淺議高中物理中用微元法求變力做功

陳勝

高中物理中常會遇到一些變力做功的問題，尤其在高校自主招生的問題中時(shí)常遇到，此類問題通常不能按常規(guī)的恒力做功方法進(jìn)行求解，但可以利用微元法巧妙地解決

一、認(rèn)知微元思想，了解微元法求變力功的思路

（一）認(rèn)知微元法

微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法它將研究對象（物體或物理過程）進(jìn)行無限細(xì)分，從其中抽取某一微小單元即“元過程”進(jìn)行討論，每個(gè)“元過程”所遵循的規(guī)律是相同的對這些“元過程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問題求解使用此方法可以把一些復(fù)雜的物理過程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地解決，使問題的簡單求解化，從而起到鞏固知識、加深認(rèn)識和提高能力的作用

高中物理教材中實(shí)際上微元法思想時(shí)有滲透如在引入瞬時(shí)速度的概念時(shí)，教材從平均速度出發(fā)，提出從t到t+Δt這段時(shí)間間隔內(nèi)，Δt越小運(yùn)動快慢的差異也就越小，運(yùn)動的描述就越精確在此基礎(chǔ)上，再提出若Δt趨向于零時(shí)，就可以認(rèn)為Δt的平均速度就是t時(shí)刻的瞬時(shí)速度正是這種無限分割的方法，可以使原來較為復(fù)雜的過程轉(zhuǎn)化為較簡單的過程再如，推導(dǎo)勻變速直線運(yùn)動的位移公式，顯然不能直接用s=vt，原因就在于速度本身是變化的，不能直接套用勻速直線運(yùn)動的公式但是可以想象，如果我們把整個(gè)過程的時(shí)間分成無數(shù)微小的時(shí)間間隔，我們分得愈密，每一份的時(shí)間間隔也就愈小，此間隔內(nèi)，速度的變化亦就愈小，如果分得足夠細(xì)，就可以認(rèn)為速度幾乎不變，此時(shí)就可將每一份按勻速直線運(yùn)動來處理，完畢之后，再累加即可

必修第七章第4節(jié)《重力勢能》中，計(jì)算物體沿任意路徑向下運(yùn)動時(shí)重力所做的功時(shí)，先將物體運(yùn)動的整個(gè)路徑分成許多很短的間隔，由于每一段都很小很小，就可以將每一段近似地看做一段傾斜的直線，從而就能利用功的定義式計(jì)算出每一小段內(nèi)重力的功，再累加得到整個(gè)過程重力的總功第五節(jié)《彈性勢能》中關(guān)于在求彈簧彈力所做的功時(shí)，先將彈簧拉伸的整個(gè)過程分成很多小段，在足夠小的情況下，每一小段位移中可以認(rèn)為拉力是不變的，從而也能直接利用功的定義式來計(jì)算每一小段內(nèi)拉力所做的功，再累加得到整個(gè)過程拉力的總功這兩個(gè)功的計(jì)算，前者的難點(diǎn)在于物體運(yùn)動的路徑是曲線，后者的難點(diǎn)在于力的大小在變化教材中的處理方法是前者采用了“化曲為直”的思想，后者采用了“化變?yōu)楹恪钡乃枷?/p>

（二）微元法的解題類型

以上四個(gè)實(shí)例中，實(shí)際上給出了微元法解題的兩種常見類型：一是求解利用微元小量比值定義的量，如速度，加速度等；二是求解用微元小量累加起來的量，如求上述兩個(gè)變力功的問題以上也給我們以啟發(fā)求變力功的方法是先對過程取微元，寫出元功表達(dá)式，再累加求和

二、變力作功的幾種情況

（一） 彈簧的彈力做功問題

彈簧在壓縮或伸長過程中，其彈力是變力，故求其做功問題可用微元法

高中物理中常會遇到一些變力做功的問題，尤其在高校自主招生的問題中時(shí)常遇到，此類問題通常不能按常規(guī)的恒力做功方法進(jìn)行求解，但可以利用微元法巧妙地解決

一、認(rèn)知微元思想，了解微元法求變力功的思路

（一）認(rèn)知微元法

微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法它將研究對象（物體或物理過程）進(jìn)行無限細(xì)分，從其中抽取某一微小單元即“元過程”進(jìn)行討論，每個(gè)“元過程”所遵循的規(guī)律是相同的對這些“元過程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問題求解使用此方法可以把一些復(fù)雜的物理過程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地解決，使問題的簡單求解化，從而起到鞏固知識、加深認(rèn)識和提高能力的作用

高中物理教材中實(shí)際上微元法思想時(shí)有滲透如在引入瞬時(shí)速度的概念時(shí)，教材從平均速度出發(fā)，提出從t到t+Δt這段時(shí)間間隔內(nèi)，Δt越小運(yùn)動快慢的差異也就越小，運(yùn)動的描述就越精確在此基礎(chǔ)上，再提出若Δt趨向于零時(shí)，就可以認(rèn)為Δt的平均速度就是t時(shí)刻的瞬時(shí)速度正是這種無限分割的方法，可以使原來較為復(fù)雜的過程轉(zhuǎn)化為較簡單的過程再如，推導(dǎo)勻變速直線運(yùn)動的位移公式，顯然不能直接用s=vt，原因就在于速度本身是變化的，不能直接套用勻速直線運(yùn)動的公式但是可以想象，如果我們把整個(gè)過程的時(shí)間分成無數(shù)微小的時(shí)間間隔，我們分得愈密，每一份的時(shí)間間隔也就愈小，此間隔內(nèi)，速度的變化亦就愈小，如果分得足夠細(xì)，就可以認(rèn)為速度幾乎不變，此時(shí)就可將每一份按勻速直線運(yùn)動來處理，完畢之后，再累加即可

必修第七章第4節(jié)《重力勢能》中，計(jì)算物體沿任意路徑向下運(yùn)動時(shí)重力所做的功時(shí)，先將物體運(yùn)動的整個(gè)路徑分成許多很短的間隔，由于每一段都很小很小，就可以將每一段近似地看做一段傾斜的直線，從而就能利用功的定義式計(jì)算出每一小段內(nèi)重力的功，再累加得到整個(gè)過程重力的總功第五節(jié)《彈性勢能》中關(guān)于在求彈簧彈力所做的功時(shí)，先將彈簧拉伸的整個(gè)過程分成很多小段，在足夠小的情況下，每一小段位移中可以認(rèn)為拉力是不變的，從而也能直接利用功的定義式來計(jì)算每一小段內(nèi)拉力所做的功，再累加得到整個(gè)過程拉力的總功這兩個(gè)功的計(jì)算，前者的難點(diǎn)在于物體運(yùn)動的路徑是曲線，后者的難點(diǎn)在于力的大小在變化教材中的處理方法是前者采用了“化曲為直”的思想，后者采用了“化變?yōu)楹恪钡乃枷?/p>

（二）微元法的解題類型

以上四個(gè)實(shí)例中，實(shí)際上給出了微元法解題的兩種常見類型：一是求解利用微元小量比值定義的量，如速度，加速度等；二是求解用微元小量累加起來的量，如求上述兩個(gè)變力功的問題以上也給我們以啟發(fā)求變力功的方法是先對過程取微元，寫出元功表達(dá)式，再累加求和

二、變力作功的幾種情況

（一） 彈簧的彈力做功問題

彈簧在壓縮或伸長過程中，其彈力是變力，故求其做功問題可用微元法

高中物理中常會遇到一些變力做功的問題，尤其在高校自主招生的問題中時(shí)常遇到，此類問題通常不能按常規(guī)的恒力做功方法進(jìn)行求解，但可以利用微元法巧妙地解決

一、認(rèn)知微元思想，了解微元法求變力功的思路

（一）認(rèn)知微元法

微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法它將研究對象（物體或物理過程）進(jìn)行無限細(xì)分，從其中抽取某一微小單元即“元過程”進(jìn)行討論，每個(gè)“元過程”所遵循的規(guī)律是相同的對這些“元過程”進(jìn)行必要的數(shù)學(xué)方法或物理思想處理，進(jìn)而使問題求解使用此方法可以把一些復(fù)雜的物理過程用我們熟悉的物理規(guī)律迅速地解決，使問題的簡單求解化，從而起到鞏固知識、加深認(rèn)識和提高能力的作用

高中物理教材中實(shí)際上微元法思想時(shí)有滲透如在引入瞬時(shí)速度的概念時(shí)，教材從平均速度出發(fā)，提出從t到t+Δt這段時(shí)間間隔內(nèi)，Δt越小運(yùn)動快慢的差異也就越小，運(yùn)動的描述就越精確在此基礎(chǔ)上，再提出若Δt趨向于零時(shí)，就可以認(rèn)為Δt的平均速度就是t時(shí)刻的瞬時(shí)速度正是這種無限分割的方法，可以使原來較為復(fù)雜的過程轉(zhuǎn)化為較簡單的過程再如，推導(dǎo)勻變速直線運(yùn)動的位移公式，顯然不能直接用s=vt，原因就在于速度本身是變化的，不能直接套用勻速直線運(yùn)動的公式但是可以想象，如果我們把整個(gè)過程的時(shí)間分成無數(shù)微小的時(shí)間間隔，我們分得愈密，每一份的時(shí)間間隔也就愈小，此間隔內(nèi)，速度的變化亦就愈小，如果分得足夠細(xì)，就可以認(rèn)為速度幾乎不變，此時(shí)就可將每一份按勻速直線運(yùn)動來處理，完畢之后，再累加即可

必修第七章第4節(jié)《重力勢能》中，計(jì)算物體沿任意路徑向下運(yùn)動時(shí)重力所做的功時(shí)，先將物體運(yùn)動的整個(gè)路徑分成許多很短的間隔，由于每一段都很小很小，就可以將每一段近似地看做一段傾斜的直線，從而就能利用功的定義式計(jì)算出每一小段內(nèi)重力的功，再累加得到整個(gè)過程重力的總功第五節(jié)《彈性勢能》中關(guān)于在求彈簧彈力所做的功時(shí)，先將彈簧拉伸的整個(gè)過程分成很多小段，在足夠小的情況下，每一小段位移中可以認(rèn)為拉力是不變的，從而也能直接利用功的定義式來計(jì)算每一小段內(nèi)拉力所做的功，再累加得到整個(gè)過程拉力的總功這兩個(gè)功的計(jì)算，前者的難點(diǎn)在于物體運(yùn)動的路徑是曲線，后者的難點(diǎn)在于力的大小在變化教材中的處理方法是前者采用了“化曲為直”的思想，后者采用了“化變?yōu)楹恪钡乃枷?/p>

（二）微元法的解題類型

以上四個(gè)實(shí)例中，實(shí)際上給出了微元法解題的兩種常見類型：一是求解利用微元小量比值定義的量，如速度，加速度等；二是求解用微元小量累加起來的量，如求上述兩個(gè)變力功的問題以上也給我們以啟發(fā)求變力功的方法是先對過程取微元，寫出元功表達(dá)式，再累加求和

二、變力作功的幾種情況

（一） 彈簧的彈力做功問題

彈簧在壓縮或伸長過程中，其彈力是變力，故求其做功問題可用微元法