河道型低滲透儲層有限導(dǎo)流垂直裂縫井動態(tài)特征

王家航，侯曉春，王曉冬，王 磊，董文秀，李 磊

（1.中國地質(zhì)大學(xué)（北京） 能源學(xué)院，北京 100083；2.中國地質(zhì)大學(xué)（北京）能源學(xué)院非常規(guī)天然氣能源地質(zhì)評價與開發(fā)工程北京市重點實驗室，北京 100083）

河道型低滲透儲層有限導(dǎo)流垂直裂縫井動態(tài)特征

王家航1，侯曉春1，王曉冬1，王 磊1，董文秀2，李 磊1

（1.中國地質(zhì)大學(xué)（北京） 能源學(xué)院，北京 100083；2.中國地質(zhì)大學(xué)（北京）能源學(xué)院非常規(guī)天然氣能源地質(zhì)評價與開發(fā)工程北京市重點實驗室，北京 100083）

低滲透儲層內(nèi)考慮啟動壓力梯度的流體滲流過程中，動邊界的傳播規(guī)律反映儲層的動用范圍，并影響井底壓力動態(tài).建立河道型低滲儲層考慮啟動壓力梯度和存在動邊界的有限導(dǎo)流垂直裂縫井雙線性流滲流數(shù)學(xué)模型，通過Laplace變換，得到動邊界傳播方程和地層流體壓力分布方程；在Laplace變換域中，運用牛頓迭代和Stehfest數(shù)值反演方法計算獲得井底壓力分布特征、動邊界傳播規(guī)律及產(chǎn)能動態(tài)曲線.結(jié)果表明：啟動壓力梯度越大，動邊界傳播越慢、壓力損失越大、井產(chǎn)量下降越快；定產(chǎn)條件下，裂縫導(dǎo)流能力越大，壓力損失越小；裂縫導(dǎo)流能力對動邊界傳播影響較??；定壓條件下，動邊界存在最大值.由壓力分布特征和動邊界范圍確定單井最大動用面積，對實際生產(chǎn)具有指導(dǎo)意義.

啟動壓力梯度；動邊界；有限導(dǎo)流垂直裂縫；雙線性流動；壓力分析

0 引言

通過對低滲透儲層中油氣井進行壓裂而形成垂直裂縫，可改變近井地層流體滲流方式，提高地層能量的利用率和動用面積[1].低滲透儲層滲流規(guī)律特殊，通常需要考慮啟動壓力梯度和動邊界傳播等非線性滲流問題，分析求解比較復(fù)雜.

在低滲透儲層中，對考慮啟動壓力梯度的不穩(wěn)定滲流問題的分析和求解非常復(fù)雜.Prats M[2-3]、劉慈群[4-6]、鄧英爾[7-8]等將裂縫抽象為一個細(xì)長橢圓，并采用橢圓坐標(biāo)建立不穩(wěn)態(tài)滲流數(shù)學(xué)模型.橢圓坐標(biāo)數(shù)學(xué)模型的精確求解采用Mathieu方程和周期Mathieu函數(shù)，計算過程繁瑣，不易完成；考慮啟動壓力梯度，進一步增加控制方程組的非線性，劉慈群等[4-6]利用影響橢圓近似求解該問題取得較好效果.對于有限導(dǎo)流垂直裂縫井的不穩(wěn)態(tài)滲流分析，采用雙線性流動[9]或三線性流動模型[10]，可避免求解地層流動和裂縫流動的耦合積分方程而得到近似解.模型對于泄流面積較大、幾何形狀較為規(guī)則的儲層，近似解能夠以解析形式給出早期線性流動情況，不能給出中期徑向流動情況.考慮一種河道型低滲透儲層，該儲層—水力裂縫系統(tǒng)可由雙線性流動模型模擬.通過改進無量綱壓力定義[11]，解析求解一維不定常滲流控制方程組，得到動邊界運動方程、壓力分布和產(chǎn)能公式，進而獲得有限導(dǎo)流垂直裂縫井動邊界傳播規(guī)律，指導(dǎo)油田實際生產(chǎn).

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 物理模型

在河道型均質(zhì)各向同性儲層中心，有一口帶有垂直裂縫的生產(chǎn)井，裂縫垂向貫穿儲層（見圖1），儲層厚度為h，裂縫寬度為w，裂縫半長為yf，儲層長度為x.當(dāng)裂縫井以常流量產(chǎn)出微可壓縮流體時，忽略重力和毛管力影響，流體流動形式為低速非達西滲流.由于儲層狹長、裂縫穿透長度較大，在滲流過程中垂直于裂縫壁面方向上的線性流動占主導(dǎo)地位，可采用雙線性復(fù)合流動模型進行模擬.

圖1 垂直裂縫井剖面Fig.1 Corss-section of a vertical fractured well

1.2 初始條件

對于定井底流量和定流壓生產(chǎn)，分別定義無量綱井底壓力pD為

式中：K為儲層滲透率；q為井產(chǎn)量；μ為流體黏度；B為流體體積系數(shù)；p為地層壓力；pi為原始地層壓力；pwf為井底流壓；φ為儲層孔隙度；ct為流體壓縮系數(shù)；xm為壓力擾動外邊界；λ為啟動壓力梯度；xD為無量綱x方向距離，xD=x/yf；λD為無量綱啟動壓力梯度.

定義無量綱時間tD、無量綱動邊界位置xmD、無量綱裂縫寬度wfD和無量綱裂縫導(dǎo)流能力cfD為

式中，t為延續(xù)生產(chǎn)時間；wf為裂縫寬度.

1.2.1 地層低速非達西滲流

設(shè)井位于矩形中心，且井點處為坐標(biāo)原點，考慮對稱性，地層線性流動控制方程為

初始條件為

式中：yD為無量綱y方向距離.

動邊界條件為

內(nèi)邊界條件為

式中：pfD為無量綱裂縫井底壓力.式（1）-（6）構(gòu)成帶有動邊界的地層一維滲流控制方程組.

1.2.2 裂縫線性流動

裂縫線性流動控制方程為

對于定井底流量和流壓生產(chǎn)，內(nèi)邊界方程分別為

裂縫中的流量分布qfD為

式（7）-（9）構(gòu)成裂縫滲流的控制方程組，它需要與地層滲流方程組耦合求解.

2 模型求解

首先，通過Laplace變換求解地層流體流動模型，得到地層流體的壓力分布為

地層條件下的壓力傳播的動邊界方程為

式（8）兩邊對xD求偏導(dǎo)，得：

然后，對式（7）-（9）做Laplace變換，并將式（12）代入式（7），得到拉氏空間的控制方程組：

井底定流量和定流壓時的內(nèi)邊界條件為

將式（14）帶入式（13），得到：

（1）井底定流量生產(chǎn)時的井底壓力及動邊界方程為

（2）井底定流壓生產(chǎn)時的地層壓力、井底產(chǎn)量及動邊界方程為

3 動態(tài)特征影響因素

分析井底壓力動態(tài)特征和井產(chǎn)量遞減特征時需求解動邊界方程.因為儲層存在裂縫，計算時需考慮裂縫導(dǎo)流能力對井底壓力及井產(chǎn)量的影響.

設(shè)一口有限導(dǎo)流垂直裂縫井，模擬基本參數(shù)：B=1.0 m3/m3；μ=1.0 mPa·s；K=3.0×10-3μm2；h=10.0 m；w=5.0 m；φ=0.2；cf=0.005 MPa-1.當(dāng)無量綱啟動壓力梯度λD=5，無量綱裂縫導(dǎo)流能力cfD=200時，由式（19）可得在井底定壓生產(chǎn)條件下，裂縫不同位置處動外邊界隨時間的傳播規(guī)律（見圖2）.

圖2 定壓條件下動邊界傳播規(guī)律Fig.2 The propagation of moving boundary in the condition of constant pressure

由圖2可見，當(dāng)無量綱時間tD分別為10-6、10-5、10-4、10-3、10-2、10-1和102時，在定井底流壓生產(chǎn)情況下，在生產(chǎn)初期，裂縫中點和邊緣處的動邊界傳播速度不同，裂縫中點處動邊界傳播速度最快，邊緣處相對較慢；隨著時間的延續(xù)，動邊界不斷擴展，整體呈坡錐的曲線形狀，直到達到最大動邊界面后停止傳播.

3.1 定產(chǎn)條件

3.1.1 無量綱啟動壓力梯度和裂縫導(dǎo)流能力對動邊界的影響

固定井底產(chǎn)量條件下，無量綱啟動壓力梯度和裂縫導(dǎo)流能力對動邊界傳播的影響見圖3.由圖3（a）可見，當(dāng)無量綱導(dǎo)流能力cfD為10π、無量綱啟動壓力梯度λD分別為0.100、1.000和5.000時，無量綱動邊界xmD在雙對數(shù)坐標(biāo)下呈良好的線性關(guān)系，且無量綱啟動壓力梯度λD越大，相同時刻動邊界傳播距離越短，傳播速度越慢；由圖3（b）可見，當(dāng)無量綱啟動壓力梯度λD為0.010、無量綱裂縫導(dǎo)流能力cfD分別為π、10π和50π時，無量綱裂縫導(dǎo)流能力僅在生產(chǎn)初始階段對動邊界的傳播有較小影響，隨著時間延長，影響很快消失，且影響很小可被忽略，因此，裂縫可被視為均勻流量裂縫.

圖3 固定產(chǎn)量條件下無量綱啟動壓力和裂縫導(dǎo)流能力對動邊界的影響Fig.3 The effect of TPG and fracture conductivity to the dimensionless moving boundary propagation under the condition of constant production

3.1.2 無量綱啟動壓力梯度和無量綱裂縫導(dǎo)流能力對井底壓力/壓力導(dǎo)數(shù)的影響

固定井底產(chǎn)量條件下，無量綱啟動壓力梯度和無量綱裂縫導(dǎo)流能力對井底壓力/壓力導(dǎo)數(shù)的影響見圖4.圖4井底壓力/壓力導(dǎo)數(shù)與時間雙對數(shù)曲線中，實線為壓力時間關(guān)系，虛線為壓力導(dǎo)數(shù)時間關(guān)系.圖中可見，同一時刻下，當(dāng)無量綱導(dǎo)流能力cfD為10π時，無量綱啟動壓力梯度λD越大，無量綱壓力pD越大，表明無量綱啟動壓力梯度引起附加壓力損失（見圖4（a））.當(dāng)無量綱啟動壓力梯度λD為0.010時，早期反映斜率為1/4的裂縫與地層間的雙線性流特征；隨著流體流動時間延長，曲線反映斜率為1/2的地層線性流特征；無量綱裂縫導(dǎo)流能力cfD越大，無因次壓力/壓力導(dǎo)數(shù)越小，表明早期壓力消耗越小，壓力變化緩慢（見圖4（b））.

圖4 固定產(chǎn)條件下無量綱啟動壓力梯度和裂縫導(dǎo)流能力對井底壓力/壓力導(dǎo)數(shù)的影響Fig.4 The effect of TPG and fracture conductivity to the dimensionless pressure/pressure derivative under the condition of constant production

3.2 定壓條件

3.2.1 無量綱啟動壓力梯度對無量綱動邊界的影響

當(dāng)無量綱裂縫導(dǎo)流能力cfD為30時，定壓條件下無量綱啟動壓力梯度對動邊界的影響見圖5.由圖5可見，當(dāng)無量綱啟動壓力梯度分別為0.100、1.000和5.000時，隨著無量綱啟動壓力的增大，無量綱動邊界傳播距離減小.此外，隨著生產(chǎn)時間的延長，無量綱動邊界傳播距離逐漸增大，壓力擾動范圍增大，傳播速度減慢.時間很大時，對式（19）化簡近似可得：當(dāng)無量綱動邊界與無量綱啟動壓力梯度滿足xmD=1.0/λD時動邊界停止傳播，單井最大動用面積為A=yf（pi-pwf）/λ.

3.2.2 無量綱啟動壓力梯度對產(chǎn)能的影響

當(dāng)無量綱裂縫導(dǎo)流能力cfD為30時，定壓條件下無量綱啟動壓力梯度對產(chǎn)量的影響見圖6.由圖6可見，井產(chǎn)量隨生產(chǎn)時間延長而下降.當(dāng)無量綱啟動壓力梯度分別為0、0.001、0.100、1.000和5.000時，在生產(chǎn)初期，產(chǎn)量下降幅度較小，雙對數(shù)曲線反映斜率為-1/2特征；隨著生產(chǎn)時間延長，相同時刻無量綱啟動壓力梯度越大，產(chǎn)量下降幅度越大.

圖5 定壓條件下無量綱啟動壓力梯度對無量綱動邊界的影響Fig.5 The effect of TPG to the moving boundary under

圖6 定壓條件下無量綱啟動壓力梯度對井產(chǎn)量的影響Fig.6 The effect of TPG to the well production under the condition of constant pressure the condition of constant pressure

3.2.3 不同時間和啟動壓力梯度下的井底壓力剖面

將式（17）量綱化，分別得到低滲透地層垂直裂縫井定井底流壓條件下，當(dāng)裂縫導(dǎo)流能力為4.5×10-3μm2·m時，不同時間和啟動壓力梯度的壓力剖面（見圖7），圖7（a）中實線表示啟動壓力梯度λ為0.020 0 MPa/m，虛線表示啟動壓力梯度為0 MPa/m.由圖7可見，隨著生產(chǎn)時間的增加，壓力波及范圍不斷擴大；低滲透地層中流體受啟動壓力梯度影響，其壓力曲線與未受啟動壓力梯度影響的地層流體壓力曲線相交，且啟動壓力梯度阻礙壓力傳播（見圖7（a））；啟動壓力梯度越大，壓力傳播速度越慢，壓力波及距離越小，壓降漏斗越陡（見圖7（b））.

圖7 定壓條件下不同時間和啟動壓力梯度時的壓力剖面Fig.7 The pressure cross-section of different time and TPG under the condition of constant pressure

4 實例分析

以文中推導(dǎo)的考慮啟動壓力梯度和裂縫導(dǎo)流能力的雙線性滲流時間—壓力關(guān)系解析方程（見式15）為基礎(chǔ)，繪制有限導(dǎo)流垂直裂縫井雙對數(shù)曲線，以曲線作為解釋圖版，利用實際測試資料擬合方法，獲得垂直裂縫井所在特低、低滲透儲層的滲透率、裂縫導(dǎo)流能力、裂縫半長及啟動壓力梯度等參數(shù).

以現(xiàn)場實際生產(chǎn)井A井為例，對A井的特低滲透層F110層進行壓裂后壓力恢復(fù)測試，根據(jù)測試資料繪制的壓力恢復(fù)雙對數(shù)曲線具有明顯的裂縫特征（見圖8）.

利用基于文中推導(dǎo)繪制曲線圖版，結(jié)合該井和油藏的基本參數(shù)對現(xiàn)場實測壓力恢復(fù)曲線進行解釋，得到A井生產(chǎn)儲層參數(shù)：滲透率為3.086×10-3μm2，裂縫導(dǎo)流能力為1.538μm2·m，裂縫半長為210 m，啟動壓力梯度為0.020 3 MPa/m.由圖8可見，曲線擬合效果良好，該井取得較好壓裂效果.

圖8 A井雙對數(shù)擬合曲線Fig.8 Double logarithmic curves of well A

5 結(jié)論

（1）利用雙線性流模型建立考慮啟動壓力梯度影響的低滲透無限大油藏滲流模型，分別得到井底定產(chǎn)量及定流壓條件下不同啟動壓力梯度、導(dǎo)流能力的動邊界傳播規(guī)律，以及井底壓力、儲層壓力分布剖面和井底產(chǎn)量圖.

（2）對于動邊界傳播，啟動壓力梯度越大，動邊界傳播越慢.對于固定井底產(chǎn)量條件，裂縫導(dǎo)流能力僅在初始階段對動邊界的傳播有較小影響，裂縫導(dǎo)流能力越大，壓力損耗越??；隨著時間的延長，裂縫導(dǎo)流能力對動邊界傳播的影響小，可忽略不計，裂縫在計算時可視為均勻流量裂縫.

（3）對于固定井底流壓條件，動邊界隨著時間的延長向外傳播，裂縫中點處動邊界傳播速度最快，兩邊逐漸遞減，整體呈坡錐型曲線，達到最大動外邊界后停止傳播；當(dāng)最大無量綱動邊界滿足xmD=1.0/λD時，單井最大動用面積為yf（pi-pwf）/λ；啟動壓力梯度越大，壓降漏斗越陡，產(chǎn)量遞減速度越快.

（4）雙線性流模型較好地反映流體在低滲儲層垂直裂縫井地層及裂縫中的流動，利用典型曲線擬合方法對現(xiàn)場實測資料進行擬合并解釋，獲得儲層滲透率、裂縫導(dǎo)流能力和裂縫半長等動態(tài)參數(shù)，文中方程與實際有限導(dǎo)流垂直裂縫井情況較為符合.

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TE348

A

2095-4107（2014）04-0072-08

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2014.04.011

2014-01-06；

張兆虹

國家科技重大專項（2011ZX05013-004，2011ZX05009-002）

王家航（1988-），男，碩士研究生，主要從事油氣田開發(fā)方面的研究.