有趣的自然對(duì)數(shù)

周繼振， 許 峰

(安徽理工大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，安徽淮南232001)

1 對(duì)數(shù)的歷史和自然對(duì)數(shù)

現(xiàn)在的高中數(shù)學(xué)教課書，都是先介紹指數(shù)函數(shù)，然后以指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)形式來介紹對(duì)數(shù)函數(shù). 但歷史的次序恰好相反，那就是先出現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)，然后以對(duì)數(shù)函數(shù)反函數(shù)的形式研究指數(shù)函數(shù). 其中，自然對(duì)數(shù)的出現(xiàn)，與數(shù)學(xué)分析的發(fā)展密不可分.

對(duì)數(shù)函數(shù)的基本思想萌芽于古希臘阿基米德時(shí)代，產(chǎn)生于16世紀(jì)，完善于18世紀(jì). 15和16世紀(jì)天文學(xué)的飛速發(fā)展需要對(duì)很多的數(shù)據(jù)進(jìn)行乘、除、乘方和開方運(yùn)算，繁難的運(yùn)算使得科學(xué)家迫切需要找到一種簡(jiǎn)便的計(jì)算方法，對(duì)數(shù)的出現(xiàn)有了歷史的需要. 第一個(gè)對(duì)對(duì)數(shù)的產(chǎn)生做出了實(shí)質(zhì)性貢獻(xiàn)的是德國(guó)數(shù)學(xué)家史蒂非，他的發(fā)現(xiàn)為對(duì)數(shù)的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ). 1617年，英國(guó)天文愛好者兼數(shù)學(xué)家納皮爾出版了《奇妙的對(duì)數(shù)定理的說明書》， 標(biāo)志著對(duì)數(shù)理論的產(chǎn)生. 與納皮爾幾乎同時(shí)獨(dú)立發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)的還有瑞士的一個(gè)鐘表匠比爾吉，他用了8年時(shí)間編出了世界上最早的對(duì)數(shù)表，但他長(zhǎng)期不發(fā)表它. 直到1620年，在開普勒的懇求下才發(fā)表出來，這時(shí)納皮爾的對(duì)數(shù)已聞名全歐洲了.

大名鼎鼎的牛頓后來也研究過對(duì)數(shù). 現(xiàn)在的對(duì)數(shù)記號(hào)是大數(shù)學(xué)家歐拉在1748年引入的，他首先開始了對(duì)指數(shù)函數(shù)做深入的研究. 復(fù)變函數(shù)的建立，使得人們對(duì)對(duì)數(shù)有了徹底的了解.

設(shè)a,x>0，以a為底的x對(duì)數(shù)函數(shù)可表示為logax.自然對(duì)數(shù)就是底a取e，其中e是一個(gè)超越無理數(shù)，約為2.71828. e可以通過對(duì)數(shù)列取極限得到，即

自然對(duì)數(shù)有一個(gè)專用記號(hào)：ln，其中l(wèi)和n分別是log和natural的第一個(gè)字母.

2 自然對(duì)數(shù)與積分

積分的幾何意義告訴我們，由曲線y=1/x，x=1，x=x>0和x軸所圍成的圖形面積可以用積分

(1)

來表示. 顯然(1)是一個(gè)變上限函數(shù)，1/x的原函數(shù)是自然對(duì)數(shù)函數(shù). 為什么(1)式就是一個(gè)自然對(duì)數(shù)呢，我們需要證明它滿足對(duì)數(shù)的主要性質(zhì)：

F(a)+Fb=Fab.

(2)

下面來證明(2)式是成立的.

根據(jù)變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以得到

(3)

下面令a>0，記w=f(x)=ax，記G(x)=F(ax)=F(w). 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的復(fù)合求導(dǎo)法則可得G′(x)=F′(w)f′(x)，考慮到(3)式和f′(x)=a可得

這就證明了F(x)和G(x)有相同的導(dǎo)數(shù). 根據(jù)拉格朗日中值定理可得F(x)和G(x)之間僅相差一個(gè)常數(shù)C，即

G(x)=F(x)+C.

為了求出常數(shù)C，只要令x=1. 由定義(1)，可得F(1)=0，這是因?yàn)樗x的積分在x=1處上、下限相等. 故得到C=F(a). 所以對(duì)任何的x>0，可得

F(ax)=F(a)+F(x).

(4)

再次令x=b，可得到公式(2).

特別地，令a=x，可依次得到

lnx2=2lnx,

lnx3=3lnx,

……

lnxn=nlnx.

上式說明，當(dāng)x的值遞增時(shí)，lnx的值趨于無窮. 另一方面，注意到對(duì)任意的x，有

由此可得公式

(5)

最后，對(duì)任何的有理數(shù)r=p/q，這里p，q是兩個(gè)互質(zhì)的整數(shù)，容易得到

qlnxr=lnxq r=lnxp=plnx.

這就給出了

lnxr=rlnx.

(6)

注意到無理數(shù)可以用一列有理數(shù)來逼近且lnx是連續(xù)函數(shù)，故對(duì)任意的實(shí)數(shù)r，(6)式都是成立的.

顯然，ln1=0. 因?yàn)閘nx是x的單調(diào)連續(xù)函數(shù)，當(dāng)x增大時(shí)lnx趨于無窮. 根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介質(zhì)定理，必然存在一個(gè)大于1的數(shù)，使得當(dāng)x取此值時(shí)lnx=1. 按照歐拉的作法，這個(gè)數(shù)稱為e. 這樣從方程

ln e=1

(7)

出發(fā)，我們得到了e必然存在這一事實(shí).

3 自然對(duì)數(shù)與素?cái)?shù)分布

數(shù)論一直是數(shù)學(xué)的核心研究?jī)?nèi)容之一，高斯稱數(shù)論是數(shù)學(xué)的皇后，數(shù)論中最基本、最重要的一類問題是素?cái)?shù)問題. 若大于1的正整數(shù)p，它除了1和自身外沒有因子，則稱p是素?cái)?shù). 我們需要對(duì)因子作一點(diǎn)說明，設(shè)有三個(gè)正整數(shù)a，b和c，若滿足a=bc，則稱整數(shù)b是整數(shù)a的因子或除數(shù). 例如2,3,5,7是素?cái)?shù)，但6就不是素?cái)?shù)，因?yàn)?有2和3兩個(gè)因子. 關(guān)于素?cái)?shù)的猜想中，最著名的莫過于哥德巴赫猜想，該猜想的內(nèi)容是大于2的任意一個(gè)偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和. 簡(jiǎn)單的可以將哥德巴赫猜想陳述為1+1=2，該猜想的最好結(jié)果是有中國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)證明的1+2=3，就是說：每一個(gè)充分大的偶數(shù)是一個(gè)素?cái)?shù)和另一個(gè)至多為2素?cái)?shù)乘積的和. 關(guān)于素?cái)?shù)的問題中，人們自然要問素?cái)?shù)有多少個(gè)，歐幾里得給出的答案是：無窮多個(gè). 歐幾里得用的證明是數(shù)學(xué)推理的一個(gè)典范. 素?cái)?shù)盡管有無窮多個(gè)，但是它的分布卻是極不規(guī)則的，見本節(jié)最后的一個(gè)結(jié)論. 對(duì)于自然數(shù)n，用An表示整數(shù)1,2,3，…，n中素?cái)?shù)的個(gè)數(shù). 直接計(jì)算可得An的前幾個(gè)值：A5=A6=3，A7=A8=A9=A10=4，A11=A12=5，A13=A14=A15=A16=6，A17=A18=7，A19=8等等.

可以看到，隨著n的增大，An也是增大的，但增長(zhǎng)的比較緩慢. 若取n為一個(gè)無限遞增的序列，例如

n=10, 102, 103,…，

則其對(duì)應(yīng)的An的值A(chǔ)10,A102,A103,…，它也無限增加. 因?yàn)樗財(cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無限的，所以An將趨向于無窮. 若用比值A(chǔ)n/n表示前n個(gè)自然數(shù)中素?cái)?shù)的“密度”，讓人意想不到的是該 “密度”和對(duì)數(shù)函數(shù)有密切的聯(lián)系. 數(shù)學(xué)王子高斯通過手工計(jì)算，發(fā)現(xiàn)了素?cái)?shù)定理，即

(8)

這個(gè)比值所服從的簡(jiǎn)單規(guī)律，是整個(gè)數(shù)學(xué)中最著名的發(fā)現(xiàn)之一. 但高斯沒有給出該定理的證明，直到一百多年后，阿達(dá)瑪和瓦萊·布桑才給出定理的一個(gè)完整證明. 由(8)式可以得到一個(gè)結(jié)論：對(duì)任意給定的正整數(shù)m，必存在一個(gè)自然數(shù)k0，使得k0+1,k0+2,…,k0+m中不含素?cái)?shù). 實(shí)際上，假設(shè)這樣的k0不存在，則對(duì)任意自然數(shù)k，k+1,k+2,…,k+m中都至少含有一個(gè)素?cái)?shù). 故對(duì)任意的整數(shù)j，1到j(luò)m中至少含有j個(gè)素?cái)?shù). 這就給出了估計(jì)：

所以，

這與(8)式是矛盾的.

4 自然對(duì)數(shù)與調(diào)和級(jí)數(shù)

則當(dāng)n→∞時(shí)，sn和lnn僅相差一個(gè)常數(shù)，下面給出證明. 利用微積分的基本知識(shí)容易證明不等式

(9)

根據(jù)(9)式的右端不等式得

由(9)式的左端不等式得

由上面的兩個(gè)估計(jì)式得

lnn+1

根據(jù)微積分中的夾逼準(zhǔn)則可得

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 柯朗 R，羅賓 H. 什么是數(shù)學(xué)[M].斯圖爾特·I修訂. 左平，張飴慈譯.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，2005：579-582.

[2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析[M]. 4版. 北京:高等教育出版社，2010：3-4.