由一道有趣的概率題談古典概型與幾何概型

段安波+楊書明

一、一道有趣的概率題

有一道在全國各地廣為流傳的求概率的問題：將一根長0 c的鐵絲用剪刀剪成兩段，然后再將每一段剪成等長的兩段，并用這四段鐵絲圍成一個矩形，則圍成的矩形面積大于6 c的概率等于（ ）

A5 B5 C35 D45

解如圖，AB為長0 c的鐵絲，剪斷點為M，設(shè)AM=x（0

令x·0-x>6，解得4

∴當鐵絲AM的長在4 c到6 c之間時，四段鐵絲圍成矩形的面積大于6 c

由幾何概型，所求概率P=6-40=0=5

故選A

二、古典概型與幾何概型

由上一道有趣的概率題，我們需要在這里談?wù)勈裁词枪诺涓判?，什么是幾何概型古典概型與幾何概型有什么區(qū)別

（一） 古典概型

古典概型的概念

同時具備以下兩個特點的概型才是古典概型：

（）實驗中的樣本空間只包括有限個元素；

（）實驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同；

求古典概型的概率的基本步驟

（）算出所有基本事件的個數(shù)n；

（）求出事件A包含的所有基本事件數(shù)；

（3）代入公式P（A）=/n，求出P（A）

（二）幾何概型

幾何概型的概念

如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型

比如：對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一個點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點這里的區(qū)域可以是線段，平[P3]面圖形，立體圖形等用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型[P]

幾何概型的特點

（）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限多個

（）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等

3 求幾何概型的概率的基本步驟：

一般地，在幾何區(qū)域D中隨機地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為：

P（A）=構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）/ 實驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）

4兩種概型的聯(lián)系與區(qū)別

古典概型與幾何概型相對，將等可能事件的概念從有限向無限的延伸這個概念在我國初中數(shù)學中就開始介紹了

古典概型與幾何概型的主要區(qū)別在于：幾何概型是另一類[P3]等可能概型，它與古典概型的區(qū)別在于試驗的結(jié)果不是有限個[P]

5兩種概率模型的轉(zhuǎn)換

古典概率模型是在封閉系統(tǒng)內(nèi)的模型，一旦系統(tǒng)內(nèi)的某個事件的概率在其他概率確定前被確定，其他事件概率也會跟著發(fā)生改變概率模型會由古典概型轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀胃判?/p>

三、正確區(qū)分古典概型與幾何概型

由基本事件總數(shù)準確區(qū)分古典概型與幾何概型

題組一（）在區(qū)間[0，0]上任意取一個整數(shù) ，則x不大于3的概率為：

（）在區(qū)間[0，0]上任意取一個實數(shù) ，則 不大于3的概率為：

分析此題組中，問題因為總的基本事件是[0，0]內(nèi)的全部整數(shù)，所以基本事件總數(shù)為有限個，而不大于3的基本事件有4個，此問題屬于古典概型，所以所求概率為4問題中，因為總的基本事件是[0，0]內(nèi)的全部實數(shù)，所以基本事件總數(shù)為無限個，此問題屬于幾何概型事件對應(yīng)的測度為區(qū)間的長度，總的基本事件對應(yīng)區(qū)間[0，0]長度為0，而事件“不大于3”對應(yīng)區(qū)間[0，3]長度為3，所以所求概率為30

此題組中的兩個問題，每個基本事件都是等可能發(fā)生的，但是問題中的總基本事件是有限個，屬于古典概型；而問題中的總基本事件是無限個，屬于幾何概型；可見古典概型與幾何概型有聯(lián)系也有區(qū)別，但在實際解決問題中，關(guān)鍵還在于正確區(qū)分古典概型與幾何概型

準確分清幾何概型中的測度

題組二（）等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在直角邊BC上任取一點M，求∠CAM<30°的概率

（）等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在∠CAB內(nèi)由點A作射線交線段BC于點M，求∠CAM<30°的概率

分析此題組中的兩個問題，很顯然都是幾何概型的問題，但是考察的測度不一樣問題的測度定性為線段長度，當∠CAM0=30°時，CM0=33AC=33CB，合條件的點M等可能的分布在線段CM0上，所以所求概率等于CM0CB=33而問題的測度定性為角度，過點A作射線與線段CB相交，這樣的射線有無數(shù)條，均勻分布在∠CAB內(nèi)，∠CAB=45°，所以所求概率等于∠CAM0∠CAB=30°45°=3

此題組中的兩個問題都是幾何概型的問題，但是選取的測度不一樣，在解決時考察和計算的結(jié)果也不一致可見在解決幾何概型問題時，要認真審題，分清問題考察的測度，從而正確解決問題

一、一道有趣的概率題

有一道在全國各地廣為流傳的求概率的問題：將一根長0 c的鐵絲用剪刀剪成兩段，然后再將每一段剪成等長的兩段，并用這四段鐵絲圍成一個矩形，則圍成的矩形面積大于6 c的概率等于（ ）

A5 B5 C35 D45

解如圖，AB為長0 c的鐵絲，剪斷點為M，設(shè)AM=x（0

令x·0-x>6，解得4

∴當鐵絲AM的長在4 c到6 c之間時，四段鐵絲圍成矩形的面積大于6 c

由幾何概型，所求概率P=6-40=0=5

故選A

二、古典概型與幾何概型

由上一道有趣的概率題，我們需要在這里談?wù)勈裁词枪诺涓判?，什么是幾何概型古典概型與幾何概型有什么區(qū)別

（一） 古典概型

古典概型的概念

同時具備以下兩個特點的概型才是古典概型：

（）實驗中的樣本空間只包括有限個元素；

（）實驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同；

求古典概型的概率的基本步驟

（）算出所有基本事件的個數(shù)n；

（）求出事件A包含的所有基本事件數(shù)；

（3）代入公式P（A）=/n，求出P（A）

（二）幾何概型

幾何概型的概念

如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型

比如：對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一個點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點這里的區(qū)域可以是線段，平[P3]面圖形，立體圖形等用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型[P]

幾何概型的特點

（）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限多個

（）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等

3 求幾何概型的概率的基本步驟：

一般地，在幾何區(qū)域D中隨機地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為：

P（A）=構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）/ 實驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）

4兩種概型的聯(lián)系與區(qū)別

古典概型與幾何概型相對，將等可能事件的概念從有限向無限的延伸這個概念在我國初中數(shù)學中就開始介紹了

古典概型與幾何概型的主要區(qū)別在于：幾何概型是另一類[P3]等可能概型，它與古典概型的區(qū)別在于試驗的結(jié)果不是有限個[P]

5兩種概率模型的轉(zhuǎn)換

古典概率模型是在封閉系統(tǒng)內(nèi)的模型，一旦系統(tǒng)內(nèi)的某個事件的概率在其他概率確定前被確定，其他事件概率也會跟著發(fā)生改變概率模型會由古典概型轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀胃判?/p>

三、正確區(qū)分古典概型與幾何概型

由基本事件總數(shù)準確區(qū)分古典概型與幾何概型

題組一（）在區(qū)間[0，0]上任意取一個整數(shù) ，則x不大于3的概率為：

（）在區(qū)間[0，0]上任意取一個實數(shù) ，則 不大于3的概率為：

分析此題組中，問題因為總的基本事件是[0，0]內(nèi)的全部整數(shù)，所以基本事件總數(shù)為有限個，而不大于3的基本事件有4個，此問題屬于古典概型，所以所求概率為4問題中，因為總的基本事件是[0，0]內(nèi)的全部實數(shù)，所以基本事件總數(shù)為無限個，此問題屬于幾何概型事件對應(yīng)的測度為區(qū)間的長度，總的基本事件對應(yīng)區(qū)間[0，0]長度為0，而事件“不大于3”對應(yīng)區(qū)間[0，3]長度為3，所以所求概率為30

此題組中的兩個問題，每個基本事件都是等可能發(fā)生的，但是問題中的總基本事件是有限個，屬于古典概型；而問題中的總基本事件是無限個，屬于幾何概型；可見古典概型與幾何概型有聯(lián)系也有區(qū)別，但在實際解決問題中，關(guān)鍵還在于正確區(qū)分古典概型與幾何概型

準確分清幾何概型中的測度

題組二（）等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在直角邊BC上任取一點M，求∠CAM<30°的概率

（）等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在∠CAB內(nèi)由點A作射線交線段BC于點M，求∠CAM<30°的概率

分析此題組中的兩個問題，很顯然都是幾何概型的問題，但是考察的測度不一樣問題的測度定性為線段長度，當∠CAM0=30°時，CM0=33AC=33CB，合條件的點M等可能的分布在線段CM0上，所以所求概率等于CM0CB=33而問題的測度定性為角度，過點A作射線與線段CB相交，這樣的射線有無數(shù)條，均勻分布在∠CAB內(nèi)，∠CAB=45°，所以所求概率等于∠CAM0∠CAB=30°45°=3

此題組中的兩個問題都是幾何概型的問題，但是選取的測度不一樣，在解決時考察和計算的結(jié)果也不一致可見在解決幾何概型問題時，要認真審題，分清問題考察的測度，從而正確解決問題

一、一道有趣的概率題

有一道在全國各地廣為流傳的求概率的問題：將一根長0 c的鐵絲用剪刀剪成兩段，然后再將每一段剪成等長的兩段，并用這四段鐵絲圍成一個矩形，則圍成的矩形面積大于6 c的概率等于（ ）

A5 B5 C35 D45

解如圖，AB為長0 c的鐵絲，剪斷點為M，設(shè)AM=x（0

令x·0-x>6，解得4

∴當鐵絲AM的長在4 c到6 c之間時，四段鐵絲圍成矩形的面積大于6 c

由幾何概型，所求概率P=6-40=0=5

故選A

二、古典概型與幾何概型

由上一道有趣的概率題，我們需要在這里談?wù)勈裁词枪诺涓判?，什么是幾何概型古典概型與幾何概型有什么區(qū)別

（一） 古典概型

古典概型的概念

同時具備以下兩個特點的概型才是古典概型：

（）實驗中的樣本空間只包括有限個元素；

（）實驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同；

求古典概型的概率的基本步驟

（）算出所有基本事件的個數(shù)n；

（）求出事件A包含的所有基本事件數(shù)；

（3）代入公式P（A）=/n，求出P（A）

（二）幾何概型

幾何概型的概念

如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型

比如：對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一個點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點這里的區(qū)域可以是線段，平[P3]面圖形，立體圖形等用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型[P]

幾何概型的特點

（）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無限多個

（）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等

3 求幾何概型的概率的基本步驟：

一般地，在幾何區(qū)域D中隨機地取一點，記事件“該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為：

P（A）=構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）/ 實驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）

4兩種概型的聯(lián)系與區(qū)別

古典概型與幾何概型相對，將等可能事件的概念從有限向無限的延伸這個概念在我國初中數(shù)學中就開始介紹了

古典概型與幾何概型的主要區(qū)別在于：幾何概型是另一類[P3]等可能概型，它與古典概型的區(qū)別在于試驗的結(jié)果不是有限個[P]

5兩種概率模型的轉(zhuǎn)換

古典概率模型是在封閉系統(tǒng)內(nèi)的模型，一旦系統(tǒng)內(nèi)的某個事件的概率在其他概率確定前被確定，其他事件概率也會跟著發(fā)生改變概率模型會由古典概型轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀胃判?/p>

三、正確區(qū)分古典概型與幾何概型

由基本事件總數(shù)準確區(qū)分古典概型與幾何概型

題組一（）在區(qū)間[0，0]上任意取一個整數(shù) ，則x不大于3的概率為：

（）在區(qū)間[0，0]上任意取一個實數(shù) ，則 不大于3的概率為：

分析此題組中，問題因為總的基本事件是[0，0]內(nèi)的全部整數(shù)，所以基本事件總數(shù)為有限個，而不大于3的基本事件有4個，此問題屬于古典概型，所以所求概率為4問題中，因為總的基本事件是[0，0]內(nèi)的全部實數(shù)，所以基本事件總數(shù)為無限個，此問題屬于幾何概型事件對應(yīng)的測度為區(qū)間的長度，總的基本事件對應(yīng)區(qū)間[0，0]長度為0，而事件“不大于3”對應(yīng)區(qū)間[0，3]長度為3，所以所求概率為30

此題組中的兩個問題，每個基本事件都是等可能發(fā)生的，但是問題中的總基本事件是有限個，屬于古典概型；而問題中的總基本事件是無限個，屬于幾何概型；可見古典概型與幾何概型有聯(lián)系也有區(qū)別，但在實際解決問題中，關(guān)鍵還在于正確區(qū)分古典概型與幾何概型

準確分清幾何概型中的測度

題組二（）等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在直角邊BC上任取一點M，求∠CAM<30°的概率

（）等腰Rt△ABC中，∠C=90°，在∠CAB內(nèi)由點A作射線交線段BC于點M，求∠CAM<30°的概率

分析此題組中的兩個問題，很顯然都是幾何概型的問題，但是考察的測度不一樣問題的測度定性為線段長度，當∠CAM0=30°時，CM0=33AC=33CB，合條件的點M等可能的分布在線段CM0上，所以所求概率等于CM0CB=33而問題的測度定性為角度，過點A作射線與線段CB相交，這樣的射線有無數(shù)條，均勻分布在∠CAB內(nèi)，∠CAB=45°，所以所求概率等于∠CAM0∠CAB=30°45°=3

此題組中的兩個問題都是幾何概型的問題，但是選取的測度不一樣，在解決時考察和計算的結(jié)果也不一致可見在解決幾何概型問題時，要認真審題，分清問題考察的測度，從而正確解決問題