李 衍，王學(xué)金，魏佳麗

基于不同假設(shè)的權(quán)益聯(lián)結(jié)型年金的準(zhǔn)備金研究

李 衍，王學(xué)金，魏佳麗

準(zhǔn)備金的提留是研究壽險(xiǎn)產(chǎn)品的一個(gè)重要課題，以權(quán)益聯(lián)結(jié)型年金產(chǎn)品中的最低期滿利益保證年金為研究對(duì)象，假定標(biāo)的權(quán)益服從一個(gè)隨機(jī)波動(dòng)性模型,得到了最低期滿利益保證年金在 分位數(shù)下的準(zhǔn)備金的顯式表達(dá)式，然后在其基礎(chǔ)上分別研究了嵌入動(dòng)態(tài)提款權(quán)的最低保證收益型年金和考慮死亡風(fēng)險(xiǎn)的最低保證收益型年金的準(zhǔn)備金，并以 2012年深成指日交易收盤價(jià)數(shù)據(jù)為樣本對(duì)對(duì)數(shù)收益率進(jìn)行了基本統(tǒng)計(jì)分析，最后對(duì)三種不同權(quán)益聯(lián)結(jié)型年金的準(zhǔn)備金進(jìn)行了比較分析。

隨機(jī)波動(dòng)模型；最低期滿利益保證年金；動(dòng)態(tài)提款權(quán)；死亡風(fēng)險(xiǎn)；分位數(shù)準(zhǔn)備金

近年來，隨著收入水平的提高，投資者的投資需求不斷增加，保險(xiǎn)市場(chǎng)上的一些傳統(tǒng)理財(cái)產(chǎn)品已經(jīng)無法滿足投資者的投資需求，于是各種新型的年金產(chǎn)品應(yīng)運(yùn)而生，權(quán)益聯(lián)結(jié)型年金就是其中的一種。權(quán)益聯(lián)結(jié)型年金產(chǎn)品的定價(jià)問題近年來已被國內(nèi)外學(xué)者們做了相當(dāng)充分的研究，僅以EIA為例，Serena Tiong[1]通過 Esscher 變換給出了傳統(tǒng)的 EIA的定價(jià)公式；Imai 和 Boyle[2]提出了動(dòng)態(tài)最低保證收益率，并在最低保證收益率是變化的情況下得到了EIA的定價(jià)公式；Virginia R.Young[3]通過均衡效用理論討論了 EIA 的定價(jià)問題；王學(xué)金和王傳玉[4]在假定死亡率帶跳情形下，得到對(duì)應(yīng)的 EIA的定價(jià)公式，并將其與經(jīng)典Lee-Carter死亡率模型下的結(jié)果進(jìn)行了比較分析。同樣地，近年來關(guān)于權(quán)益聯(lián)結(jié)型年金產(chǎn)品的準(zhǔn)備金提留的研究也開始流行起來，如王學(xué)金和王傳玉[5]研究了基本的權(quán)益聯(lián)結(jié)型年金的準(zhǔn)備金，因此，本文主要是在王學(xué)金和王傳玉[5]的基礎(chǔ)上著重研究基于不同假設(shè)的權(quán)益聯(lián)結(jié)型年金產(chǎn)品的準(zhǔn)備金提留問題。

考慮到標(biāo)的權(quán)益的增長(zhǎng)過程本質(zhì)上是一種無規(guī)律的隨機(jī)波動(dòng)，而波動(dòng)性的測(cè)度方法主要有隨機(jī)波動(dòng)模型(SV模型)，其特點(diǎn)是以參數(shù)求解為基礎(chǔ)，模型不存在確定的函數(shù)表達(dá)式。國內(nèi)外學(xué)者對(duì)于該模型進(jìn)行了許多相關(guān)研究，如 Harvey A et al[6]，Jacquier et al[7]和沈根祥[8]等的研究結(jié)果表明：在模擬股市的波動(dòng)性時(shí)，SV模型較一般隨機(jī)模型如GARCH模型更加具有優(yōu)勢(shì)。因此本文主要基于隨機(jī)波動(dòng)模型來研究權(quán)益聯(lián)結(jié)型年金的準(zhǔn)備金提留問題，即本文假定標(biāo)的權(quán)益的價(jià)格過程服從標(biāo)準(zhǔn)的SV模型，求出三種權(quán)益聯(lián)結(jié)型年金在 分位數(shù)下的準(zhǔn)備金的顯式表達(dá)式，然后通過實(shí)證數(shù)據(jù)對(duì)三種模型進(jìn)行比較分析，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行實(shí)際意義解釋。

1 標(biāo)準(zhǔn)的SV模型

標(biāo)準(zhǔn)的SV模型是Taylor為了解釋金融收益序列波動(dòng)模型的自回歸行為而提出的，其標(biāo)準(zhǔn)形式如下[9]：

其中yt表示t時(shí)的收益率；εt～nid(0,1)，ηt～nid(0,t2)（nid表示正態(tài)獨(dú)立同分布）；誤差項(xiàng)ηt和εt是相互獨(dú)立的且不可測(cè)的；μ,φ是常數(shù)且當(dāng)時(shí)，SV模型是協(xié)方差平穩(wěn)的；隱波動(dòng)ht服從參數(shù)為φ的高斯AR(1)過程。

2 權(quán)益聯(lián)結(jié)型年金的 分位數(shù)準(zhǔn)備金

權(quán)益聯(lián)結(jié)型年金的準(zhǔn)備金研究就是比較年金到期權(quán)益積累值和最低保證收益積累值的大小問題，即：若前者大于后者，則無需提留準(zhǔn)備金；若前者小于后者，則需提留準(zhǔn)備金。為了保證自身的償付能力，保險(xiǎn)公司一般會(huì)將年金的到期權(quán)益積累值與準(zhǔn)備金積累值之和大于最低保證收益積累值的概率控制在一定的范圍內(nèi)。

為了計(jì)算年金的 分位數(shù)準(zhǔn)備金，我們假定年金的標(biāo)的權(quán)益的價(jià)格過程rt服從標(biāo)準(zhǔn)SV模型，具體形式如下[3]:

2.1 最低保證收益型年金

最低保證收益型年金（GMMBA）一般有最小收益的保證, 在最小保證收益的基礎(chǔ)上年金實(shí)際支付給保戶的收益率與預(yù)先規(guī)定好的某類股票指數(shù)或債券指數(shù)收益相關(guān)聯(lián)，此類年金的典型代表有權(quán)益指數(shù)年金。對(duì)于此類年金的準(zhǔn)備金的研究，我們有：

定理1[3]記 表示最低保證收益率，P表示躉繳保費(fèi)，St表示t時(shí)標(biāo)的權(quán)益的價(jià)格，F(xiàn)(t)表示t時(shí)賬戶的現(xiàn)值，m表示管理費(fèi)率，T表示權(quán)益聯(lián)結(jié)型年金的到期日，rt表示t時(shí)的對(duì)數(shù)收益率，Vα表示損失分布的 分位數(shù)準(zhǔn)備金， 表示保險(xiǎn)公司無損失風(fēng)險(xiǎn)的概率，則

2.2 附動(dòng)態(tài)提款權(quán)的最低保證收益型年金

附動(dòng)態(tài)提款權(quán)的最低保證收益型年金（GMMBA-DDR）是在最低保證收益型年金的基礎(chǔ)上進(jìn)行了優(yōu)化，給年金購買者提供了一項(xiàng)權(quán)利：動(dòng)態(tài)提款權(quán)，即若在年金有效期間內(nèi)，年金購買者因?yàn)槟撤N突發(fā)因素急需現(xiàn)金，則保險(xiǎn)公司可以給予購買者提供提現(xiàn)的條件，類似于銀行定期存款一樣。對(duì)于此類年金的準(zhǔn)備金的研究，我們有：

定理 2記λt表示t時(shí)保單持有人從賬戶中的提款率，其余符號(hào)含義同定理1，則

由中心極限定理可知，當(dāng)T充分大時(shí)，有

故當(dāng)T→∞時(shí)

推論在定理2的條件下，當(dāng)各個(gè)周期內(nèi)保單持有人從賬戶中的提款率相同，即當(dāng)

注：當(dāng)λ=0時(shí)，我們則可得到一般的最低保證收益型年金的準(zhǔn)備金的表達(dá)式，即定理1。

2.3 考慮死亡風(fēng)險(xiǎn)的最低保證收益型年金

考慮死亡風(fēng)險(xiǎn)的最低保證收益型年金（GMMBA-MR）是在最低保證收益型年金的基礎(chǔ)上直接外加一個(gè)死亡風(fēng)險(xiǎn)因子tpx，即 歲個(gè)體活過t年的概率。因?yàn)殡S著社會(huì)經(jīng)濟(jì)水平的提高和醫(yī)療衛(wèi)生條件的改善，我國的人口死亡率整體呈現(xiàn)逐年下降的趨勢(shì)，而時(shí)間變動(dòng)帶來的不確定性卻未能在最低保證收益型年金（GMMBA）和附動(dòng)態(tài)提款權(quán)的最低保證收益型年金（GMMBA-DDR）的準(zhǔn)備金提留中準(zhǔn)確地反映出來，從長(zhǎng)期來看，保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)將面臨巨大風(fēng)險(xiǎn)，所以在此我們對(duì)此類年金的準(zhǔn)備金進(jìn)行研究，可得：

定理 3記tpx表示 歲個(gè)體活過t年的概率，其余符號(hào)含義同定理1，則

3 實(shí)證分析

3.1 對(duì)數(shù)收益率的統(tǒng)計(jì)分析

考慮到樣本數(shù)據(jù)和樣本區(qū)間的不同，會(huì)對(duì)波動(dòng)性特征的刻畫以及模型估計(jì)的結(jié)果產(chǎn)生較大影響，并且股票市場(chǎng)的波動(dòng)性也會(huì)隨時(shí)間的變化而變化，因此，為了能夠較為準(zhǔn)確地研究我國股票市場(chǎng)的波動(dòng)特征，在樣本數(shù)據(jù)方面，本文選用最近的2012年全年深證成指日交易收盤價(jià)（共239個(gè)交易數(shù)據(jù)）來對(duì)對(duì)數(shù)收益率序列{rt}進(jìn)行研究，數(shù)據(jù)來源于wind資訊。

基于選擇的樣本數(shù)據(jù)，對(duì)其進(jìn)行基本的統(tǒng)計(jì)特征分析，可得基本統(tǒng)計(jì)變量的估計(jì)值，見表1。

表1 深成指日交易數(shù)據(jù)序列描述性統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果

3.2 分位數(shù)準(zhǔn)備金的影響因子分析

表2 GMMBA和GMMBA-DDR對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)備金比較分析

表3 GMMBA和GMMBA-MR對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)備金比較分析

由表2易知，當(dāng)α＞ζ時(shí)，若固定最低保證利率g、到期日T和管理費(fèi)率m，則 GMMBA和GMMBA-DDR對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)備金Vα隨著α的增加而增加；當(dāng)其他影響因子不變時(shí)，準(zhǔn)備金隨著λ的增加而增加，因?yàn)棣说脑黾?，表明保單持有人從賬戶中提款較多，這就影響了保險(xiǎn)公司的財(cái)務(wù)管理，給財(cái)務(wù)管理帶來了不確定性，相應(yīng)地增加了保險(xiǎn)公司的財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)，因此導(dǎo)致準(zhǔn)備金的增加。

為了對(duì)GMMBA和GMMBA-MR模型下的準(zhǔn)備金進(jìn)行比較分析，在對(duì)考慮死亡風(fēng)險(xiǎn)的權(quán)益聯(lián)結(jié)型年金時(shí)，我們首先假定購買者的年齡為 歲，然后根據(jù)中國人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）得到對(duì)應(yīng)年齡下的人口數(shù)據(jù)lx，再根據(jù)公式tpx=lx+t/lx即可得到對(duì)應(yīng)年齡下的死亡率，最后可得表3。

由表3易知，同表2一樣，當(dāng)α＞ζ時(shí)，若固定最低保證利率g、到期日T和管理費(fèi)率m，則GMMBA和GMMBA-MR對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)備金Vα隨著α的增加而增加；當(dāng)其他影響因子不變時(shí)，準(zhǔn)備金Vα隨著T的增加而增加，因?yàn)門的增加，這是因?yàn)殡S著到期日的延長(zhǎng)，

不確定性變大，保險(xiǎn)公司的風(fēng)險(xiǎn)隨之增加，同時(shí)考慮死亡風(fēng)險(xiǎn)因素時(shí)，未來的死亡率會(huì)隨著年齡的增加（與T同向變化）而增加，因此在這雙重因素的影響下，保險(xiǎn)公司需要提留更多的準(zhǔn)備金。

4 結(jié)論

本文主要研究了 SV模型下 GMMBA、GMMBA-DDR和GMMBA-MR的α分位數(shù)準(zhǔn)備金的提留問題，基于一定的假設(shè)得到對(duì)應(yīng)的顯式表達(dá)式，并以2012年深成指日交易收盤價(jià)數(shù)據(jù)為樣本對(duì)三類年金的準(zhǔn)備金進(jìn)行了比較分析，借此將基本權(quán)益聯(lián)結(jié)型年金的準(zhǔn)備金研究進(jìn)行了推廣，一定程度上解決了保險(xiǎn)公司的權(quán)益聯(lián)結(jié)型年金的準(zhǔn)備金的提留問題。

[1] Tiong S. Valuing equity indexed annuities [J]. North American Actuarial Journal, 2000,4 (4):149-163.

[2] Imai J,Boyle P. Dynamic fund protection. North American Actuarial Journal[J].2001,5(3):31-49.

[3] Young V.R .Equity-indexed life insurance: pricing and reserving using the principle of equivalent utility[J].North American Actuarial Journal. 2003, 7(1):68-86.

[4] 王學(xué)金,王傳玉.不同死亡率模型下基本權(quán)益指數(shù)年金定價(jià)的比較分析[J]. 吉林師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,34(1): 100-102+107.

[5] 王學(xué)金,王傳玉.隨機(jī)波動(dòng)性模型下權(quán)益聯(lián)接型年金的準(zhǔn)備金[J]. 南通大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,12(3):78-81.

[6] Harvey A, Ruiz E, Shephard N. Multivariate stochastic variance models[J],Review of Economic Studies,1994(61):247-264.

[7] Jacquier E,Polson N.G, Rossi P.E. Bayesian analysis of stochastic volatility models[J],Journal of Business&Economic Statistics,1994,12(4):371-388.

[8] 沈根祥. 股票收益隨機(jī)波動(dòng)模型研究[J].中國管理科學(xué),2003,2(11):16-20.

[9] Taylor S.T. Modeling financial time series[M],Wiley,New York,NY,1986.

[10]Hwai-Chung Ho et al. Evaluating Quantile Reserve for Equity-Linked Insurance in A Stochastic Volatility Model: Long VS. Short Memory[J], Astin bulletin,2010,40(2):669-698.

責(zé)任編輯：王與

O211.67

A

1673-1794(2014)05-0083-04

李衍，魏佳麗，滁州學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院； 通訊作者：王學(xué)金，滁州學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院教師，碩士（安徽 滁州 239000）。

全國大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃（2014CXXL005）；安徽省級(jí)金融工程教學(xué)團(tuán)隊(duì)（2013jxtd035）

2014-05-12