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      高中數(shù)學(xué)中的“鐵三角”

      2014-10-17 10:43:16王新明
      理科考試研究·高中 2014年8期
      關(guān)鍵詞:鐵三角橫坐標(biāo)交點(diǎn)

      王新明

      在高中化學(xué)中,我們知道Fe、Fe3+、Fe2+是鐵哥們——“鐵三角”關(guān)系.其實(shí),在高中數(shù)學(xué)中,也有這樣的“鐵三角”——一元二次方程、一元二次函數(shù)、一元二次不等式.它們之間唇齒相依.本文擷取幾例進(jìn)行分析.

      例1二次函數(shù)y=ax2+bx+c(x∈R)的部分對應(yīng)值如下表:

      x-3-2-101234

      y60-4-6-6-406

      則不等式ax2+bx+c>0的解集是.

      分析本題常規(guī)思路是先求出二次函數(shù)的表達(dá)式,再解不等式,但如果我們能抓住它們之間的聯(lián)系,則可使問題的解決簡短明快.我們根據(jù)表格中所給出的信息不難得到二次函數(shù)的圖象開口向上,且圖象和x軸的兩個交點(diǎn)為(-2,0)和(3,0),而要解不等式ax2+bx+c>0,實(shí)際上就是要求相應(yīng)的二次函數(shù)值為正(圖象在x軸上方)時所對應(yīng)的自變量x的取值范圍.結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x>3或x<-2}.

      例2若關(guān)于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集為R,求a的取值范圍.

      分析由于該不等式二次項系數(shù)含有字母,屬于假二次不等式,我們應(yīng)分類討論.

      (1)當(dāng)a2-1=0時,即a=1或-1.若a=1,原不等式即為-1<0,解集為R;若a=-1,原不等式即為2x-1<0,解集為{x|x<12},不合題意.(2)當(dāng)a2-1≠0時,原不等式的解集為R就等價于相應(yīng)的二次函數(shù)y=(a2-1)x2-(a-1)x-1的函數(shù)值恒小于0(圖象恒在x軸下方),所以便有a2-1<0,Δ<0.解得-35

      綜合(1)(2)得a的取值范圍是-35

      例3已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x<-2或x>-12},求不等式ax2-bx+c>0的解集.

      分析由題意知-2,-12是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)且a<0,也是二次方程ax2+bx+c=0的兩個根,故有a<0,-2+(-12)=-ba-2×(-12)=ca,,即a<0,b=52ac=a.,則不等式ax2-bx+c>0可化為ax2-52ax+a>0.因為a<0,所以2x2-5x+2<0,即120的解集為{x|12

      例4設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的兩個根x1、x2滿足0

      分析由于方程的根就是相應(yīng)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),利用這一關(guān)系可使本題迎刃而解.

      在高中化學(xué)中,我們知道Fe、Fe3+、Fe2+是鐵哥們——“鐵三角”關(guān)系.其實(shí),在高中數(shù)學(xué)中,也有這樣的“鐵三角”——一元二次方程、一元二次函數(shù)、一元二次不等式.它們之間唇齒相依.本文擷取幾例進(jìn)行分析.

      例1二次函數(shù)y=ax2+bx+c(x∈R)的部分對應(yīng)值如下表:

      x-3-2-101234

      y60-4-6-6-406

      則不等式ax2+bx+c>0的解集是.

      分析本題常規(guī)思路是先求出二次函數(shù)的表達(dá)式,再解不等式,但如果我們能抓住它們之間的聯(lián)系,則可使問題的解決簡短明快.我們根據(jù)表格中所給出的信息不難得到二次函數(shù)的圖象開口向上,且圖象和x軸的兩個交點(diǎn)為(-2,0)和(3,0),而要解不等式ax2+bx+c>0,實(shí)際上就是要求相應(yīng)的二次函數(shù)值為正(圖象在x軸上方)時所對應(yīng)的自變量x的取值范圍.結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x>3或x<-2}.

      例2若關(guān)于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集為R,求a的取值范圍.

      分析由于該不等式二次項系數(shù)含有字母,屬于假二次不等式,我們應(yīng)分類討論.

      (1)當(dāng)a2-1=0時,即a=1或-1.若a=1,原不等式即為-1<0,解集為R;若a=-1,原不等式即為2x-1<0,解集為{x|x<12},不合題意.(2)當(dāng)a2-1≠0時,原不等式的解集為R就等價于相應(yīng)的二次函數(shù)y=(a2-1)x2-(a-1)x-1的函數(shù)值恒小于0(圖象恒在x軸下方),所以便有a2-1<0,Δ<0.解得-35

      綜合(1)(2)得a的取值范圍是-35

      例3已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x<-2或x>-12},求不等式ax2-bx+c>0的解集.

      分析由題意知-2,-12是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)且a<0,也是二次方程ax2+bx+c=0的兩個根,故有a<0,-2+(-12)=-ba-2×(-12)=ca,,即a<0,b=52ac=a.,則不等式ax2-bx+c>0可化為ax2-52ax+a>0.因為a<0,所以2x2-5x+2<0,即120的解集為{x|12

      例4設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的兩個根x1、x2滿足0

      分析由于方程的根就是相應(yīng)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),利用這一關(guān)系可使本題迎刃而解.

      在高中化學(xué)中,我們知道Fe、Fe3+、Fe2+是鐵哥們——“鐵三角”關(guān)系.其實(shí),在高中數(shù)學(xué)中,也有這樣的“鐵三角”——一元二次方程、一元二次函數(shù)、一元二次不等式.它們之間唇齒相依.本文擷取幾例進(jìn)行分析.

      例1二次函數(shù)y=ax2+bx+c(x∈R)的部分對應(yīng)值如下表:

      x-3-2-101234

      y60-4-6-6-406

      則不等式ax2+bx+c>0的解集是.

      分析本題常規(guī)思路是先求出二次函數(shù)的表達(dá)式,再解不等式,但如果我們能抓住它們之間的聯(lián)系,則可使問題的解決簡短明快.我們根據(jù)表格中所給出的信息不難得到二次函數(shù)的圖象開口向上,且圖象和x軸的兩個交點(diǎn)為(-2,0)和(3,0),而要解不等式ax2+bx+c>0,實(shí)際上就是要求相應(yīng)的二次函數(shù)值為正(圖象在x軸上方)時所對應(yīng)的自變量x的取值范圍.結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得不等式ax2+bx+c>0的解集為{x|x>3或x<-2}.

      例2若關(guān)于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集為R,求a的取值范圍.

      分析由于該不等式二次項系數(shù)含有字母,屬于假二次不等式,我們應(yīng)分類討論.

      (1)當(dāng)a2-1=0時,即a=1或-1.若a=1,原不等式即為-1<0,解集為R;若a=-1,原不等式即為2x-1<0,解集為{x|x<12},不合題意.(2)當(dāng)a2-1≠0時,原不等式的解集為R就等價于相應(yīng)的二次函數(shù)y=(a2-1)x2-(a-1)x-1的函數(shù)值恒小于0(圖象恒在x軸下方),所以便有a2-1<0,Δ<0.解得-35

      綜合(1)(2)得a的取值范圍是-35

      例3已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是{x|x<-2或x>-12},求不等式ax2-bx+c>0的解集.

      分析由題意知-2,-12是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)且a<0,也是二次方程ax2+bx+c=0的兩個根,故有a<0,-2+(-12)=-ba-2×(-12)=ca,,即a<0,b=52ac=a.,則不等式ax2-bx+c>0可化為ax2-52ax+a>0.因為a<0,所以2x2-5x+2<0,即120的解集為{x|12

      例4設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的兩個根x1、x2滿足0

      分析由于方程的根就是相應(yīng)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),利用這一關(guān)系可使本題迎刃而解.

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