信息技術(shù)下空間解析幾何“FUMA”教學(xué)初探

方玲　李玻 田艷芳 陳星

摘 要：信息技術(shù)的空間發(fā)展沖擊著空間解析幾何教學(xué)，改革勢在必行。筆者提出依托信息技術(shù)在空間解析幾何教學(xué)中開展“FUMA”教學(xué)，并以實(shí)際教學(xué)案例說明了該模式下教學(xué)內(nèi)容更生動(dòng)形象，更有助于高教學(xué)水平和學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

關(guān)鍵詞：“FUMA”教學(xué)模式；空間解析幾何；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；MATLAB

基金項(xiàng)目：重慶市高等教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目 編號：1203097

0 引言

空間解析幾何是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，旨在幫助學(xué)生認(rèn)識幾何空間，形成空間觀念，是學(xué)生學(xué)會(huì)幾何思維，培養(yǎng)空間想象能力的重要途徑。當(dāng)前空間解析幾何教學(xué)多數(shù)停留在傳統(tǒng)的講授與靜態(tài)圖示上，缺乏生動(dòng)性、直觀性，難以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，不利于知識的掌握及理解。事實(shí)上，信息技術(shù)的空前發(fā)展賦予了空間解析幾何教學(xué)新的生命力，如準(zhǔn)確作圖、復(fù)雜幾何圖形展示、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡動(dòng)畫、曲線曲面形成動(dòng)畫等等，這些能夠讓學(xué)生更直觀地感受幾何，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。因而，在信息技術(shù)的沖擊下，改革空間解析幾何教學(xué)模式勢在必行。

1 “FUMA”教學(xué)模式

“FUMA”教學(xué)模式[1]是以“感受一理解一掌握一應(yīng)用”為主線進(jìn)行教學(xué)的一種教學(xué)模式。其中，F(xiàn)是英文單詞Felling，即讓學(xué)生在實(shí)際問題中感受知識；U是Understanding的首字母，即讓學(xué)生在概念分析與歸納中理解知識；M是Mastery的首字母，即讓學(xué)生在實(shí)際問題解決中掌握知識；A是Application的首字母，即讓學(xué)生在問題拓展中應(yīng)用知識。

2 “FUMA”教學(xué)模式在空間解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

下面以文[2]“8.3曲面及其方程—旋轉(zhuǎn)曲面”為例，探討如何開展“FUMA”教學(xué)實(shí)踐。

（1）“感受”——?jiǎng)?chuàng)設(shè)與實(shí)際相關(guān)的感受情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

興趣是最好的老師。首先創(chuàng)設(shè)情境，展示生活中常見的旋轉(zhuǎn)曲面——花瓶、游泳圈、地球儀等，播放陶藝視頻，還可通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)演示繪制旋轉(zhuǎn)曲面過程，讓學(xué)生感受幾何之美。同時(shí)請大家討論：旋轉(zhuǎn)曲面是如何形成或得到的？由此引入旋轉(zhuǎn)曲面的概念及相關(guān)定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面，旋轉(zhuǎn)曲線和定直線依次叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線和軸。

（2）“理解”——借助MATLAB動(dòng)畫演示，開展啟發(fā)式、歸納式、討論式教學(xué)

對旋轉(zhuǎn)曲面有感性認(rèn)識后，進(jìn)一步提問：怎樣用方程表示旋轉(zhuǎn)曲面？鼓勵(lì)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述此問題：某坐標(biāo)面，不妨設(shè)yOz面上有一條曲線，其方程為f （y， z）=0，將其繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，得到以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面。求該旋轉(zhuǎn)曲面的方程。

依托數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)展開討論。首先，展示利用MATLAB制作的旋轉(zhuǎn)曲面形成動(dòng)畫，并請大家觀察動(dòng)畫中紅點(diǎn)的位置變化，如圖1所示。通過細(xì)心觀察，學(xué)生不難得到結(jié)論：紅點(diǎn)的高度始終沒發(fā)生變化，旋轉(zhuǎn)一周后回到原位，同時(shí)它走過的軌跡是一個(gè)圓。

圖1 旋轉(zhuǎn)曲面 圖2

將旋轉(zhuǎn)曲面放到坐標(biāo)系中討論，如圖2所示，設(shè)M1（0， y1， z1）為曲線C：f （y， z）=0上的一點(diǎn)，則有f （y1， z1）=0。當(dāng)繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，該點(diǎn)轉(zhuǎn)到M （x， y， z）的位置。此時(shí)啟發(fā)學(xué)生思考，根據(jù)前面觀察得到的結(jié)論，這里存在哪些等量關(guān)系？

教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出等量關(guān)系有z=z1，，結(jié)合f （y1， z1）=0得到關(guān)于變量x， y， z的關(guān)系式，該式子指明了旋轉(zhuǎn)曲面上任意點(diǎn)的特點(diǎn)，這就是旋轉(zhuǎn)曲面的方程。由此從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，達(dá)到對旋轉(zhuǎn)曲面的進(jìn)一步理解。

（3）“掌握”——通過問題的解決，掌握所學(xué)知識

設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯栴}鏈，舉一反三，通過問題鏈的解決，總結(jié)得到旋轉(zhuǎn)曲面方程的方法，更好地掌握知識。

第1問：若曲線C：f （y， z）=0繞y軸旋轉(zhuǎn)，方程如何表示？引導(dǎo)學(xué)生依葫蘆畫瓢，可得到旋轉(zhuǎn)曲面方程為。

第2問：當(dāng)曲線C：f （x， z）=0繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程又如何？提示此時(shí)給出的曲線與上一問不同，啟發(fā)大家回到解決問題的方法——找等量關(guān)系上，最終得到旋轉(zhuǎn)曲面方程為。

第3問：請總結(jié)，如何根據(jù)曲線C的方程及旋轉(zhuǎn)軸，寫出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)曲面方程？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：平面曲線是2元方程，繞其中一元對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，將另一變量換成兩變量正負(fù)平方和開方即可。

（4）“應(yīng)用”——拓展問題，應(yīng)用知識，拓寬思維

聯(lián)系生活中與旋轉(zhuǎn)曲面密切相關(guān)的案例，聯(lián)系已有知識與旋轉(zhuǎn)曲面相關(guān)的知識來拓展問題，應(yīng)用所學(xué)知識進(jìn)一步展開討論，拓寬學(xué)生思維。

例如，沿用齊次方程學(xué)習(xí)中討論過的案例：探照燈的聚光鏡面如何形成的？我們知道探照燈的聚光鏡面是一張旋轉(zhuǎn)曲面，可將其看成xOy面上一條曲線L繞x軸旋轉(zhuǎn)而成。前面利用齊次方程解法得到了曲線L的方程為，其中C為常數(shù)。那么，聚光鏡面方程如何表

示？此問題的討論會(huì)讓學(xué)生有“學(xué)以致用”的感覺，學(xué)習(xí)的積極性必定得到提高。

3 結(jié)束語

教學(xué)過程是學(xué)生學(xué)習(xí)知識的過程，也是教師探索教學(xué)方法、手段的過程。教學(xué)實(shí)踐證明，依托信息技術(shù)開展空間解析幾何“FUMA”教學(xué)，既豐富了教師的教學(xué)手段與方法，又能提高學(xué)生對知識的接受程度，取得良好的教學(xué)效果，不失為一種積極有效的教學(xué)模式。然而，信息技術(shù)的使用是對教師自身素質(zhì)的挑戰(zhàn)，需要教師加強(qiáng)學(xué)習(xí)，并熟練掌握相關(guān)信息化技能，這是一個(gè)持續(xù)學(xué)習(xí)的過程，不可一蹴而就。

參考文獻(xiàn)

[1] 李玻、蔣艷、但琦.實(shí)施“FUMA”教學(xué)，提高大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)質(zhì)量[J].學(xué)園，2013年第10期

[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）下冊[M].北京：高等教育學(xué)出版社， 2007

作者簡介

方玲，31，女，湖南，后勤工程學(xué)院，教員，助教，研究方向：數(shù)學(xué)教育。