戴習(xí)民， 朱曉臨， 張仁瓊

(1.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230009； 2.合肥工業(yè)大學(xué)圖書館，合肥230009)

1 引 言

利率期限結(jié)構(gòu)是指不同期限的利率與期限之間的函數(shù)關(guān)系.刻畫利率期限結(jié)構(gòu)的主要工具是無風(fēng)險(xiǎn)收益率曲線，它是一條以時(shí)間為橫坐標(biāo)，以各時(shí)間點(diǎn)對應(yīng)的無風(fēng)險(xiǎn)利率為縱坐標(biāo)的曲線，也稱作零息利率曲線、收益率曲線.和零息利率等價(jià)的刻畫利率期限結(jié)構(gòu)的工具是貼現(xiàn)函數(shù)和瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率，這三者之間可以互推.在經(jīng)濟(jì)活動中，零息利率是基準(zhǔn)利率，發(fā)揮著基礎(chǔ)性地位的重要作用. 但由于市場上金融產(chǎn)品的種類有限，不能直接觀察到所有期限的無風(fēng)險(xiǎn)利率水平，因此只能依靠市場有限的金融產(chǎn)品，通過建立數(shù)學(xué)模型來建立整個(gè)期限上的利率期限結(jié)構(gòu).考慮到對無風(fēng)險(xiǎn)的要求，通常選取各國以國家信用為擔(dān)保的國債作為無風(fēng)險(xiǎn)債券.

在對利率曲線結(jié)構(gòu)的建模研究中，一種常見的類型就是靜態(tài)模型法.這種方法根據(jù)市場上已有的國債價(jià)格數(shù)據(jù)，從中獲取有限個(gè)時(shí)點(diǎn)上的利率期限結(jié)構(gòu)的信息，再通過插值、擬合等數(shù)值方法來獲取整個(gè)期限上的利率期限結(jié)構(gòu).發(fā)展最豐富、應(yīng)用最廣泛的的就是基于廣義樣條函數(shù)的擬合模型，根據(jù)所使用的樣條函數(shù)種類可分為多項(xiàng)式樣條模型、指數(shù)樣條模型、B樣條模型以及平滑樣條模型、Hermite插值模型等.其中三次B樣條函數(shù)因其功能強(qiáng)大、簡潔易用的特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用.

McCulloch(1971，1975)[1,2]最早將多項(xiàng)式樣條函數(shù)應(yīng)用于利率期限結(jié)構(gòu)的估計(jì)，該方法假設(shè)貼現(xiàn)函數(shù)為分段連續(xù)的多項(xiàng)式函數(shù)，通過多元線性回歸估計(jì)每段多項(xiàng)式的系數(shù)，從而構(gòu)建貼現(xiàn)函數(shù)；Vasicek和Fong(1982)[3]運(yùn)用的是指數(shù)樣條函數(shù)；Steeley(1991)[4]首先引入了B樣條模型；Deacon和Derry(1994)[5]通過比較各種方法后認(rèn)為三次B樣條模型在實(shí)踐中具有最好的效果；Marico和Marcelo(2010)[6]運(yùn)用了約束光滑B樣條(CBOS)法.在國內(nèi)，楊春鵬和曹興華(2002)[7]利用回歸插補(bǔ)法和三次樣條插值法來構(gòu)造我國的國債到期收益率曲線；朱峰(2003)[8]對三次B樣條模型和Svensson(1995)[9]模型對于我國國債收益率曲線的擬合效果進(jìn)行比較研究發(fā)現(xiàn)，Svensson模型的擬合精度較好，而三次B樣條模型則在擬合效果的穩(wěn)定性上占優(yōu)；劉燦和易璐(2004)[10]則利用B樣條函數(shù)法實(shí)證研究了我國深滬兩市國債收益率的期限結(jié)構(gòu).

在確定B樣條函數(shù)的節(jié)點(diǎn)向量時(shí)，多數(shù)文獻(xiàn)采用了Mcculloch建議的原則，即樣條的段數(shù)約等于樣本數(shù)量的平方根，而節(jié)點(diǎn)的選擇應(yīng)使得剩余期限落在每段樣條區(qū)間里面的債券的數(shù)目大致相等，且取的節(jié)點(diǎn)都是整數(shù)值節(jié)點(diǎn).我們稱這種方法為“等額債券數(shù)目法”.在這種方法指導(dǎo)下，國內(nèi)關(guān)于我國國債利率期限結(jié)構(gòu)的研究文獻(xiàn)，大都將樣條的段數(shù)取為3，需要四個(gè)不同的內(nèi)節(jié)點(diǎn).在考慮我國債券的實(shí)際期限的基礎(chǔ)上對此方法作微小變化調(diào)整的還有如下類型：閔曉平、田澎(2006)[11]將內(nèi)節(jié)點(diǎn)設(shè)置為固定的{0,5,7,20}；劉燦和易璐(2004)[10]則使用了等距節(jié)點(diǎn)法，所取的內(nèi)節(jié)點(diǎn)為{0,7,14,20}；朱世武、陳健恒(2003)[12]考慮使得每個(gè)分段函數(shù)中相應(yīng)的國債數(shù)量要保持平均以及為了利率曲線的平滑過渡，所取的內(nèi)節(jié)點(diǎn)為{0,5,8,20}.

以上這些節(jié)點(diǎn)位置的取法，一方面沒有考慮到有現(xiàn)金流量產(chǎn)生的時(shí)間點(diǎn)對決定利率期限結(jié)構(gòu)的意義，另一方面，也沒有考慮到現(xiàn)金流量的大小對利率期限結(jié)構(gòu)的影響.但正是債券的現(xiàn)金流的時(shí)間點(diǎn)和現(xiàn)金流的大小從本質(zhì)上決定了利率的期限結(jié)構(gòu)，因此在構(gòu)建利率期限結(jié)構(gòu)模型時(shí)，應(yīng)該在模型中盡快的能將這兩項(xiàng)指標(biāo)融合到模型的變量選取和關(guān)系設(shè)置中去，這樣才更符合具體的實(shí)際經(jīng)濟(jì)含義.基于這種角度考慮，本文采用了一種新的節(jié)點(diǎn)向量確定方法，即“等額現(xiàn)金流量法”.這種方法以產(chǎn)生現(xiàn)金流的時(shí)間點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，以使得各樣條區(qū)間段內(nèi)的現(xiàn)金流量盡可能相等為標(biāo)準(zhǔn)，來確定樣條的節(jié)點(diǎn)位置.實(shí)證研究的結(jié)果顯示，這種方法擬合的利率期限結(jié)構(gòu)的形狀比較符合經(jīng)濟(jì)原理，而且對債券價(jià)格的估計(jì)誤差要比“等額債券數(shù)目法”極其衍生的幾個(gè)方法有優(yōu)勢.

2 模型的理論分析

假定起始時(shí)刻為0，記未來t時(shí)刻的貼現(xiàn)函數(shù)值為δ(t)，與之相應(yīng)的零息票收益率曲線為r(t)、瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率曲線為f(t)，這三者之間滿足如下關(guān)系式：

(1)

(2)

假設(shè)國債市場所蘊(yùn)含的貼現(xiàn)函數(shù)為δ(t)，對第l只附息債券. 如果它在將來的Nl個(gè)時(shí)刻tj(j=1,…,Nl)，分別支付數(shù)量為C(tj)的現(xiàn)金流，那么它在當(dāng)前時(shí)點(diǎn)的價(jià)格Pl應(yīng)為

(3)

其中l(wèi)=1,…,M，M為債券數(shù)目.

本文選擇用三段三次B樣條曲線來擬合貼現(xiàn)函數(shù).因此，要選定四個(gè)不同的內(nèi)節(jié)點(diǎn)，連同首末節(jié)點(diǎn)，總共需要給定八個(gè)節(jié)點(diǎn).記節(jié)點(diǎn)向量為

knots={t0,t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7}，

其中t2

knots={0,0,0,t3,t4,T,T,T},

其中0表示把取得樣本債券的日期當(dāng)成起始時(shí)刻，記為0時(shí)，T為樣本債券中剩余期限的最大值.

在內(nèi)節(jié)點(diǎn)位置的選擇上，我們采用一種新的“等額現(xiàn)金流量法”.具體做法如下.首先根據(jù)選擇的樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算出樣本中每種國債的付息時(shí)間點(diǎn)，所有這些時(shí)間點(diǎn)(包括每種國債的到期日，在該日債券將支付票面價(jià)值和最后一次利息)都將作為節(jié)點(diǎn)的候選點(diǎn)；其次，計(jì)算出這組債券在整個(gè)時(shí)間段[0,T]上的現(xiàn)金流的總和，其中T是所有債券剩余期限的最大值；最后從候選點(diǎn)中確定出t3和t4，使分別落在區(qū)間[0,t3]，(t3,t4]和(t4,T]上的現(xiàn)金流量大致相等.稱這種決定樣條節(jié)點(diǎn)向量的方法為“等額現(xiàn)金流量法”.

記以上節(jié)點(diǎn)決定的六個(gè)三次B樣條基函數(shù)為

關(guān)于B樣條基函數(shù)的de-Boor Cox 算法，請參見[13,14]，本文不再贅述.

記貼現(xiàn)函數(shù)δ(t)的擬合函數(shù)為，用三次B樣條函數(shù)來擬合貼現(xiàn)函數(shù)

(4)

其中ai為待定系數(shù)，也稱曲線的控制頂點(diǎn).

(5)

由于估計(jì)價(jià)格與實(shí)際價(jià)格存在一定的誤差，記

其中Pl為市場價(jià)格.

因此模型的目標(biāo)函數(shù)設(shè)為

(6)

即求得ai,i=0,…,5，使得擬合的債券價(jià)格與實(shí)際價(jià)格的誤差平方和最小.實(shí)現(xiàn)以上目標(biāo)的過程，運(yùn)用普通最小二乘線性回歸(OLSR)即可實(shí)現(xiàn).

3 模型的實(shí)證研究

本節(jié)選取2013年1月11日上海證券交易所的記賬式國債交易數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究(在2013年內(nèi)，當(dāng)日有交易量的債券數(shù)目較大).剔除交易量為零、浮動利息及發(fā)行價(jià)不等于100的債券，剩余的14只國債作為樣本數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)見表1.數(shù)據(jù)來源：Wind金融資訊.

計(jì)算了以上14只債券未來所有的付息日和到期日這些時(shí)間點(diǎn)，以及這些時(shí)間點(diǎn)上的現(xiàn)金流.其中最長剩余期限為12.35年，所有時(shí)間點(diǎn)上的現(xiàn)金流總和為1652.03元，根據(jù)在前節(jié)描述的等額現(xiàn)金流法的節(jié)點(diǎn)決定方法，最終選取的節(jié)點(diǎn)向量為

knots={0,0,0,2.13,4.70,12.35,12.35,12.35},

其中在區(qū)間[0,2.13]上的現(xiàn)金流量和為588.11元，在區(qū)間(2.13,4.70]上的現(xiàn)金流量和為474.33元，在區(qū)間(4.70,12.35]上的現(xiàn)金流量和為589.59元.

模型擬合結(jié)果如下：

1.擬合的系數(shù)ai,i=0,…,5為

{1.00369， 0.967806， 0.946334， 0.781427， 0.714627， 0.625992}.

表1 樣本數(shù)據(jù)

2.擬合模型的總體檢驗(yàn).

表2 模型的各系數(shù)的檢驗(yàn)

模型總體擬合優(yōu)度R2=0.999966; AdjustedR2=0.999941.

由上可知，模型的擬合優(yōu)度很高，各系數(shù)都高度顯著，說明模型的設(shè)置是合理的，能充分?jǐn)M合樣本數(shù)據(jù).

{1.51365, -0.907492, 0.256758, 0.222955, -0.124293, -0.396907, -0.151851,

-0.27091, 0.00951531, 0.203761, 0.720245, -0.834808, -0.084174, -0.258854}.

4.模型擬合的貼現(xiàn)函數(shù)、收益曲線、瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率曲線的圖像見圖1.

(a) 貼現(xiàn)函數(shù) (b)收益率曲線 (c)瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率曲線圖1 利率期限結(jié)構(gòu)的三個(gè)函數(shù)圖像

根據(jù)以上的結(jié)果可知，模型估計(jì)的貼現(xiàn)函數(shù)在0時(shí)的值幾乎等于1，符合現(xiàn)實(shí)的經(jīng)濟(jì)意義.貼現(xiàn)函數(shù)圖像呈現(xiàn)平穩(wěn)的單調(diào)遞減形狀，與經(jīng)濟(jì)學(xué)中貨幣的時(shí)間價(jià)值理論符合.估計(jì)的收益率曲線顯示，2013年1月11日，我國國債市場蘊(yùn)含的1年期左右的短期收益率偏高.但2年期及2年期以上的中長期收益率呈平穩(wěn)上升趨勢，符合利率假說的流動性偏好理論，也與我國資本市場的實(shí)際利率情況相符.瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率曲線也顯示市場預(yù)期未來2年以內(nèi)的短期收益率偏高，將有下降趨勢，未來2年后至至5年內(nèi)間的利率將顯著上升，而未來5年以后的利率將有先小幅下降再上升的趨勢.

4 與其他模型的比較

本節(jié)將本文采取的“等額現(xiàn)金流量法”與“等額債券數(shù)目法”及其衍生模型作比較，繪制了每一種模型的三種表示利率期限結(jié)構(gòu)的函數(shù)的圖像，并給出了每種模型對債券價(jià)格估計(jì)的三種誤差.

首先對表1所提供的數(shù)據(jù)，采用上述的“等額債券數(shù)目法”來決定節(jié)點(diǎn)向量，產(chǎn)生了三個(gè)對照模型1，2，3，用內(nèi)節(jié)點(diǎn)為{0,5,7,20}產(chǎn)生對照模型4，用內(nèi)節(jié)點(diǎn)為{0,5,8,20}產(chǎn)生對照模型5，用內(nèi)節(jié)點(diǎn)為{0,7,14,20}產(chǎn)生對照模型6.所有模型擬合的利率期限結(jié)構(gòu)圖像限于篇幅不在此一一列出.所有模型對債券價(jià)格的擬合誤差統(tǒng)一在表3中.

為了模型之間比較時(shí)在整個(gè)時(shí)間區(qū)間上的統(tǒng)一性，統(tǒng)一取所有模型中的T=20.誤差計(jì)算方法我們選用了常用的三種：

均方根誤差RMSE：

(7)

平均絕對誤差MAE：

(8)

百分比均方根誤差PRMSE：

(9)

誤差計(jì)算結(jié)果如表3.

表3 本文模型對債券價(jià)格的估計(jì)誤差

從擬合的利率期限結(jié)構(gòu)圖形來看，本文模型擬合的三條曲線也比較合理，基本符合實(shí)際經(jīng)濟(jì)含義，不足之處在于遠(yuǎn)期瞬時(shí)利率曲線在末端點(diǎn)處有一定程度的偏離現(xiàn)象.對照模型4，5，6的收益率曲線在近端點(diǎn)的圖形不符合實(shí)際經(jīng)濟(jì)意義，對照模型6的收益率曲線和瞬時(shí)遠(yuǎn)期利率曲線都不符合實(shí)際經(jīng)濟(jì)含義，模型效果不佳. 對照模型5的三種圖形都很異常，而且所有對照模型在末端都有一定程度的偏離現(xiàn)象.而根據(jù)表3提供的對債券價(jià)格的擬合誤差來看，在三種誤差指標(biāo)中，本文模型都是最小的.綜上可知，本文所采用的“等額現(xiàn)金流量法”來確定樣條節(jié)點(diǎn)的技術(shù)是一種更好的選擇.

另外，我們還進(jìn)行了模型的穩(wěn)健性測試，采用了其他隨機(jī)抽取的交易日的數(shù)據(jù)，將本文模型和其他六種模型做比較，結(jié)果顯示，本文模型在不同的樣本數(shù)據(jù)情況下，表現(xiàn)穩(wěn)定，擬合的利率期限結(jié)構(gòu)基本符合現(xiàn)實(shí)情況，沒有出現(xiàn)劇烈的變動.在對債券價(jià)格的估計(jì)誤差上，本文模型在債券數(shù)目較多時(shí)占顯著優(yōu)勢，在債券數(shù)目較少時(shí)，本文模型處于中間水平.綜合兩方面情況，顯示本文模型是一個(gè)較好的選擇.

5 結(jié) 論

本文采用“等額現(xiàn)金流量法”來確定樣條節(jié)點(diǎn)向量，將債券的兩個(gè)本質(zhì)要素，附息時(shí)間點(diǎn)和現(xiàn)金流量大小結(jié)合到了模型中去，使得模型和實(shí)際經(jīng)濟(jì)情況更密切結(jié)合，更能揭示債券價(jià)格所蘊(yùn)含的利率期限結(jié)構(gòu).將本文模型的結(jié)果與采用“等額債券數(shù)目法”模型的三種結(jié)果、固定節(jié)點(diǎn)向量的三種模型結(jié)果統(tǒng)一作了比較.實(shí)證研究結(jié)果顯示，我們的方法在表示利率期限結(jié)構(gòu)的三種函數(shù)圖像上均具有良好的表現(xiàn)，總體上基本符合理論經(jīng)濟(jì)假說和實(shí)際經(jīng)濟(jì)情況.而對照的六種模型，三種函數(shù)的圖像都不同程度的出現(xiàn)了不符合實(shí)際經(jīng)濟(jì)情況的現(xiàn)象.

在對債券價(jià)格的估計(jì)誤差上，本文模型在債券數(shù)目越多時(shí)越能體現(xiàn)出其優(yōu)勢.造成這種現(xiàn)象的重要原因是樣本數(shù)據(jù)中債券數(shù)量的減少，使得總體時(shí)間上現(xiàn)金流時(shí)間點(diǎn)和現(xiàn)金流量都減少，從而提供的有實(shí)際意義的信息量減少，因而降低了本文模型的擬合效果.我國債券市場發(fā)展程度不夠，發(fā)行的債券數(shù)目總體較少，每個(gè)交易日有交易量的債券數(shù)目更少，因此使得本文模型的優(yōu)勢在實(shí)證研究中沒有充分體現(xiàn).如果借助債券市場發(fā)達(dá)國家的數(shù)據(jù)，在更多的債券價(jià)格作為樣本的情況下，可能會更好的體現(xiàn)我們模型的優(yōu)勢，這方面的實(shí)證研究還有待下一步工作來進(jìn)行.

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