張艷香

不等式恒成立問(wèn)題一直是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)，試題基本是從函數(shù)、數(shù)列、不等式等內(nèi)容的交匯處入手，全面考查對(duì)概念的理解和解決問(wèn)題的綜合能力。然不等式恒成立問(wèn)題在高考中的主要題型有：證明某個(gè)不等式恒成立；已知不等式恒成立，求其中的參數(shù)的取值范圍；存在性問(wèn)題，即是否存在一個(gè)參數(shù)的值使已知不等式成立。下面主要從以下幾個(gè)方面來(lái)談?wù)勎业目捶ǎ?/p>

一、不等式恒成立與有解的基本區(qū)別

1.不等式f（x）＜k在x∈I時(shí)恒成立?圳f（x）max＜k，x∈I，或f（x）的上界小于等于k

2.不等式f（x）＜k在x∈I時(shí)有解?圳f（x）min＜k，x∈I，或f（x）的下界小于k

3.不等式f（x）＞k在x∈I時(shí)恒成立?圳f（x）min＞k，x∈I，或f（x）的下界大于等于k

4.不等式f（x）＞k在x∈I時(shí)有解?圳f（x）max＞k，x∈I，或f（x）的上界大于k

不等式恒成立與有解是有明顯區(qū)別的，以上充要條件應(yīng)細(xì)心甄別差異，恰當(dāng)使用等價(jià)轉(zhuǎn)化，切不可混淆。

二、不等式恒成立問(wèn)題的基本策略

1.判別式法

對(duì)于定義在R上的二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題僅用一元二次方程根的判別式即可解決。

2.分離參數(shù)法

若能將恒成立不等式中所涉及的兩個(gè)變量分離，使它們分別在不等式的一邊，則可由一個(gè)變量的范圍推出另一個(gè)變量所適合的不等式，進(jìn)而求得其范圍。

3.單調(diào)性法

對(duì)于在所研究的區(qū)間上具有單調(diào)性的函數(shù)，通過(guò)用區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值列不等式求解。

4.最值法

很多不等式恒成立可轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)，研究新函數(shù)的最大（?。┲邓m合條件的問(wèn)題。

5.圖象特征法

結(jié)合函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系來(lái)確定參數(shù)的范圍.如：不等式x2-logax＜0，在x∈（0，0.5）時(shí)恒成立，求a的取值范圍。設(shè)f（x）=x2，g（x）=logax，然后在同一坐標(biāo)系中準(zhǔn)確畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，借助圖象觀察便可求解。

6.分類討論法

例如:已知函數(shù)f（x）=x2+ax+2a2-7，且f（x）＞0在區(qū)間［-1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍。此題不能用分離參數(shù)法來(lái)解，只能通過(guò)討論對(duì)稱軸的位置求解。

7.變換主元法

例如:對(duì)一切0≤a≤1，不等式3x2-ax+3a-3＜0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。若用變量x作為主元，無(wú)論是分離變量還是研究二次不等式的公共解都很繁瑣，但用參數(shù)a作為變量，構(gòu)造關(guān)于a的一次函數(shù)h（a）=（3-x）a+3x2-3，只要滿足h（0）＜0且h（1）＜0即可。

總體說(shuō)來(lái)，將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解，由于此類問(wèn)題一般綜合性較強(qiáng)，大多情況要用多種方法綜合使用。

三、典型例題

例1.已知函數(shù)f（x）=x2-4ax+a2（a∈R），若關(guān)于x的不等式f（x）≥x在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析:由題設(shè)（x）≥x，可得x2-（4a+1）x+a2≥0在R上恒成立，所以Δ=（4a+1）2-4a2≤0，求得a的范圍為［-■，-■］。

例2.已知函數(shù)f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，其中a＞0，若對(duì)任意的x∈［0，+∞），有f（x）≤kx2恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

解析：f（x）的定義域?yàn)椋?a，+∞），由f（x）=x-ln（x+a）得f′（x）=1-■=■，所以當(dāng)x＞1-a時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)-a＜x＜1-a時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）min=f（1-a）=1-a=0，所以a=1.

設(shè)g（x）=kx2-f（x）=kx2-x+ln（x+1）（x≥0），則g（x）≥0在x∈［0，+∞）上恒成立?圳g（x）min≥0=g（0）■

因?yàn)間（1）=k-1+ln2≥0，所以k＞0.

又因?yàn)間'（x）=2kx-1+■=■，當(dāng)2k-1＜0，即k＜■與■式矛盾；當(dāng)2k-1≥0即k≥■時(shí)符合■式，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為［■，+∞）.

例3.是否存在實(shí)數(shù)m，使得不等式m2+mx+1≥■對(duì)任意a∈［-1，1］及x∈［-1，1］恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

解析：假設(shè)存在實(shí)數(shù)m符合題意，則有（■）max≤m2+mx+1，又當(dāng)a∈［-1，1］時(shí)，■≤3，故（■）max=3，于是3≤m2+mx+1即mx+m2-2≥0對(duì)任意的x∈［-1，1］恒成立。令f（x）=mx+m2-2，則f（1）=m2+m-2≥0f（-1）=m2-m-2≥0，解得m≤2或m≥2，所以存在實(shí)數(shù)m∈（-∞，-2］∪［2，+∞）

不等式恒成立問(wèn)題形式千變?nèi)f化，考題也不斷出現(xiàn)新的背景，因此在學(xué)習(xí)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行必要的轉(zhuǎn)化與變形，歸結(jié)為恒成立問(wèn)題，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中不斷領(lǐng)悟和總結(jié)，提高此類問(wèn)題的解決能力。

（作者單位 湖南省株洲市茶陵縣第一中學(xué)）

?誗編輯 趙飛飛