郭亞慶

摘 要：本文從四方面淺析了音樂中的數(shù)學(xué)形式，并提出了技校數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中利用數(shù)學(xué)與音樂的微妙聯(lián)系提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要性。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)素養(yǎng) 音樂 數(shù)學(xué) 聯(lián)系

數(shù)學(xué)與音樂之間有怎樣的微妙聯(lián)系？為何西方音樂學(xué)院中作曲專業(yè)的學(xué)生一定要學(xué)習(xí)十分深?yuàn)W的高等數(shù)學(xué)？若干世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)與音樂兩個(gè)看似毫不相關(guān)的學(xué)科，一直被聯(lián)系在一起。

2500年前，哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯偶然發(fā)現(xiàn)：音響是否和諧與發(fā)聲體的體積有一定的比例關(guān)系，于是他從數(shù)學(xué)和聲學(xué)的角度去研究音樂節(jié)奏的和諧，發(fā)現(xiàn)聲音的質(zhì)的差別（如長(zhǎng)短，高低，輕重等）都是由發(fā)音體方面數(shù)量的差別所決定的。例如發(fā)音體（如琴弦）長(zhǎng)，聲音就長(zhǎng)；震動(dòng)速度快，聲音就高；震動(dòng)速度慢，聲音就低。因此，音樂的基本原則在數(shù)量關(guān)系，音樂節(jié)奏的和諧是由高低長(zhǎng)短輕重各種不同的音調(diào)，按照一定數(shù)量上的比例所組成的。畢達(dá)哥拉斯是用數(shù)的比例來表示不同音程的創(chuàng)始人，例如第八音程是1：2，第四音程是3：4，第五音程是2：3。之后，開普勒、歐拉、傅里葉等科學(xué)家都研究過音樂與數(shù)學(xué)的關(guān)系。

音樂雖然千姿百態(tài)，但都是由7個(gè)音符（音名）組成的，數(shù)字1～7在音樂中是神奇的數(shù)字。

一、樂譜書寫中有數(shù)學(xué)

在當(dāng)今，中國(guó)漢字記譜主要是用宮、商、角、清角（和）、徵、羽、變宮（變）分別來表示do、re、mi、fa、sol、la、si。

目前世界上通用的記譜法——五線譜是用五條橫線來記載音樂的一種記譜法，它的誕生至今已有1000 多年的歷史。五線譜是在五根等距離的平行線上，標(biāo)以不同時(shí)值的音符及其他記號(hào)來記錄音的高低、長(zhǎng)短的一種記譜方法。五線譜的五條線和五條線所形成的間，都是自下而上計(jì)算的。

簡(jiǎn)譜是記譜法的一種。由于它簡(jiǎn)單明了、通俗易懂，因此在我國(guó)廣泛流傳，有字母簡(jiǎn)譜和數(shù)字簡(jiǎn)譜兩種。數(shù)字簡(jiǎn)譜以1、2、3、4、5、6、7代表音階中的7個(gè)基本音級(jí)，讀音為do、re、mi、fa、sol、la、si，休止以0表示。

二、鋼琴鍵盤上有數(shù)學(xué)

常見的鋼琴共有88個(gè)鍵，在鋼琴鍵盤上任何兩個(gè)相鄰的、具有相同名稱的音都稱為八度，共包括13個(gè)鍵，其中8個(gè)白鍵和5個(gè)黑鍵。5個(gè)黑鍵分成兩組，一組有2個(gè)黑鍵，一組有3個(gè)黑鍵，2、3、5、8、13恰好就是著名的斐波那契數(shù)列中的前幾個(gè)數(shù)。（n≧2）

用文字來說，就是費(fèi)波那契數(shù)列由0和1開始，之后的費(fèi)波那契系數(shù)就由之前的兩數(shù)相加。開普勒發(fā)現(xiàn)數(shù)列前、后兩項(xiàng)之比1/2，2/3，3/5，5/8 ，8/13，13/21，21/34，……也組成了一個(gè)數(shù)列，趨近黃金分割0.618。

除了鋼琴外，笛子，吉他等都與數(shù)學(xué)有關(guān)聯(lián)，因?yàn)槊糠N聲音的發(fā)出都與曲線的頻率、振幅和周期函數(shù)的形狀有關(guān)。

三、樂曲中有數(shù)學(xué)

談到樂曲的編寫，就一定要提到數(shù)學(xué)家傅里葉以及他的傅里葉變換與級(jí)數(shù)理論。正是這些偉大的發(fā)現(xiàn)讓我們知道了，每種聲音的發(fā)出與曲線的頻率、振幅和周期函數(shù)（正弦和余弦函數(shù)）的形狀都有關(guān)。只有將這些元素巧妙地融合起來，才能組成美妙悅耳的樂曲。通過對(duì)貝多芬的《月光》第一到第三樂章的分析得出：第一樂章69小節(jié)，主題從43小節(jié)開始再現(xiàn)，43/69=0.62；第二樂章96小節(jié)，主題從61小節(jié)開始再現(xiàn)，61/96=0.63。計(jì)算結(jié)果顯示，樂曲非常接近黃金分割。

在樂曲的編寫中，常常采用平移和對(duì)稱的方法。平移實(shí)際上就是音樂中的反復(fù)。如我們熟悉的《國(guó)家》《歡樂頌》中的章節(jié)就是用了樂曲的平移來表達(dá)的。

四、大自然的音樂中有數(shù)學(xué)

在自然界中，有些昆蟲的鳴叫聲也與數(shù)學(xué)息息相關(guān)。例如，溫度會(huì)影響蚱蜢和蟋蟀鳴叫的頻率。雪白的樹蟋蟀被稱為“溫度計(jì)”，因?yàn)榘堰@種蟋蟀在15秒之內(nèi)鳴叫的次數(shù)加上40，大約就是當(dāng)時(shí)的華氏溫度。用數(shù)學(xué)表達(dá)式轉(zhuǎn)換為攝氏溫度為：t=（N+8）×（N為蟋蟀鳴叫的次數(shù)）。

另外，數(shù)學(xué)和音樂在其他方面也有聯(lián)系：二者都離不開靈感。樂曲創(chuàng)作和數(shù)學(xué)家們的發(fā)現(xiàn)及數(shù)學(xué)問題的解答都離不開靈感。法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒就是連做了數(shù)日夢(mèng)之后，醒來進(jìn)行整理，最終創(chuàng)立了解析幾何學(xué)。音樂家的靈感就是將當(dāng)時(shí)的心情覺受化作音樂的形式存現(xiàn)于世，有了靈感，就有了創(chuàng)作激情，就能創(chuàng)作出優(yōu)秀的音樂作品。

既然數(shù)學(xué)與音樂有如此美妙的聯(lián)系，為何我們不沉浸在《梁?！穬?yōu)美動(dòng)聽的旋律中，或置身于昆蟲鳴叫的田野里，靜下心來思考數(shù)學(xué)與音樂的微妙的內(nèi)在聯(lián)系呢？

把素質(zhì)教育貫徹于數(shù)學(xué)教學(xué)之中，將這方面的素材經(jīng)過加工滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中，以提高學(xué)生的整體素質(zhì)，將是擺在廣大技校數(shù)學(xué)教師面前的一項(xiàng)重要的任務(wù)。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉衛(wèi)峰，王尚古.數(shù)學(xué)與音樂[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2005（4）.

（作者單位：江西省輕工業(yè)高級(jí)技工學(xué)校）endprint