王雪明 曹占營(yíng)

摘 要：在我國(guó)的歷史上，鼠疫、霍亂、天花等頻頻流行； 瘧疾、血吸蟲(chóng)病、黑熱病、梅毒等廣泛存在，給人民的生活帶來(lái)深重的災(zāi)難.這些傳染病和一些新出現(xiàn)的傳染病都來(lái)勢(shì)兇猛，危害著人們的健康，如AIDS、SARS等.因此， 研究傳染病動(dòng)力學(xué)模型有重要意義.本文主要目的是研究無(wú)垂直傳染及無(wú)因病死亡的標(biāo)準(zhǔn)的SIR傳染病模型。

關(guān)鍵詞：無(wú)垂直傳染；SIR傳染病模型；垂直

早期的傳染病模型大多假設(shè)種群總數(shù)為常數(shù)或者漸近常數(shù)，在某些條件下是合理的，如：疾病在種群中傳播速度很快且在短期內(nèi)沒(méi)有出生和死亡或出生率和死亡率能夠相互平衡、環(huán)境封閉等。但在實(shí)際問(wèn)題中，不論是動(dòng)物或者是植物的數(shù)量總是隨著外界擾動(dòng)而發(fā)生波動(dòng)。因此，假設(shè)總?cè)丝诖笮槌?shù)是不合理的，需要研究總?cè)丝诰哂蟹N群動(dòng)力學(xué)的傳染病模型。關(guān)于這類模型已被Anderson和May（1979）在實(shí)驗(yàn)室所驗(yàn)證，還有 McNeill（1976）也研究疾病對(duì)人類總?cè)丝诘挠绊?從數(shù)學(xué)上看，這類模型的研究更加困難，因?yàn)榭側(cè)丝诘淖兓黾恿朔匠痰木S數(shù)。

一、無(wú)垂直傳染及無(wú)因病死亡的標(biāo)準(zhǔn)的SIR傳染病模型

（1.11）

其中b為出生率，d為死亡率，α為恢復(fù)率。

令s=，i=，r=，可行域?yàn)?/p>

Ω={s≥0，i≥0，r≥0，s+i+r=1}

則方程變?yōu)?/p>

（1.12）

這里s+i+r=1。

由于系統(tǒng)（1.12）前兩個(gè)方程中不含變量，所以我們?nèi)绻麅H關(guān)心疾病是否流行，則可以僅從前兩個(gè)方程來(lái)研究s與的性態(tài)，若需要了解的性態(tài)可再由第三個(gè)方程討論。

由前兩個(gè)方程構(gòu)成的平面系統(tǒng)為

（1.13）

其中（s，i）∈D{（s，i）│0≤s≤1，0≤i≤1，s+i≤1}

為求系統(tǒng)（1.13）的平衡點(diǎn)，令其右端為0，從而求出可能的兩組解

，0

， ，

二、主要結(jié)論

令R0=則當(dāng)R0<1時(shí)，疾病逐漸消失。當(dāng)R0>1時(shí)，疾病將流行且最終成地方病。當(dāng)R0=1是區(qū)分疾病是否消失的閥值。

參考文獻(xiàn)：

[1] 楊光. SIR傳染病數(shù)學(xué)模型的隔離控制[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2009，24（3）：479-483.

[2] 王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松. 常微分方程.第三版[M].北京：高等教育出版社，2006.