朱艷杰，朱克強，楊冰卡，王志博，秦道武，曾 峰，章浩燕，夏 峰

(1.寧波大學(xué)，浙江寧波 315211;2.寧波市東方電纜股份有限公司，浙江寧波 315211)

纜索目前使用非常廣泛，在世界各處海洋中，有不同形式的海洋纜索。如用于水下電力輸送的水下電纜;用于海洋油氣資源運輸?shù)乃鹿芫€;以及用于控制水下潛器或機(jī)器人的臍帶纜。其中水下拖曳纜索在海洋工程中是經(jīng)常使用的設(shè)備，在海上作業(yè)項目中，占有非常重要的地位。有效的纜索動力分析在很大程度上保證了海上作業(yè)的安全。這些纜索的動力分析方法主要可分為三類:有限元法，有限差分法，凝集質(zhì)量法。

由于纜索動力問題本質(zhì)上包含大變形和水動力非線性問題，有限元方法的適用性受限:受到方程組的性質(zhì)影響與邊界條件不能靈活選擇的限制。非線性變系數(shù)的控制方程組，最早是使用有限差分法來離散求解的。這一算法經(jīng)歷了從Sanders［1］忽略了慣性力的纜形三維算法，到Albow和Schechter［2］等人包含慣性力的三維算法，在時空上有限差分離散了該方程組，再到Milinazzo［3］等人改進(jìn)Albow等人提出的方法，使用Newton-Jacobin法求解形成的非線性方程組，并處理了零張力自由端的問題，一定程度上提高了求解效率，后來Howell［4］和 Tjavaras［5］通過推導(dǎo)纜元受力與變形關(guān)系消除了方程的奇異特性，將方程組變成了雙曲型，Grosenbaugh［6-7］采用自適應(yīng)時間、空間網(wǎng)格步長算法，以及通用α?xí)r間積分算法對此方程組進(jìn)行了改進(jìn)，進(jìn)一步提高了差分格式的求解穩(wěn)定性，使有限差分法更加完善。

與有限差分法從微元的角度出發(fā)求解控制方程不同，凝集參數(shù)法直接從牛頓第二定律出發(fā)，將纜索近似為一系列的節(jié)點，節(jié)點由無質(zhì)量的線彈性單元連結(jié)，并將連續(xù)纜索受到的分布力如重力、流體動力等看作作用在纜的分布節(jié)點上，這種簡化的好處是纜索上懸掛浮球或分段連接的纜較容易處理。不同的研究者推導(dǎo)了不同形式的凝集參數(shù)法表達(dá)式。

采用凝集質(zhì)量法來分析拖曳纜索回轉(zhuǎn)形態(tài)特征，經(jīng)和其他研究者用有限差分法給出的拖纜回轉(zhuǎn)形態(tài)以及升沉進(jìn)行對比，得出凝集質(zhì)量法也是非常有效的，并且在計算多線列陣時，凝集質(zhì)量法比有限差分法要靈活很多，所以使用凝集質(zhì)量法來計算水下纜索動態(tài)響應(yīng)問題，目前看來是一個非常經(jīng)濟(jì)有效的方法。

1 考慮纜索拉壓、彎曲、扭轉(zhuǎn)變形的通用彈性動力學(xué)方程

考慮纜索拉壓、彎曲、扭轉(zhuǎn)變形y以及附加質(zhì)量的通用彈性動力學(xué)方程［8］為

式中:m1是拉伸后纜索的單位長度質(zhì)量包括附加質(zhì)量;s1是拉伸后纜索長度;v=(u，v，w)是纜索的絕對速度;T= (T1，T2，T3)是纜索張力及剪力，下標(biāo)1、2、3分別表示纜索局部坐標(biāo)下切向、主法向、副法向三個方向分量，下文同;G是單位長度纜索濕重;D表示流體力。

將變形關(guān)系ds1=ds( 1 +e)和質(zhì)量守恒m1ds1=mds代入上式得:

式中:m是未拉伸纜索的單位長度質(zhì)量;e是應(yīng)變。在局部坐標(biāo)(τ，n，b)下對向量求導(dǎo)滿足下面的法則:局部坐標(biāo)下對向量 f=(fι，fn，fb)關(guān)于 s，t求導(dǎo)分別為:

考慮纜索附加質(zhì)量，在局部坐標(biāo)中展開:

Hover［10］發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)，用它來代替歐拉角，可以避免奇異性問題，下面是四元數(shù)和歐拉角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

四元數(shù)［8］:β0=cos(γ/2)，β1=lxsin(γ/2)，β2=lysin(γ/2)，β3=lzsin(γ/2);其中， lx，ly，l( )

z為瞬軸(在某瞬時，剛體上絕對速度為零的點與原點的連線稱為瞬軸)，γ為剛體繞瞬軸旋轉(zhuǎn)的角度。二者的轉(zhuǎn)化可參考文獻(xiàn)［11］。

2 利用凝集質(zhì)量法離散方程

對上述通用方程(1)，已有研究者利用有限差分法進(jìn)行離散，文中用凝集質(zhì)量法來離散，并考慮纜索的附加質(zhì)量，基本思想?yún)⒖嘉墨I(xiàn)［12］，第k個節(jié)點的方程離散為

3 仿真算例

下面給出一個仿真算例來驗證此離散方法的有效性。拖曳系統(tǒng)如圖1所示，拖船以9.52 m/s速度直航1 s，然后進(jìn)入半徑640 m的回轉(zhuǎn)運動440 s，最后，在完成375°的回轉(zhuǎn)后，沿圓周的切線直線運動300 s。所選用的纜索數(shù)據(jù)參數(shù)如表1來自文獻(xiàn)［3］。拖曳系統(tǒng)分為24個節(jié)點，拖纜系統(tǒng)由豎直靜止?fàn)顟B(tài)以9.52 m/s速度直航足夠長的時間達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，以此穩(wěn)態(tài)解作為回轉(zhuǎn)的初始姿態(tài)。圖2和圖3給出了計算結(jié)果和文獻(xiàn)結(jié)果的對比，由對比顯示兩者結(jié)果具有一致性，說明文中計算結(jié)果是可靠的，即凝集質(zhì)量法是有效的。

圖1 拖曳系統(tǒng)Fig.1 Towed system

表1 纜索參數(shù)Tab.1 Physical properties of cable

圖2 回轉(zhuǎn)平面計算結(jié)果對比Fig.2 Plan view of circular manoeuvre

圖3 回轉(zhuǎn)側(cè)視計算結(jié)果對比Fig.3 Profile view of circular manoeuvre

從表2中看出，文中得出的初始深度、最低深度和最后深度均在有效范圍之內(nèi)，并且最低深度與實驗值誤差最小，由此可見，凝集質(zhì)量法計算纜索動態(tài)響應(yīng)問題，也是很有效的，并且比有限差分法靈活簡便。所以在研究此類問題時，凝集質(zhì)量法是一個不錯的選擇。

表2 文中數(shù)據(jù)和文獻(xiàn)［3］中數(shù)據(jù)比較Tab.2 Comparison of this paper’s and the literature［3］’s data

4 結(jié)語

1)本模型對回轉(zhuǎn)的模擬，最大下沉深度與實驗值誤差，是目前已經(jīng)發(fā)表的幾種方法中最小的一個，因而對拖纜回轉(zhuǎn)時觸底問題具有重要參考價值;

2)研究表明除了低張力、小回轉(zhuǎn)半徑等曲率時間變化率大的運動之外，纜索彎曲剛度，對纜索曲率時間變化率小的運動，影響不明顯;

3)在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中用四元數(shù)代替歐拉角，可以克服歐拉角轉(zhuǎn)換的奇異問題，剔除大量的運動不連續(xù)點，更光滑的預(yù)報纜索空間運動，應(yīng)該在未來的纜索動態(tài)模擬中引起重視。

［1］ Sanders J V.A three-dimensional'dynamic analysis of a towed system［J］.Ocean Engng，1982，9(5):483-499.

［2］ Ablow C M，Schechter S.Numerical simulation of undersea cable dynamics［J］.Ocean Engng，10(6):443-457.

［3］ Milinazzo F，Wilkie M，Latchman S A.Anefficient algorithmfor siumlating the dynamicsof towedcable systems［J］.Ocean Engng，1987，14(6):513-526.

［4］ Howell C T.Investigation of the dynamics of low-tension cables［D］.Massachusetts Institute of Technology/Woods Hole Oceanographic Institution，1992.

［5］ Tjavaras A A，Triantafyllou M S.Non-linear response two disordered pendula［J］.Journal of Sound and Vibration，1996，190(1):65-67.

［6］ Gobat J I，Grosenbaugh M A.Time-domain numerical simulation of ocean cable structures［J］.Ocean Engineering，2006，33(10):1373-1400.

［7］ Grosenbaugh M A.Transient behavior of towed cable systems during ship turning maneuvers［J］.Ocean Engineering，2007，34(11-12):1532-1542.

［8］ John B Herbich.Developments in Offshore Engineering［M］.Gulf Publishing Company，1998.

［9］ Christopher Todd Howell.Investigation of the dynamics of low-tension cables［D］.Massachusetts Institute of Technology，1993.

［10］Franz S Hover.Simulation of stiff massless tethers［J］.Ocean Engineering，1997，8(24):765-783.

［11］陳志明，王惠南，劉海穎.全角度歐拉角與四元數(shù)轉(zhuǎn)換研究［ED/OL］.http://www.paper.edu.cn，2012-12-11.(CHEN Zhi-ming，WANG Hui-nan，LIU Hai-yin.Research on Large-scale Transformation Algorithm of Quaternion to Euler Angle［ED/OL］.http://www.paper.edu.cn，2012-12-11.(in Chinese))

［12］ ZHU Ke-qiang，CAI Ying，YU Chun-ling，et al.Nonlinear hydrodynamic response of marine cable-body system undergoing random dynamic excitation［J］.Journal of Hydrodynamics，2009，21(6):851-855.