張 雪，田 媛，王德輝

（吉林大學 數(shù)學學院，長春130012）

由于函數(shù)型數(shù)據(jù)的特殊性，將經(jīng)典多元回歸方法應用到函數(shù)型回歸模型上通常不能得到較好的結果，因此出現(xiàn)了許多處理這類問題的方法.文獻［1］介紹了函數(shù)型線性模型的3種類型：向量型響應變量函數(shù)型解釋變量、函數(shù)型響應變量向量型解釋變量及響應變量和解釋變量均為函數(shù)型.文獻［2］討論了函數(shù)型線性模型.更一般地，在不滿足線性假設的情況下，文獻［3］介紹了非參數(shù)函數(shù)型數(shù)據(jù)，研究了對連接函數(shù)的估計問題.文獻［4］用非參數(shù)方法建立了線性回歸系數(shù)的估計.當變量中既有向量型又有函數(shù)型時，稱其為混合數(shù)據(jù).文獻［5］介紹了針對混合數(shù)據(jù)的部分函數(shù)型線性模型，該模型結合經(jīng)典的多元線性模型和函數(shù)型線性模型，具有獨特的優(yōu)越性.在處理函數(shù)型線性模型時，主成分分析是一種非常重要的方法，文獻［6］介紹了函數(shù)主成分分析的性質.文獻［7］通過把L2空間的函數(shù)型數(shù)據(jù)進行K－L展開，給出了部分函數(shù)型線性模型中系數(shù)的估計量，并討論了估計量的漸近性質，但當函數(shù)型數(shù)據(jù)協(xié)方差算子的特征值只有少數(shù)非零時，該估計的結果與真實值相差較多.本文基于文獻［8］的思想，采用預平滑方法對文獻［7］中給出的估計量進行修正，得到新的相合估計量，解決了上述問題.

1 部分函數(shù)型線性模型

部分函數(shù)型線性模型［5］，即標量返回值Y與預測值（z，X）滿足如下線性關系：

其中：z＝（z1，z2，…，zp）T為p維隨機向量，Ez＝0，Ezz′存在且有限；｛X（t）｝∈L2［0，1］為隨機過程，均值為零，

ε與z，X 相互獨立，且Eε＝0，Varε＝σ2；θ（t）∈L2［0，1］且‖θ‖2＜∞；β為p 維向量.

特別地，當β＝0時，模型（1）為Y＝〈θ（t），X（t）〉＋ε，即函數(shù)型線性模型，當θ＝0時，模型（1）為Y＝βTz＋ε，即多元線性模型，故本文方法同樣適用于這兩種情況.

記過程X 的協(xié)方差函數(shù)KX（s，t）＝Cov（X（s），X（t）），｛（λj，φj）｝j為協(xié)方差算子 K（x）（t）＝〈x（s），KX（s，t）〉的特征值和特征函數(shù)，即滿足 K（φj）＝λjφj.類似地，記 KYX（·）＝ Cov（Y，X（·）），KzX（·）＝Cov（z，X（·））＝ （Kz1X（·），…，KzpX（·））T，Kz＝ Var（z），KzY＝Cov（z，Y）.

根據(jù)文獻［7］采用主成分分析方法，選擇前m個最大特征值對應的主成分將θ（t）和X（t）進行K－L展開，使用最小二乘方法得到估計量：

2 估計量的構造及相合性

由文獻［7］可知，β和θ的估計量中都有＾λj做分母，因此對于只有少數(shù)非零特征值的函數(shù)型樣本，通過模擬可知這種估計量非常不穩(wěn)定，因此本文采用預平滑方法對估計量進行修正：令｛αn｝n為一列趨于0的正實數(shù).給出新的估計量：

式（4）和式（5）通過對分式分母的處理解決了分母趨于零的問題，使得估計量更穩(wěn)定.

估計量的相合性需要如下假設：

定理1 在假設（H1）～（H5）下，

定理2 在假設（H1）～（H5）下，‖＾θαn－θ‖→0a.s.

定理1和定理2表明，在一定的條件下本文給出的系數(shù)函數(shù)估計量和系數(shù)向量估計量具有相合性.

下面證明定理1和定理2.定理1的證明類似于文獻［7］中定理3.1的證明，所用符號也與文獻［7］相對應，不同處將用上標αn標注.

引理1 令

則有

證明：由于

2.1 定理1的證明

首先注意到

由于z（k）＝g（k）＋η（k），故

其中：g（k）＝（〈gk，X1〉，…，〈gk，Xn〉）T；η（k）＝（η1k，…，ηnk）T.經(jīng)計算可得

因為

故

同理可得

根據(jù)文獻［7］，

其中Bkk為B的第k個對角線元素.從而得

即

從而

2.2 定理2的證明

3 數(shù)值模擬

下面給出一個實例，比較Shin［7］給出的估計量和本文提出的估計量.在模型（1）中，令

分別為預測值的均方誤差、估計θ的均方誤差和估計β的均方誤差，其中p為維數(shù).

表1 兩種估計量的均方誤差Table 1 Mean square error for two types of estimators

由表1可見，當m≤3時兩種估計量的效果幾乎相同，由Shin提出的估計量在m＝4時達到最優(yōu)；當m＞4時，由于趨于零的特征值在分母上產生較大波動，所以不能給出準確的估計，很明顯本文給出的估計量具有較好的穩(wěn)定性，而且優(yōu)于Shin的結果，表明在處理這類數(shù)據(jù)時使用本文的估計量可以選取適當大的m值而不必計算m的最優(yōu)值.

［1］Ramsay J O，Silverman B W.Functional Data Analysis［M］.2nd ed.New York：Springer，2005：217－295.

［2］Cardot H，F(xiàn)erraty F，Sarda P.Functional Linear Model ［J］.Statistics ＆ Probability Letters，1999，45（1）：11－22.

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