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      概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)過程中如何有效地結(jié)合高等數(shù)學(xué)知識

      2014-10-21 19:55:51程俊芳楚彥軍
      關(guān)鍵詞:概率統(tǒng)計(jì)概率密度函數(shù)

      程俊芳 楚彥軍

      【摘要】 高等數(shù)學(xué)和概率統(tǒng)計(jì)都是高等院校的重要基礎(chǔ)課程, 這兩門課的學(xué)習(xí)效果直接影響著理、工、經(jīng)、管等各專業(yè)后續(xù)課程的學(xué)習(xí).而概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)過程中, 又要頻繁地用到高等數(shù)學(xué)的知識.本文結(jié)合自己多年的教學(xué)實(shí)踐, 通過認(rèn)真的理論思考,就隨機(jī)變量及概率密度方面系統(tǒng)闡述了概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)過程中, 如何使學(xué)生能有效地結(jié)合所學(xué)的高等數(shù)學(xué)知識.

      【關(guān)鍵詞】概率統(tǒng)計(jì); 隨機(jī)變量; 概率密度函數(shù); 分布函數(shù)

      高等數(shù)學(xué)和概率統(tǒng)計(jì)都是高等院校理、工、經(jīng)、管各專業(yè)重要的基礎(chǔ)課程,由于在概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)過程中要頻繁地用到高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識, 因此在我國目前幾門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程的開設(shè)中, 大部分院校都是習(xí)慣于本科第一學(xué)年學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué), 第一學(xué)年下學(xué)期或是第二學(xué)年上學(xué)期學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)課程.我之前長期從事經(jīng)管類學(xué)生的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)工作, 發(fā)現(xiàn)經(jīng)管類學(xué)生中一部分學(xué)生因?yàn)楦咧须A段學(xué)的文科, 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般, 更有一些同學(xué)對數(shù)學(xué)有著天生的恐懼, 再加上高等數(shù)學(xué)底子相對薄弱, 在學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)過程中遇到了很大的障礙.近兩年, 我開始從事高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)工作, 更深切感受到學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué), 以及如何把高等數(shù)學(xué)中學(xué)到的知識靈活運(yùn)用到概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)當(dāng)中, 成為學(xué)生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)必須要解決的問題.

      概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思維方式及解題套路和高等數(shù)學(xué)是不盡相同的, 但實(shí)際本質(zhì)又是相同的.本文主要想探討一下在概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)過程中, 如何講解能使學(xué)生把高等數(shù)學(xué)中所學(xué)內(nèi)容靈活運(yùn)用到概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)中.一維和多維連續(xù)型隨機(jī)變量的研究是概率統(tǒng)計(jì)中非常重要的內(nèi)容, 也是需要用到高等數(shù)學(xué)知識最多的地方.下面分別介紹一維和多維隨機(jī)變量如何有效地和高等數(shù)學(xué)相結(jié)合.

      一、 一維連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度

      在概率統(tǒng)計(jì)的各類教材中, 第一章一般都是古典概率, 這對高中階段學(xué)習(xí)過排列組合的同學(xué)容易理解和掌握.而從第二章開始學(xué)習(xí)一維隨機(jī)變量, 一維離散型隨機(jī)變量還是比較容易掌握的, 從開始學(xué)習(xí)一維連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度開始, 同學(xué)們遇到了概率統(tǒng)計(jì)的第一個(gè)障礙.對一維隨機(jī)變量的研究,一般會給出隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù),從而研究隨機(jī)變量的其他性質(zhì),我們很容易遇到如下一類題型:

      例 已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=Ax,0

      0,其他,求:

      (1)未知常數(shù)A;(2)X的分布函數(shù)F(x).

      這種題型是概率統(tǒng)計(jì)中最基本的一種題型,同學(xué)們在概率論中也很容易學(xué)到做這種題分別要用到概率統(tǒng)計(jì)中兩個(gè)常用的公式:

      (1)∫+∞-∞f(x)dx=1;

      (2)F(x)=PX≤x=∫x-∞f(x)dx.

      這類題目本身利用這兩個(gè)公式,然后運(yùn)用高等數(shù)學(xué)中定積分的知識即可得到解決,但是,主要的問題在于高等數(shù)學(xué)中的定積分一般會直接求∫baf(x)dx,求這個(gè)定積分只需要直接運(yùn)用牛頓—萊布尼茨公式:

      ∫baf(x)dx=F(x)ba=F(b)-F(a),

      其中F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù).然而在此類題中, 積分的積分區(qū)間似乎都不是確定的區(qū)間[a,b].如何正確地在這類題中用牛頓—萊布尼茨公式對初學(xué)的同學(xué)們來說就不是那么容易了.如何讓學(xué)生靈活應(yīng)用呢?下面分別進(jìn)行解釋.

      (1)求常數(shù)A

      根據(jù)公式∫+∞-∞f(x)dx=1 求密度函數(shù)中的未知常數(shù),主要是需要讓同學(xué)們理解, 雖然密度函數(shù)性質(zhì)是在整個(gè)數(shù)軸(-∞,+∞)上積分一定為1,但是我們所見到的概率密度函數(shù)很多情況下都是分段函數(shù),所以此時(shí)主要得讓學(xué)生理解,要把密度函數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上的積分根據(jù)定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性, 轉(zhuǎn)化為密度函數(shù)在非零區(qū)間上的積分就可以了.如上述例子中先讓學(xué)生明白

      ∫∞-∞f(x)dx=∫0-∞f(x)dx+∫10f(x)dx+∫+∞1f(x)dx,

      而此題目中所給f(x)僅在區(qū)間(0,1)不是零,因此整個(gè)數(shù)軸上定積分

      ∫∞-∞f(x)dx=∫0-∞f(x)dx+∫10f(x)dx+∫+∞1f(x)dx=∫10Axdx,

      這樣化成定積分后,學(xué)生很容易就能求出未知常數(shù)A=2.

      (2)求X的分布函數(shù)F(x)

      根據(jù)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)f(x)求分布函數(shù)F(x), 是一個(gè)重點(diǎn),對同學(xué)們來講也是難點(diǎn).在這里, 最需要讓學(xué)生理解的問題仍然是關(guān)于積分區(qū)間的問題.由于F(x)=∫x-∞f(x)dx, 這個(gè)積分非常特殊,下限為-∞,上限為x, 正是積分區(qū)間給學(xué)生在計(jì)算分布函數(shù)F(x)時(shí)造成了很大的困擾.這里,我一般會把X的概率密度函數(shù)f(x)在數(shù)軸上先示意出來,由于f(x)在三個(gè)區(qū)間(-∞,0],(0,1),[1,+∞)分成了三種情況,因此應(yīng)該討論積分上限x分別落在三個(gè)區(qū)間的情況.

      當(dāng)x∈(-∞,0]時(shí),由于f(x)≡0,則F(x)=∫x-∞f(x)dx=0;

      當(dāng)x∈(0,1)時(shí),此時(shí)要強(qiáng)調(diào)積分區(qū)間仍然為(-∞,x],由于f(x)僅在區(qū)間(0,1)不為零,因此必須讓學(xué)生理解(-∞,x]=(-∞,0)∪[0,x],根據(jù)積分區(qū)間的可加性得

      F(x)=∫x-∞f(x)dx=∫0-∞f(x)dx+∫x0f(x)dx=0+∫x02xdx=x2;

      當(dāng)x∈[1,+∞),(-∞,x]=(-∞,0)∪[0,1]∪(1,+∞),同樣由積分區(qū)間的可加性得

      F(x)=∫x-∞f(x)dx=∫0-∞f(x)dx+∫10f(x)dx+∫x1f(x)dx=0+∫102xdx+0=1.

      總之,在講解此類題中,主要是讓學(xué)生明白幾點(diǎn),首先是F(x)=∫x-∞f(x)dx,不論上限x取什么值,但積分區(qū)間始終是(-∞,x],但在真正計(jì)算的過程中,要根據(jù)被積函數(shù)即概率密度函數(shù)f(x)在不同子區(qū)間的表達(dá)式不同,把區(qū)間(-∞,x]根據(jù)x的取值范圍,分成不同的子區(qū)間進(jìn)行計(jì)算.學(xué)生只要理解此處,那么不管密度函數(shù)f(x)如何變形,分成幾段,求分布函數(shù)F(x)的問題均都迎刃而解.

      二、 多維隨機(jī)變量

      在多維隨機(jī)變量的教學(xué)過程中,不免要用到二重積分的知識,如何確定積分區(qū)域,仍然是學(xué)生很難掌握的一個(gè)知識點(diǎn).比如,對于二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y),如果已知其聯(lián)合概率密度f(x,y)=φ(x,y),(X,Y)∈D,

      0,其他, 其中φ(x,y)≠0, 若求概率P(X,Y)∈G,需要運(yùn)用公式P(X,Y)∈G=Gf(x,y)dxdy.

      對于這個(gè)概率的計(jì)算,學(xué)生很容易錯(cuò)誤寫成

      P(X,Y)∈G=Gf(x,y)dxdy=Gφ(x,y)dxdy.

      這時(shí)候直接計(jì)算φ(x,y)在區(qū)域G上的二重積分就不對了,正確的做法應(yīng)該是

      P(X,Y)∈G=Gf(x,y)dxdy=G∩Dφ(x,y)dxdy,

      然后計(jì)算φ(x,y)在區(qū)域G∩D上的二重積分就可以了,在歷年的教學(xué)過程中,發(fā)現(xiàn)學(xué)生很難理解題目本身是計(jì)算隨機(jī)變量(X,Y)落在區(qū)域G上的概率,而最后是在區(qū)域G∩D上計(jì)算二重積分.根據(jù)個(gè)人的課堂實(shí)踐,要讓學(xué)生明白這個(gè)問題,可以先從一維隨機(jī)變量說起,比如我們前面那個(gè)例子,已知X的概率密度函數(shù)f(x)=2x,0

      0,其他, 若計(jì)算概率P-0.5≤X≤0.5,由于當(dāng)x∈(-0.5,0)時(shí), 密度函數(shù)f(x)=0,因此P-0.5≤X≤0.5=∫0-0.50dx+∫0.502xdx=0.25.

      如果理解了一維隨機(jī)變量計(jì)算概率,對于現(xiàn)在的二維隨機(jī)變量

      P(X,Y)∈G=Gf(x,y)dxdy=G∩Dφ(x,y)dxdy+G\D0dxdy=G∩Dφ(x,y)dxdy

      也就不難理解了.

      當(dāng)然, 除了上述所提到的地方, 概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)過程中還有很多地方需要注重和高等數(shù)學(xué)的有效結(jié)合, 本文僅僅是希望在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中可以事先給學(xué)生介紹概率統(tǒng)計(jì)中可能要用到的知識, 在概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)過程中,也不能想當(dāng)然地認(rèn)為學(xué)生學(xué)過高等數(shù)學(xué)了,那么用到高等數(shù)學(xué)知識的時(shí)候, 學(xué)生一定理解.在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中如何講解能讓學(xué)生靈活地運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的知識,是本文的主要目的, 也是在今后教學(xué)過程中我們需要研究的一個(gè)課題.

      【參考文獻(xiàn)】

      [1]盛驟, 謝式千, 潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].高等教育出版社,2009.

      [2]吳贛昌.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].中國人民大學(xué)出版社,2008.

      [3]沈曉婧,周介南.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程改革的創(chuàng)新機(jī)制[J].高等數(shù)學(xué)研究, 2011年1月,第14卷第1期,114-116.

      [4]姚敏.關(guān)于大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)改革的幾點(diǎn)思考[J].吉林省教育學(xué)院學(xué)報(bào),2011年第8期,第27卷,153-154.

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