(lèi)課程、離散數(shù)學(xué)類(lèi)課程、數(shù)學(xué)文化類(lèi)課程等。對(duì)大學(xué)非數(shù)學(xué)系的數(shù)學(xué)課程，他認(rèn)為應(yīng)該突出主線，按照數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容進(jìn)行“微積分與微分方程”、“線性代數(shù)”等類(lèi)別劃分。隨后，王教授又點(diǎn)明說(shuō)我們需要研究國(guó)際比較、歷史沿革，確定數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)原則等一系列內(nèi)容，并且認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力包括通識(shí)能力、抽象概括能力、推理能力、建模能力在內(nèi)的數(shù)學(xué)基本能力和高中學(xué)段的基本能力。

伴隨新課程改革，問(wèn)題引領(lǐng)課堂教學(xué)成為提高課堂教學(xué)效率的不二選擇。孫福明教研員引用孔子“開(kāi)而弗達(dá)”的教育思想以及弗賴(lài)登塔爾強(qiáng)調(diào)的“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一方法是實(shí)行‘再創(chuàng)造”引出“問(wèn)題”的重要性，表明“問(wèn)題”是教師引導(dǎo)和幫助的載體，是學(xué)生再創(chuàng)造的材料和臺(tái)階。那么，什么是問(wèn)題引領(lǐng)課堂呢？孫教研員指出，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)的若干要求，圍繞核心問(wèn)題，設(shè)計(jì)若干個(gè)有邏輯關(guān)聯(lián)、有層次梯度的子問(wèn)題組成的系列問(wèn)題，作為教學(xué)活動(dòng)的主要方式，變成課堂互動(dòng)的材料。他指出，教材呈現(xiàn)的是固化的知識(shí)形態(tài)，教師要把內(nèi)隱在結(jié)果中的研究動(dòng)機(jī)還原成研究問(wèn)題，把內(nèi)隱在結(jié)果知識(shí)中的研究方法還原成認(rèn)知工具，把靜態(tài)的結(jié)果還原成動(dòng)態(tài)的思考過(guò)程，以問(wèn)題鏈接展示問(wèn)題及問(wèn)題解決背后蘊(yùn)含的思維價(jià)值，引發(fā)學(xué)生感悟知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程中的方法與思想。此外，他還進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)，倘若教師能將課標(biāo)規(guī)定的知識(shí)體系轉(zhuǎn)換為連續(xù)的問(wèn)題鏈，就能使教學(xué)過(guò)程成為循序漸進(jìn)、邏輯建構(gòu)的認(rèn)知途徑，使教學(xué)活動(dòng)成為圍繞問(wèn)題解決的一種能動(dòng)性的主題建構(gòu)活動(dòng)。20世紀(jì)80年代流行的建構(gòu)主義的四大要求，即情境、協(xié)作、會(huì)話、意義建構(gòu)都離不開(kāi)問(wèn)題的線索、橋梁、支撐、助推作用。問(wèn)題產(chǎn)生矛盾，問(wèn)題讓學(xué)生積極反思、改善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促使已有圖式的擴(kuò)展和更新。對(duì)于問(wèn)題鏈的形式，他認(rèn)為可以分為兩種類(lèi)型，一類(lèi)是指問(wèn)題鏈在思維序列上依次加深，環(huán)環(huán)緊扣，推動(dòng)學(xué)生思維不斷爬坡的遞進(jìn)式，另一類(lèi)是指問(wèn)題鏈在邏輯關(guān)系上并列的并列式。以“拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程”這一問(wèn)題為例，他向大家解釋了如何按照“喚醒、關(guān)聯(lián)、誘思、明題、提升”等五大方面層層設(shè)問(wèn)，并給出設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈條的幾條原則。第一，要思考教學(xué)問(wèn)題中有哪些是牽一發(fā)而動(dòng)全身、最能體現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)或概念本質(zhì)的問(wèn)題，如動(dòng)機(jī)性問(wèn)題、模塊性問(wèn)題。第二，要圍繞核心問(wèn)題設(shè)計(jì)問(wèn)題鏈，以核心問(wèn)題為主線，子問(wèn)題要圍繞核心問(wèn)題順勢(shì)展開(kāi)，螺旋上升。這就要求我們要合理地選擇節(jié)點(diǎn)，盡可能地在最有價(jià)值的環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)問(wèn)題，確定的子問(wèn)題之間的邏輯關(guān)系要盡可能地貼近學(xué)生的思維區(qū)間，確保難度梯度在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。第三，問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)應(yīng)體現(xiàn)育人理念，為學(xué)生服務(wù)，針對(duì)學(xué)生的障礙點(diǎn)，指向?qū)W生的發(fā)展點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和提出問(wèn)題的思維習(xí)慣。最后，他強(qiáng)調(diào)在反思問(wèn)題引領(lǐng)課堂的研究過(guò)程后，教師要科學(xué)地確定問(wèn)題鏈的核心，統(tǒng)籌確立問(wèn)題鏈的節(jié)點(diǎn)，有效地控制問(wèn)題鏈的難度，以及合理地設(shè)置問(wèn)題鏈的臺(tái)階。

2.中國(guó)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

由于黨的教育方針的貫徹執(zhí)行、素質(zhì)教育的落實(shí)、中國(guó)國(guó)際競(jìng)爭(zhēng)力的提升，核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)研究被日益重視起來(lái)。那么，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的研究有何必要性？華南師范大學(xué)教授何小亞認(rèn)為，雖然數(shù)學(xué)新課程改革已實(shí)施10余年，但“知識(shí)+解題能力”的應(yīng)試教育依然大行其道，素質(zhì)教育仍然沒(méi)有得到真正的落實(shí)。何教授認(rèn)為素質(zhì)教育缺失的原因主要是因?yàn)槲覀儠?huì)把筆試成績(jī)作為評(píng)價(jià)學(xué)生、教師、校長(zhǎng)、局長(zhǎng)能力的唯一標(biāo)準(zhǔn)，而且在數(shù)學(xué)課程與數(shù)學(xué)教學(xué)中缺失數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在課程標(biāo)準(zhǔn)及其解讀中并不對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵、要素和要求進(jìn)行界定。此外，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂需要數(shù)學(xué)素養(yǎng)頂層設(shè)計(jì)方面的指導(dǎo)。何教授指出，可以利用文獻(xiàn)分析和系統(tǒng)分析的方法對(duì)國(guó)內(nèi)外有關(guān)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的研究進(jìn)行梳理，回答什么是數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)由哪些要素組成、中國(guó)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的具體要求有哪些類(lèi)別等問(wèn)題。他認(rèn)為，文獻(xiàn)收集主要基于兩條線索，一是基于學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)研究，二是基于學(xué)校培養(yǎng)未來(lái)公民的數(shù)學(xué)素養(yǎng)研究。

何謂“素養(yǎng)”？“素質(zhì)”既有先天的條件，又有后天的養(yǎng)成；而“素養(yǎng)”則只是后天學(xué)習(xí)獲得的結(jié)果，即“素質(zhì)”包含“素養(yǎng)”。不僅如此，何教授還表示，國(guó)內(nèi)對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的界定與分類(lèi)有幾種，一是由素養(yǎng)（素質(zhì)）的概念出發(fā)，演繹出“素養(yǎng)（或素質(zhì)）+數(shù)學(xué)教育術(shù)語(yǔ)”式的定義，二是考慮數(shù)學(xué)學(xué)科的特殊性，表現(xiàn)為“知識(shí)”取向的數(shù)學(xué)素養(yǎng)觀、“知識(shí)+能力”取向的數(shù)學(xué)素養(yǎng)觀、“多維度”取向的數(shù)學(xué)素養(yǎng)觀。國(guó)外學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)內(nèi)涵的界定有哪些呢？何教授表示他們會(huì)給出一些相關(guān)的術(shù)語(yǔ)，主要有Numerate、Numeracy（數(shù)字計(jì)算），Literacy（知識(shí)能力：讀、寫(xiě)、算），Quantitative Literacy（數(shù)量方面的知識(shí)能力），Mathematical Literacy（數(shù)學(xué)知識(shí)能力）等。對(duì)“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的解釋?zhuān)煌瑫r(shí)期有所不同，即使在同一時(shí)期，不同的國(guó)家與組織機(jī)構(gòu)、不同學(xué)者的理解也是不同的。何教授指出，國(guó)內(nèi)有關(guān)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的研究可以分為三個(gè)階段：第一階段，20世紀(jì)70年代末以前，并沒(méi)有提出“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”這一名詞，只是討論與數(shù)學(xué)素養(yǎng)相關(guān)的問(wèn)題，如“雙基”、三大能力培養(yǎng)；第二階段，20世紀(jì)70年代到1983年以前，使用“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的名詞，但沒(méi)有給出明確的定義；第三階段，1983年以后，國(guó)內(nèi)將“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”作為一個(gè)研究對(duì)象，直接討論“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的含義。此外，何教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)素養(yǎng)還應(yīng)分為不同的層次水平，包括數(shù)學(xué)過(guò)程與方法層次以及數(shù)學(xué)情感態(tài)度價(jià)值觀層次，前者是通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，把握數(shù)學(xué)思想方法，形成數(shù)學(xué)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)意識(shí)，提高問(wèn)題解決能力，積累教學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；后者則是指?jìng)€(gè)體對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科、數(shù)學(xué)活動(dòng)、數(shù)學(xué)對(duì)象的興趣愛(ài)好、立場(chǎng)觀念等心理傾向。

3.教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的調(diào)查研究

關(guān)于教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的問(wèn)題似乎已經(jīng)數(shù)見(jiàn)不鮮，香港大學(xué)博士研究生魯小莉另辟蹊徑，從師徒制的角度對(duì)上海高中數(shù)學(xué)新教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展問(wèn)題作了調(diào)查研究。她首先闡釋了教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的定義，認(rèn)為是教師在情境中的學(xué)習(xí)過(guò)程，并總結(jié)了其他研究者探索出的影響教師情境學(xué)習(xí)的各種因素，認(rèn)為教師的情境學(xué)習(xí)可以從認(rèn)知、建構(gòu)主義、情境三個(gè)研究視角來(lái)切入。因此，她基于教師信念、教師知識(shí)、教師實(shí)踐來(lái)刻畫(huà)教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展，那么高中數(shù)學(xué)教師職初兩年會(huì)在教師專(zhuān)業(yè)上獲得哪些發(fā)展，師徒制在新教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展過(guò)程中的作用是什么，有哪些其他因素會(huì)影響新教師的專(zhuān)業(yè)發(fā)展，這是她帶給我們的問(wèn)題。之后，她指出她以以學(xué)校、教師為單位的嵌入式案例研究和相關(guān)文件、半結(jié)構(gòu)式訪談、觀察等作為數(shù)據(jù)資源，并將上海作為抽樣地點(diǎn)，選擇不同區(qū)的重點(diǎn)高中以及高中新數(shù)學(xué)教師作為研究對(duì)象，她解釋說(shuō)這是為了保證研究具備強(qiáng)大的師資力量、良好的教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展環(huán)境以及豐富的背景資源。經(jīng)過(guò)研究，她發(fā)現(xiàn)不同的學(xué)校以不同的形式實(shí)施師徒制，不同教育背景的新教師的教師信念、教師知識(shí)以及教學(xué)實(shí)踐等都會(huì)表現(xiàn)出不同的特點(diǎn)。最后，她希望所作的研究對(duì)教師學(xué)習(xí)理論、教師學(xué)習(xí)與社會(huì)文化因素之間的關(guān)系有一些理論指導(dǎo)的意義，在教師教育、新教師學(xué)習(xí)、指導(dǎo)教師工作與學(xué)習(xí)方面具有實(shí)踐指導(dǎo)的意義。

4.高中數(shù)學(xué)教材試驗(yàn)研究

深受常州市科學(xué)教育研究院教研員孫福明的思想影響，人民教育出版社主任編輯俞求是向大家闡述了高中數(shù)學(xué)教材的試驗(yàn)研究，著重強(qiáng)調(diào)在新的課程標(biāo)準(zhǔn)下高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的順序問(wèn)題。他回顧了高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材在試驗(yàn)期間亟須解決的一些問(wèn)題，如必修模塊的教學(xué)順序問(wèn)題，模塊化教材的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，映射、函數(shù)、反函數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，立體幾何的結(jié)構(gòu)與教學(xué)要求問(wèn)題，極限概念與微積分初步的教學(xué)問(wèn)題，初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)的銜接問(wèn)題，內(nèi)容多、課時(shí)緊的矛盾以及內(nèi)容體系的其他問(wèn)題，指出強(qiáng)調(diào)概述已有的研究，并對(duì)這些問(wèn)題作進(jìn)一步的研究和分析是他進(jìn)行試驗(yàn)探究的初衷。他要在概述當(dāng)前部分教材試驗(yàn)中存在的問(wèn)題中，對(duì)這些問(wèn)題給予進(jìn)一步的分析，提出解決問(wèn)題的對(duì)策，以期對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)、實(shí)驗(yàn)教科書(shū)的修訂和完善有所啟示。

有關(guān)必修模塊的教學(xué)順序問(wèn)題，他指出，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》對(duì)必修的5個(gè)模塊的教學(xué)順序沒(méi)有作出明確的規(guī)定，但這是高中數(shù)學(xué)教材試驗(yàn)期間必須要研究確定的問(wèn)題，而且在教材試驗(yàn)中也出現(xiàn)了一些突出的問(wèn)題，如某些地區(qū)連續(xù)三年按照不同的模塊順序進(jìn)行教學(xué)，教師普遍認(rèn)為不好把握這些模塊的順序。江蘇省常州市教育局教研室教研員孫福明也指出，按照常規(guī)的理解，教材必修1～5的模塊應(yīng)是有順序的，而且這種順序應(yīng)該體現(xiàn)編者的整體意圖和編者對(duì)高中數(shù)學(xué)的整體認(rèn)識(shí)，但課程標(biāo)準(zhǔn)制定組提出以數(shù)學(xué)模塊1為基礎(chǔ)，其余4個(gè)模塊在不影響相關(guān)聯(lián)系和知識(shí)儲(chǔ)備的條件下，學(xué)校可以根據(jù)學(xué)生的選擇和本校的具體情況進(jìn)行安排，原則上沒(méi)有順序要求，而且縱觀各地的教學(xué)秩序，幾乎都回歸到老教材原有的以學(xué)科體系為主的順序，例如有些地方的教學(xué)順序是必修14523，有些地方是必修15423等。他還表示說(shuō)，在教材體系方面，知識(shí)塊的前后位置不盡妥當(dāng)，這會(huì)給教學(xué)帶來(lái)不便，如三角知識(shí)安排在必修4及必修5中講授，但必修2的立體幾何及平面解析幾何中都會(huì)用到三角知識(shí)，這就造成立體幾何中對(duì)一般三角形的計(jì)算不能進(jìn)行，而且高一物理學(xué)科也必須用三角知識(shí)。對(duì)此，俞求是闡述道，為了解決5個(gè)必修模塊的教學(xué)順序問(wèn)題，許多教師也作了深入的研究，回顧數(shù)學(xué)1到5的必修模塊的相關(guān)內(nèi)容，認(rèn)為這5個(gè)模塊比較好的順序?yàn)?4523，同時(shí)，他認(rèn)為這一教學(xué)順序也有一個(gè)突出的問(wèn)題，即課程標(biāo)準(zhǔn)提出的將算法思想貫穿于整個(gè)課程中的設(shè)想不能很好的落實(shí)，應(yīng)在后續(xù)的教學(xué)中加以彌補(bǔ)。鑒于此，他認(rèn)為，可調(diào)整必修2和必修3的順序，按照必修數(shù)學(xué)14532的順序進(jìn)行教學(xué)，也可考慮把算法的基本內(nèi)容提前教學(xué)來(lái)解決此問(wèn)題。

除模塊順序的選擇問(wèn)題外，俞求是指出，教師還對(duì)改變高中課程模塊化設(shè)置和調(diào)整教學(xué)內(nèi)容的安排體系提出了意見(jiàn)。模塊教學(xué)難以使青年教師系統(tǒng)、整體、有一定高度地把握教材，客觀上會(huì)影響青年教師的培養(yǎng)，同時(shí)模塊教學(xué)會(huì)關(guān)注一般學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，但也會(huì)影響優(yōu)秀學(xué)生對(duì)知識(shí)深刻與系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)和理解。孫福明教研員也如此認(rèn)為。廣東省深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校教師謝增生也曾表示，高中教材亟待解決的一個(gè)問(wèn)題是模塊教學(xué)與知識(shí)體系的問(wèn)題，模塊教學(xué)要求小步走，螺旋式上升，這種做法會(huì)使知識(shí)體系被打亂，一種知識(shí)被分成幾個(gè)不同的部分，分散于不同的模塊，導(dǎo)致跳躍式地教授知識(shí)，也會(huì)使許多工具性的內(nèi)容或后置或刪除。對(duì)此，俞求是認(rèn)為由于一個(gè)模塊的課時(shí)限制會(huì)導(dǎo)致教材內(nèi)容與結(jié)構(gòu)的邏輯性大大降低，從而影響教和學(xué)，他猜測(cè)如果進(jìn)一步把模塊課時(shí)統(tǒng)一減少，會(huì)對(duì)教材內(nèi)容的安排增加更多的困難，影響教材內(nèi)容的系統(tǒng)性和邏輯性。

映射、函數(shù)、反函數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這是俞求是認(rèn)為的當(dāng)前教材存在的第三個(gè)問(wèn)題。映射和函數(shù)的安排順序、反函數(shù)概念的數(shù)學(xué)要求問(wèn)題是高中新數(shù)學(xué)課程教學(xué)研究和討論較多的兩個(gè)問(wèn)題。安徽省蕭縣教育局教研室的吳仲奇指出，經(jīng)過(guò)對(duì)比試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，“函數(shù)”與“映射”這兩個(gè)概念的邏輯順序與學(xué)生接受這兩個(gè)概念的難易順序并不一致。另外，對(duì)“函數(shù)”概念，新教材上給出的就是“映射”觀點(diǎn)下的定義，從這個(gè)角度看，教師應(yīng)先講授“映射”的概念為宜。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，因?yàn)椴荒苤渌匀?，其學(xué)習(xí)興趣明顯不高。與此同時(shí)，新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)合情推理與演繹推理相結(jié)合，對(duì)直線和平面平行、平面和平面平行等判定定理的處理僅僅通過(guò)操作確認(rèn)而不加以證明，俞求是對(duì)這一點(diǎn)不敢茍同，他認(rèn)為合情推理只是確認(rèn)得到結(jié)論成立的一種猜測(cè)，結(jié)論的正確性與否還有待嚴(yán)格的證明。

針對(duì)1—6年級(jí)、7—9年級(jí)、10—12年級(jí)的數(shù)學(xué)課程實(shí)踐，圍繞數(shù)學(xué)課程對(duì)發(fā)展公民核心素養(yǎng)的責(zé)任與貢獻(xiàn)、學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)與規(guī)律、數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的選擇與呈現(xiàn)、數(shù)學(xué)課程教學(xué)的過(guò)去與現(xiàn)在等問(wèn)題，眾多的數(shù)學(xué)教育工作者與數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了深入的對(duì)話與交流，對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)課程的實(shí)施、數(shù)學(xué)教育的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)與反思，這一任務(wù)重大而艱巨，但在這么多的數(shù)學(xué)教育者的努力下，一定會(huì)將我國(guó)的數(shù)學(xué)教育做得越來(lái)越好。

（作者單位：北京師范大學(xué)歷史學(xué)院）

（責(zé)任編輯：孫建輝）

4.高中數(shù)學(xué)教材試驗(yàn)研究

深受常州市科學(xué)教育研究院教研員孫福明的思想影響，人民教育出版社主任編輯俞求是向大家闡述了高中數(shù)學(xué)教材的試驗(yàn)研究，著重強(qiáng)調(diào)在新的課程標(biāo)準(zhǔn)下高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的順序問(wèn)題。他回顧了高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材在試驗(yàn)期間亟須解決的一些問(wèn)題，如必修模塊的教學(xué)順序問(wèn)題，模塊化教材的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，映射、函數(shù)、反函數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，立體幾何的結(jié)構(gòu)與教學(xué)要求問(wèn)題，極限概念與微積分初步的教學(xué)問(wèn)題，初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)的銜接問(wèn)題，內(nèi)容多、課時(shí)緊的矛盾以及內(nèi)容體系的其他問(wèn)題，指出強(qiáng)調(diào)概述已有的研究，并對(duì)這些問(wèn)題作進(jìn)一步的研究和分析是他進(jìn)行試驗(yàn)探究的初衷。他要在概述當(dāng)前部分教材試驗(yàn)中存在的問(wèn)題中，對(duì)這些問(wèn)題給予進(jìn)一步的分析，提出解決問(wèn)題的對(duì)策，以期對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)、實(shí)驗(yàn)教科書(shū)的修訂和完善有所啟示。

有關(guān)必修模塊的教學(xué)順序問(wèn)題，他指出，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》對(duì)必修的5個(gè)模塊的教學(xué)順序沒(méi)有作出明確的規(guī)定，但這是高中數(shù)學(xué)教材試驗(yàn)期間必須要研究確定的問(wèn)題，而且在教材試驗(yàn)中也出現(xiàn)了一些突出的問(wèn)題，如某些地區(qū)連續(xù)三年按照不同的模塊順序進(jìn)行教學(xué)，教師普遍認(rèn)為不好把握這些模塊的順序。江蘇省常州市教育局教研室教研員孫福明也指出，按照常規(guī)的理解，教材必修1～5的模塊應(yīng)是有順序的，而且這種順序應(yīng)該體現(xiàn)編者的整體意圖和編者對(duì)高中數(shù)學(xué)的整體認(rèn)識(shí)，但課程標(biāo)準(zhǔn)制定組提出以數(shù)學(xué)模塊1為基礎(chǔ)，其余4個(gè)模塊在不影響相關(guān)聯(lián)系和知識(shí)儲(chǔ)備的條件下，學(xué)校可以根據(jù)學(xué)生的選擇和本校的具體情況進(jìn)行安排，原則上沒(méi)有順序要求，而且縱觀各地的教學(xué)秩序，幾乎都回歸到老教材原有的以學(xué)科體系為主的順序，例如有些地方的教學(xué)順序是必修14523，有些地方是必修15423等。他還表示說(shuō)，在教材體系方面，知識(shí)塊的前后位置不盡妥當(dāng)，這會(huì)給教學(xué)帶來(lái)不便，如三角知識(shí)安排在必修4及必修5中講授，但必修2的立體幾何及平面解析幾何中都會(huì)用到三角知識(shí)，這就造成立體幾何中對(duì)一般三角形的計(jì)算不能進(jìn)行，而且高一物理學(xué)科也必須用三角知識(shí)。對(duì)此，俞求是闡述道，為了解決5個(gè)必修模塊的教學(xué)順序問(wèn)題，許多教師也作了深入的研究，回顧數(shù)學(xué)1到5的必修模塊的相關(guān)內(nèi)容，認(rèn)為這5個(gè)模塊比較好的順序?yàn)?4523，同時(shí)，他認(rèn)為這一教學(xué)順序也有一個(gè)突出的問(wèn)題，即課程標(biāo)準(zhǔn)提出的將算法思想貫穿于整個(gè)課程中的設(shè)想不能很好的落實(shí)，應(yīng)在后續(xù)的教學(xué)中加以彌補(bǔ)。鑒于此，他認(rèn)為，可調(diào)整必修2和必修3的順序，按照必修數(shù)學(xué)14532的順序進(jìn)行教學(xué)，也可考慮把算法的基本內(nèi)容提前教學(xué)來(lái)解決此問(wèn)題。

除模塊順序的選擇問(wèn)題外，俞求是指出，教師還對(duì)改變高中課程模塊化設(shè)置和調(diào)整教學(xué)內(nèi)容的安排體系提出了意見(jiàn)。模塊教學(xué)難以使青年教師系統(tǒng)、整體、有一定高度地把握教材，客觀上會(huì)影響青年教師的培養(yǎng)，同時(shí)模塊教學(xué)會(huì)關(guān)注一般學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，但也會(huì)影響優(yōu)秀學(xué)生對(duì)知識(shí)深刻與系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)和理解。孫福明教研員也如此認(rèn)為。廣東省深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校教師謝增生也曾表示，高中教材亟待解決的一個(gè)問(wèn)題是模塊教學(xué)與知識(shí)體系的問(wèn)題，模塊教學(xué)要求小步走，螺旋式上升，這種做法會(huì)使知識(shí)體系被打亂，一種知識(shí)被分成幾個(gè)不同的部分，分散于不同的模塊，導(dǎo)致跳躍式地教授知識(shí)，也會(huì)使許多工具性的內(nèi)容或后置或刪除。對(duì)此，俞求是認(rèn)為由于一個(gè)模塊的課時(shí)限制會(huì)導(dǎo)致教材內(nèi)容與結(jié)構(gòu)的邏輯性大大降低，從而影響教和學(xué)，他猜測(cè)如果進(jìn)一步把模塊課時(shí)統(tǒng)一減少，會(huì)對(duì)教材內(nèi)容的安排增加更多的困難，影響教材內(nèi)容的系統(tǒng)性和邏輯性。

映射、函數(shù)、反函數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這是俞求是認(rèn)為的當(dāng)前教材存在的第三個(gè)問(wèn)題。映射和函數(shù)的安排順序、反函數(shù)概念的數(shù)學(xué)要求問(wèn)題是高中新數(shù)學(xué)課程教學(xué)研究和討論較多的兩個(gè)問(wèn)題。安徽省蕭縣教育局教研室的吳仲奇指出，經(jīng)過(guò)對(duì)比試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，“函數(shù)”與“映射”這兩個(gè)概念的邏輯順序與學(xué)生接受這兩個(gè)概念的難易順序并不一致。另外，對(duì)“函數(shù)”概念，新教材上給出的就是“映射”觀點(diǎn)下的定義，從這個(gè)角度看，教師應(yīng)先講授“映射”的概念為宜。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，因?yàn)椴荒苤渌匀?，其學(xué)習(xí)興趣明顯不高。與此同時(shí)，新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)合情推理與演繹推理相結(jié)合，對(duì)直線和平面平行、平面和平面平行等判定定理的處理僅僅通過(guò)操作確認(rèn)而不加以證明，俞求是對(duì)這一點(diǎn)不敢茍同，他認(rèn)為合情推理只是確認(rèn)得到結(jié)論成立的一種猜測(cè)，結(jié)論的正確性與否還有待嚴(yán)格的證明。

針對(duì)1—6年級(jí)、7—9年級(jí)、10—12年級(jí)的數(shù)學(xué)課程實(shí)踐，圍繞數(shù)學(xué)課程對(duì)發(fā)展公民核心素養(yǎng)的責(zé)任與貢獻(xiàn)、學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)與規(guī)律、數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的選擇與呈現(xiàn)、數(shù)學(xué)課程教學(xué)的過(guò)去與現(xiàn)在等問(wèn)題，眾多的數(shù)學(xué)教育工作者與數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了深入的對(duì)話與交流，對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)課程的實(shí)施、數(shù)學(xué)教育的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)與反思，這一任務(wù)重大而艱巨，但在這么多的數(shù)學(xué)教育者的努力下，一定會(huì)將我國(guó)的數(shù)學(xué)教育做得越來(lái)越好。

（作者單位：北京師范大學(xué)歷史學(xué)院）

（責(zé)任編輯：孫建輝）

4.高中數(shù)學(xué)教材試驗(yàn)研究

深受常州市科學(xué)教育研究院教研員孫福明的思想影響，人民教育出版社主任編輯俞求是向大家闡述了高中數(shù)學(xué)教材的試驗(yàn)研究，著重強(qiáng)調(diào)在新的課程標(biāo)準(zhǔn)下高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的順序問(wèn)題。他回顧了高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材在試驗(yàn)期間亟須解決的一些問(wèn)題，如必修模塊的教學(xué)順序問(wèn)題，模塊化教材的結(jié)構(gòu)問(wèn)題，映射、函數(shù)、反函數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，立體幾何的結(jié)構(gòu)與教學(xué)要求問(wèn)題，極限概念與微積分初步的教學(xué)問(wèn)題，初中數(shù)學(xué)和高中數(shù)學(xué)的銜接問(wèn)題，內(nèi)容多、課時(shí)緊的矛盾以及內(nèi)容體系的其他問(wèn)題，指出強(qiáng)調(diào)概述已有的研究，并對(duì)這些問(wèn)題作進(jìn)一步的研究和分析是他進(jìn)行試驗(yàn)探究的初衷。他要在概述當(dāng)前部分教材試驗(yàn)中存在的問(wèn)題中，對(duì)這些問(wèn)題給予進(jìn)一步的分析，提出解決問(wèn)題的對(duì)策，以期對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)、實(shí)驗(yàn)教科書(shū)的修訂和完善有所啟示。

有關(guān)必修模塊的教學(xué)順序問(wèn)題，他指出，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》對(duì)必修的5個(gè)模塊的教學(xué)順序沒(méi)有作出明確的規(guī)定，但這是高中數(shù)學(xué)教材試驗(yàn)期間必須要研究確定的問(wèn)題，而且在教材試驗(yàn)中也出現(xiàn)了一些突出的問(wèn)題，如某些地區(qū)連續(xù)三年按照不同的模塊順序進(jìn)行教學(xué)，教師普遍認(rèn)為不好把握這些模塊的順序。江蘇省常州市教育局教研室教研員孫福明也指出，按照常規(guī)的理解，教材必修1～5的模塊應(yīng)是有順序的，而且這種順序應(yīng)該體現(xiàn)編者的整體意圖和編者對(duì)高中數(shù)學(xué)的整體認(rèn)識(shí)，但課程標(biāo)準(zhǔn)制定組提出以數(shù)學(xué)模塊1為基礎(chǔ)，其余4個(gè)模塊在不影響相關(guān)聯(lián)系和知識(shí)儲(chǔ)備的條件下，學(xué)?？梢愿鶕?jù)學(xué)生的選擇和本校的具體情況進(jìn)行安排，原則上沒(méi)有順序要求，而且縱觀各地的教學(xué)秩序，幾乎都回歸到老教材原有的以學(xué)科體系為主的順序，例如有些地方的教學(xué)順序是必修14523，有些地方是必修15423等。他還表示說(shuō)，在教材體系方面，知識(shí)塊的前后位置不盡妥當(dāng)，這會(huì)給教學(xué)帶來(lái)不便，如三角知識(shí)安排在必修4及必修5中講授，但必修2的立體幾何及平面解析幾何中都會(huì)用到三角知識(shí)，這就造成立體幾何中對(duì)一般三角形的計(jì)算不能進(jìn)行，而且高一物理學(xué)科也必須用三角知識(shí)。對(duì)此，俞求是闡述道，為了解決5個(gè)必修模塊的教學(xué)順序問(wèn)題，許多教師也作了深入的研究，回顧數(shù)學(xué)1到5的必修模塊的相關(guān)內(nèi)容，認(rèn)為這5個(gè)模塊比較好的順序?yàn)?4523，同時(shí)，他認(rèn)為這一教學(xué)順序也有一個(gè)突出的問(wèn)題，即課程標(biāo)準(zhǔn)提出的將算法思想貫穿于整個(gè)課程中的設(shè)想不能很好的落實(shí)，應(yīng)在后續(xù)的教學(xué)中加以彌補(bǔ)。鑒于此，他認(rèn)為，可調(diào)整必修2和必修3的順序，按照必修數(shù)學(xué)14532的順序進(jìn)行教學(xué)，也可考慮把算法的基本內(nèi)容提前教學(xué)來(lái)解決此問(wèn)題。

除模塊順序的選擇問(wèn)題外，俞求是指出，教師還對(duì)改變高中課程模塊化設(shè)置和調(diào)整教學(xué)內(nèi)容的安排體系提出了意見(jiàn)。模塊教學(xué)難以使青年教師系統(tǒng)、整體、有一定高度地把握教材，客觀上會(huì)影響青年教師的培養(yǎng)，同時(shí)模塊教學(xué)會(huì)關(guān)注一般學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，但也會(huì)影響優(yōu)秀學(xué)生對(duì)知識(shí)深刻與系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)和理解。孫福明教研員也如此認(rèn)為。廣東省深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校教師謝增生也曾表示，高中教材亟待解決的一個(gè)問(wèn)題是模塊教學(xué)與知識(shí)體系的問(wèn)題，模塊教學(xué)要求小步走，螺旋式上升，這種做法會(huì)使知識(shí)體系被打亂，一種知識(shí)被分成幾個(gè)不同的部分，分散于不同的模塊，導(dǎo)致跳躍式地教授知識(shí)，也會(huì)使許多工具性的內(nèi)容或后置或刪除。對(duì)此，俞求是認(rèn)為由于一個(gè)模塊的課時(shí)限制會(huì)導(dǎo)致教材內(nèi)容與結(jié)構(gòu)的邏輯性大大降低，從而影響教和學(xué)，他猜測(cè)如果進(jìn)一步把模塊課時(shí)統(tǒng)一減少，會(huì)對(duì)教材內(nèi)容的安排增加更多的困難，影響教材內(nèi)容的系統(tǒng)性和邏輯性。

映射、函數(shù)、反函數(shù)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這是俞求是認(rèn)為的當(dāng)前教材存在的第三個(gè)問(wèn)題。映射和函數(shù)的安排順序、反函數(shù)概念的數(shù)學(xué)要求問(wèn)題是高中新數(shù)學(xué)課程教學(xué)研究和討論較多的兩個(gè)問(wèn)題。安徽省蕭縣教育局教研室的吳仲奇指出，經(jīng)過(guò)對(duì)比試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，“函數(shù)”與“映射”這兩個(gè)概念的邏輯順序與學(xué)生接受這兩個(gè)概念的難易順序并不一致。另外，對(duì)“函數(shù)”概念，新教材上給出的就是“映射”觀點(diǎn)下的定義，從這個(gè)角度看，教師應(yīng)先講授“映射”的概念為宜。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，因?yàn)椴荒苤渌匀?，其學(xué)習(xí)興趣明顯不高。與此同時(shí)，新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)合情推理與演繹推理相結(jié)合，對(duì)直線和平面平行、平面和平面平行等判定定理的處理僅僅通過(guò)操作確認(rèn)而不加以證明，俞求是對(duì)這一點(diǎn)不敢茍同，他認(rèn)為合情推理只是確認(rèn)得到結(jié)論成立的一種猜測(cè)，結(jié)論的正確性與否還有待嚴(yán)格的證明。

針對(duì)1—6年級(jí)、7—9年級(jí)、10—12年級(jí)的數(shù)學(xué)課程實(shí)踐，圍繞數(shù)學(xué)課程對(duì)發(fā)展公民核心素養(yǎng)的責(zé)任與貢獻(xiàn)、學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)與規(guī)律、數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的選擇與呈現(xiàn)、數(shù)學(xué)課程教學(xué)的過(guò)去與現(xiàn)在等問(wèn)題，眾多的數(shù)學(xué)教育工作者與數(shù)學(xué)教師進(jìn)行了深入的對(duì)話與交流，對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)課程的實(shí)施、數(shù)學(xué)教育的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行總結(jié)與反思，這一任務(wù)重大而艱巨，但在這么多的數(shù)學(xué)教育者的努力下，一定會(huì)將我國(guó)的數(shù)學(xué)教育做得越來(lái)越好。

（作者單位：北京師范大學(xué)歷史學(xué)院）

（責(zé)任編輯：孫建輝）