盛冬平，朱如鵬，陸鳳霞，靳廣虎

（南京航空航天大學(xué) 江蘇省精密與微細(xì)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210016）

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)具有傳遞功率大、轉(zhuǎn)速高、工作條件苛刻，外形尺寸小、重量輕等特點(diǎn)，對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)指標(biāo)要求高，在航空、船舶、汽車(chē)、起重機(jī)械以及其他機(jī)械傳動(dòng)中獲得了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用，近年來(lái)吸引了國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了大量的研究［1－2］。王三民等［3］研究了在不同支承剛度下多間隙耦合的非線性圓柱直齒模型進(jìn)入混沌的途徑以及在增大支承間隙時(shí)系統(tǒng)發(fā)生跳躍和失穩(wěn)現(xiàn)象，但沒(méi)有進(jìn)一步分析轉(zhuǎn)速和齒側(cè)間隙對(duì)分岔和混沌動(dòng)力學(xué)特性的影響。王三民等［4］還研究了含摩擦和間隙的直齒輪副的分岔和混沌特性，包括在一定的參數(shù)下，摩擦能使混沌吸引子轉(zhuǎn)變?yōu)橹芷谖油瑫r(shí)可以使系統(tǒng)提前進(jìn)入混沌。李同杰等［5］研究了行星齒輪純扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速和不同阻尼下的非線性振動(dòng)的混沌及分叉特性，以及在兩種不同參數(shù)的情況下系統(tǒng)由穩(wěn)定振動(dòng)進(jìn)入混沌和回歸周期一的不同道路。孫智民等［6］研究了帶有間隙的星形齒輪傳動(dòng)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)在改變系統(tǒng)激振頻率的情況下，通往混沌的道路有周期倍化道路和擬周期道路，同時(shí)還研究了系統(tǒng)在不同的阻尼情況下，系統(tǒng)也會(huì)由周期倍化道路或者擬周期道路通往混沌。然而，從目前可以檢索到的文獻(xiàn)來(lái)看，關(guān)于齒輪多間隙彎扭耦合非線性振動(dòng)系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速、不同嚙合阻尼、不同支承間隙以及不同齒側(cè)間隙下的分叉特性的研究尚鮮有報(bào)道。

本文建立在文獻(xiàn)［3］的基礎(chǔ)上綜合考慮齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中齒輪副間的時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間隙、支承間隙以及綜合傳遞誤差等非線性因素，以圓柱齒輪傳動(dòng)的齒輪－轉(zhuǎn)子－軸承為研究對(duì)象，建立了多間隙的彎扭耦合的非線性振動(dòng)模型，并采用數(shù)值積分方法研究了齒輪的彎扭振動(dòng)特性隨轉(zhuǎn)速、齒側(cè)間隙、支承間隙以及嚙合阻尼系數(shù)等分岔參數(shù)的變化情況，通過(guò)對(duì)仿真結(jié)果的分析，獲得一些理論結(jié)果。

1 多間隙彎扭耦合振動(dòng)模型

多間隙彎扭耦合振動(dòng)系統(tǒng)由一對(duì)齒輪副，軸和軸承組成，此處設(shè)定各齒輪為圓柱直齒齒輪，且不考慮齒輪副之間的摩擦力，系統(tǒng)的考慮各種誤差和多間隙彎扭振動(dòng)模型如圖1所示。

圖1 多間隙彎扭耦合齒輪振動(dòng)系統(tǒng)模型Fig．1 Transverse-torsional coupled gear vibration system with multiple-clearances model

圖1中，主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的角位移分別用θd和θp表示，基圓半徑分別用rd和rp表示。主動(dòng)輪支承軸承的剛度、半支承間隙、阻尼分別用kd、bd、cd表示。從動(dòng)輪支承軸承的剛度、半支承間隙、阻尼分別用kp、bp、cp表示，齒輪嚙合副間的綜合嚙合誤差、時(shí)變粘合剛度、半齒側(cè)間隙、嚙合阻尼分別用 e（t）、k（t）、b、cm表示。ed和ep為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的偏心誤差。φd和φp為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪偏心誤差的初始相位。主動(dòng)輪和被動(dòng)輪在相應(yīng)的嚙合線上產(chǎn)生的線位移xd和xp可以表述如下

根據(jù)直齒齒輪嚙合副剛度變化特點(diǎn)，將其假定為矩形波變化規(guī)律。圖2顯示了齒輪副傳動(dòng)時(shí)嚙合剛度的變化規(guī)律。

圖2 齒輪副嚙合時(shí)變剛度Fig．2 Time-varying meshing stiffness

圖2中，kmax為嚙合時(shí)變剛度的最大值，kmin為嚙合時(shí)變剛度的最小值，φ為嚙合剛度變化的初相位，T位嚙合周期，T＝2π／ω，ω為嚙頻。

周期矩形波可以展開(kāi)成為以嚙頻為基頻的Fourier級(jí)數(shù)，取一次諧波項(xiàng)為

式中，km為嚙合副上的平均嚙合剛度，ka為嚙合副上的剛度變化幅值。

該系統(tǒng)具有四個(gè)自由度，其廣義坐標(biāo)可以表示為（θd，Xd，θp，Xp）T，其中，θd和 Xd為主動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和縱向位移自由度，θp和Xp為從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和縱向位移自由度。

1.1 間隙非線性函數(shù)和動(dòng)態(tài)嚙合力

對(duì)于單對(duì)外嚙合的齒輪副來(lái)說(shuō)，其嚙合點(diǎn)的相對(duì)位移Xr和誤差e（t）的表達(dá)式為

式中，e（t）為主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的靜態(tài)誤差以及嚙合誤差在嚙合線上的投影。

齒輪系統(tǒng)間隙非線性函數(shù)可以表示為

齒輪嚙合副上的動(dòng)態(tài)嚙合力為彈性恢復(fù)力和阻尼力之和，可以表示為

式中，阻尼系數(shù)的表達(dá)式為

式中，ξ為嚙合副相對(duì)阻尼比，md為主動(dòng)輪質(zhì)量，mp為從動(dòng)輪質(zhì)量

1.2 系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程

1．2．1 系統(tǒng)的彎扭振動(dòng)方程

規(guī)定輸入轉(zhuǎn)矩作用下各個(gè)主、從動(dòng)輪的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)楦髯越俏灰葡鄳?yīng)的正方向。取 θd、Xd、θp、Xp為廣義坐標(biāo)。根據(jù)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，圖1所示系統(tǒng)在輸入轉(zhuǎn)矩Td及負(fù)載Tp作用下，可列出彎扭耦合振動(dòng)微分方程為

1．2．2 系統(tǒng)相對(duì)坐標(biāo)下的彎扭振動(dòng)方程

由于齒側(cè)間隙的存在，使得齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)約束不完整，從而決定了式（7）為半正定系統(tǒng)，存在剛體位移及不定解。為了消除剛體位移，并保持系統(tǒng)拓?fù)浣饨Y(jié)構(gòu)不變的前提下，利用同胚映射，實(shí)現(xiàn)方程個(gè)數(shù)的減少，從而實(shí)現(xiàn)降維，以便于研究系統(tǒng)的分岔特性，同時(shí)利用（1）式，引入相對(duì)坐標(biāo)

式中，X為嚙合線上相對(duì)位移的疊加，與xd，xp有相同的分岔特性。將式（7）變形后得到

1．2．3 系統(tǒng)的量綱一方程

引入 量綱一時(shí)間 τ＝ωnt，其中 ωn為嚙合剛度均值，引入位移標(biāo)稱(chēng)尺度bc，則量綱一位移，速度，加速度表示為 X量綱一轉(zhuǎn)速

量綱一間隙非線性函數(shù)為

將以上各式帶入式（9）中，變形整理后可得到系統(tǒng)的矩陣形式的量綱一化方程為

2 運(yùn)動(dòng)的分岔特性分析

為了進(jìn)行多間隙齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分岔特性研究，本文取系統(tǒng)的一組基本計(jì)算參數(shù)：模數(shù)m＝3 mm，α＝20°，zd＝40，zp＝80，ed＝10μm，ep＝10μm，bc＝10μm，bd＝10μm，bp＝10μm，kd＝0．2 GN／m，kp＝0．35 GN／m，輸入功率P＝200 kW。

采用變步長(zhǎng)的4階Runge-Kutta法求解量綱一式（11），用所求的的數(shù)值解分別得到了系統(tǒng)在不同參數(shù)下的分岔圖和Poincaré截面圖，并據(jù)此為工具研究系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分岔特性。

2.1 系統(tǒng)隨量綱一轉(zhuǎn)速Ω變化的分岔特性

取系統(tǒng)中嚙合副的半齒側(cè)間隙b＝60μm，研究系統(tǒng)的嚙合副相對(duì)阻尼比分別取0．05，0．07，0．09和0．11下的方程的解隨量綱一轉(zhuǎn)速Ω的分岔特性如圖3所示。

圖3展示了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)隨轉(zhuǎn)速變化而表現(xiàn)出的多樣的分岔特性。可以看出，系統(tǒng)在不同量綱一轉(zhuǎn)速下經(jīng)歷了不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，包括短周期運(yùn)動(dòng)和復(fù)雜運(yùn)動(dòng)形態(tài)（長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)、擬周期和混沌運(yùn)動(dòng)）之間的分岔，最終系統(tǒng)穩(wěn)定于周期一運(yùn)動(dòng)。由于實(shí)際運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性，系統(tǒng)的工作轉(zhuǎn)速可能位于以上某一分岔點(diǎn)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速附近，而實(shí)際工作轉(zhuǎn)速的微幅變化可能會(huì)使得系統(tǒng)由穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)進(jìn)入不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)，而這種不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)會(huì)導(dǎo)致齒輪嚙合副產(chǎn)生強(qiáng)非線性的單邊沖擊或者雙邊沖擊現(xiàn)象，從而導(dǎo)致齒根承受除了由于剛度變化導(dǎo)致沖擊以外的沖擊載荷，進(jìn)而降低齒輪的疲勞壽命，同時(shí)這種不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生多頻甚至混沌的噪音，從而影響工作環(huán)境的舒適性。

隨著相對(duì)阻尼比的增加，系統(tǒng)的混沌區(qū)間寬度逐漸減小，由圖3（d）可以看出當(dāng)嚙合副的相對(duì)阻尼比ξ＝0．11時(shí)，只存在長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)和短周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)ξ＝0．13時(shí)，系統(tǒng)只存在周期一的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)。另外，可以看出隨著阻尼比的增加，系統(tǒng)由周期二運(yùn)動(dòng)進(jìn)入周期一運(yùn)動(dòng)的分叉點(diǎn)的量綱一轉(zhuǎn)速逐漸降低，圖3（a）～3（d）的分岔臨界點(diǎn)量綱一轉(zhuǎn)速分別為 1．72，1．66，1．54，1．49。

圖3 系統(tǒng)在不同阻尼比下隨Ω變化的分岔圖Fig．3 Bifurcation map with the increase of rotation speed under different meshing damp ratio

圖4顯示了系統(tǒng)間隙為60μm，相對(duì)阻尼比為0．07，量綱一轉(zhuǎn)速?gòu)?．75向0．9變化時(shí)系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)歷經(jīng)擬周期運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)不穩(wěn)定的吸引子后，再次通過(guò)擬周期進(jìn)入混沌的全過(guò)程。從圖4（a）和4（h）的Poincaré截面圖中的內(nèi)部自相似的分形結(jié)構(gòu)可以判斷系統(tǒng)正處于混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。圖4（b）～4（h）顯示了系統(tǒng)在進(jìn)入混沌過(guò)程中不穩(wěn)定吸引子隨著分岔參數(shù)而呈現(xiàn)的6種形態(tài)。

圖4 系統(tǒng)在不同量綱一轉(zhuǎn)速下的Poincaré圖Fig．4Poincarémap with the increase of rotation speed under different meshing damp ratio

綜合從圖3和圖4可以看出，系統(tǒng)從周期一的穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)通過(guò)擬周期通道進(jìn)入混沌的臨界點(diǎn)位于系統(tǒng)的一階臨界轉(zhuǎn)速附近，且隨著嚙合相對(duì)阻尼比的增加，該臨界點(diǎn)逐漸趨近于一階固有頻率下的轉(zhuǎn)速，在當(dāng)前系統(tǒng)參數(shù)下，此時(shí)該系統(tǒng)的一階臨界轉(zhuǎn)速為6 837 r／min。

從圖機(jī)械系統(tǒng)中的混沌意味著系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)不再具有可控性和可預(yù)測(cè)性，它總是不斷從某個(gè)運(yùn)動(dòng)軌道突跳到另外一個(gè)運(yùn)動(dòng)軌道上去，對(duì)于機(jī)械系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，這就意味著疲勞壽命的降低和噪音的增加。通過(guò)以上轉(zhuǎn)速全局分岔圖以及Poincaré圖進(jìn)行定性和定量分析，可以獲得混沌運(yùn)動(dòng)和多周期運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)速區(qū)域和臨界值，從而可以人為控制和避開(kāi)不可控和不可預(yù)測(cè)性的運(yùn)動(dòng)。

2.2 系統(tǒng)隨量綱一齒側(cè)間隙變化的分岔特性

取系統(tǒng)量綱一轉(zhuǎn)速Ω＝1．2，嚙合副相對(duì)阻尼比分別0．05、0．07、0．09和 0．11，方程的量綱一位移 X隨系統(tǒng)量綱一齒側(cè)間隙變化的分岔特性如圖5所示?？梢钥闯霎?dāng)系統(tǒng)在不同阻尼比下的具有不同分岔特性。圖5（a）和5（b）顯示系統(tǒng)通過(guò)激變的途徑進(jìn)入混沌，且隨著間隙的增加一直處于混沌運(yùn)動(dòng)中。圖5（c）顯示系統(tǒng)通過(guò)激變進(jìn)入混沌后，在一定寬度混沌運(yùn)動(dòng)后，經(jīng)由倒分岔進(jìn)入并鎖相為周期四運(yùn)動(dòng)。圖5（d）顯示了系統(tǒng)通過(guò)倍周期分岔進(jìn)入混沌，又經(jīng)過(guò)倒分岔進(jìn)入周期二的短周期運(yùn)動(dòng)。縱觀整個(gè)變化過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)隨著阻尼比的增加，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入混沌的途徑由激變轉(zhuǎn)變?yōu)楸吨芷诜植?，并且存在一個(gè)轉(zhuǎn)變臨界值。更多的計(jì)算表明，系統(tǒng)隨著轉(zhuǎn)速或相對(duì)阻尼比的增加，運(yùn)動(dòng)不再具有混沌和分岔特性，整個(gè)運(yùn)動(dòng)區(qū)域?yàn)橹芷谝坏姆€(wěn)定運(yùn)動(dòng)。

圖6顯示了系統(tǒng)取量綱一轉(zhuǎn)速為Ω＝1．2，嚙合相對(duì)阻尼比ξ＝0．11，方程的量綱一位移X隨量綱一間隙變化的分岔特性和b＝60μm時(shí)的Poincaré圖。圖6（a）顯示了系統(tǒng)經(jīng)過(guò)周期一運(yùn)動(dòng)通過(guò)倍周期分岔進(jìn)入一定位移寬度的運(yùn)動(dòng)，而圖6（b）則證明系統(tǒng)經(jīng)過(guò)倍周期分岔后又經(jīng)過(guò)Naimark-sacker分岔形成兩個(gè)不變吸引圈。

圖5 系統(tǒng)在不同嚙合阻尼比下隨量綱一間隙變化的分岔圖Fig．5 Bifurcationmap with the increase of the backlash under different meshing damp ratio

圖6 系統(tǒng)在ξ＝0．11的分岔圖和b＝60μm的 Poincaré圖Fig．6 Bifurcationmap with the increase of the backlash（ξ＝0．11）and the Poincarémap（b＝60μm）

2．3 系統(tǒng)隨量綱一支承間隙變化的分岔特性

從系統(tǒng)的控制方程可知，系統(tǒng)存在阻尼耦合和彈性耦合。取系統(tǒng)量綱一轉(zhuǎn)速Ω＝1．2，量綱一嚙合間隙b＝30μm，嚙合副相對(duì)阻尼比分別 0．05、0．06、0．07和0．08，方程的量綱一位移X隨系統(tǒng)量綱一支承間隙變化的分岔特性如圖7所示?？梢钥闯霎?dāng)相對(duì)阻尼比為0．05時(shí)，支承間隙在b＝30μm附近出現(xiàn)狹窄的周期五窗口，且從位移解值可以看出系統(tǒng)支承間隙對(duì)系統(tǒng)在嚙合線上的運(yùn)動(dòng)的影響較弱，且隨著嚙合阻尼的增加，耦合作用的影響也逐漸被抑制，且只有在少數(shù)且不連續(xù)的支承間隙下對(duì)系統(tǒng)有一定的擾動(dòng)。

圖7 不同阻尼比下隨量綱一支承間隙變化的分岔圖Fig．7 Bifurcationmap with the increase of gear support clearance under different meshing damp ratio

3 結(jié) 論

（1）多間隙彎扭耦合齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在各種非線性因素的綜合影響下表現(xiàn)出了豐富的分岔特性，隨著分岔參數(shù)的變化先后出現(xiàn)了短周期運(yùn)動(dòng)、長(zhǎng)周期運(yùn)動(dòng)、擬周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)。

（2）隨著轉(zhuǎn)速的增加，系統(tǒng)會(huì)通過(guò)激變途徑進(jìn)入到混沌運(yùn)動(dòng)，然后又通過(guò)倒分岔進(jìn)入擬周期運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一定寬度的吸引域窗口后通過(guò)擬周期再次進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，最終通過(guò)倒分岔回歸周期一運(yùn)動(dòng)。

（3）嚙合阻尼系數(shù)的變化對(duì)于系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的分岔特性有較明顯的影響。隨著阻尼系數(shù)的增加，混沌運(yùn)動(dòng)的寬度逐漸較小，最終轉(zhuǎn)變?yōu)檎麄€(gè)量綱一轉(zhuǎn)速上的周期一運(yùn)動(dòng)。

（4）齒側(cè)間隙也是影響系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)分岔特性的重要因素。但其影響范圍主要集中在量綱一間隙大于3的大間隙和低轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)。在一定的轉(zhuǎn)速下，隨著嚙合阻尼的增大，進(jìn)入混沌的途徑也由激變轉(zhuǎn)變成倍周期分岔，且通過(guò)混沌區(qū)域后最終鎖相為周期四、周期二或周期一運(yùn)動(dòng)。

（5）在滿足一定的參數(shù)條件下，系統(tǒng)會(huì)隨著齒側(cè)間隙的增加由倍周期分岔進(jìn)入并鎖相為Naimark-sacker分岔。

（6）在一定的條件下，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)會(huì)隨著支承間隙的增加進(jìn)入狹窄的周期五窗口后鎖相為周期一運(yùn)動(dòng)，從系統(tǒng)的控制方程和數(shù)值解可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的支承間隙對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)影響較弱。

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