孫芳

[摘 要] 本文從圓的對稱性之“垂徑定理”的教學(xué)設(shè)計與課堂教學(xué)出發(fā)，通過對學(xué)情的分析、教學(xué)目標(biāo)的設(shè)置及教學(xué)過程的分析，闡述了教師如何設(shè)置情境，如何激發(fā)學(xué)生動手操作的意識，以及探究過程中如何體現(xiàn)學(xué)生的自主性.

[關(guān)鍵詞] 垂徑定理；半徑；半弦；弦心距

■ 概況

學(xué)情分析？搖 本次授課的班級是蘇州市胥江實驗中學(xué)校初三（6）班，本班學(xué)生來自學(xué)校周圍學(xué)區(qū)內(nèi)，學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)基礎(chǔ)良好，學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣較為濃厚，有部分學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力較為突出.

教學(xué)目標(biāo)？搖 1. 知識與技能

（1）通過觀察折紙圖片，使學(xué)生理解圓的軸對稱性.

（2）掌握垂徑定理，理解其證明過程，學(xué)會利用垂徑定理解決有關(guān)的證明與計算問題.

（3）掌握添輔助線的方法，可以是連半徑，或過圓心作一條與弦垂直的線段，目的是找出“半徑、半弦、弦心距”組成的直角三角形，進(jìn)而用勾股定理解題.

2. 過程與方法

（1）通過翻折的探究方法，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力、邏輯思維能力和歸納概括能力.

（2）向?qū)W生滲透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法.

3. 情感、態(tài)度、價值觀

（1）結(jié)合本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，向?qū)W生進(jìn)行數(shù)學(xué)對稱美的美育滲透.

（2）使學(xué)生領(lǐng)會教學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和探索精神，激發(fā)學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的興趣，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的審美觀以及積極參與的熱情.

教學(xué)重點？搖 垂徑定理及其應(yīng)用.

教學(xué)難點？搖 垂徑定理的證明及其應(yīng)用.

教學(xué)方法？搖 探究發(fā)現(xiàn)法.

教學(xué)準(zhǔn)備？搖 教師自制的圓形紙片教具、PPT課件、電子白板和電腦的提前開啟、三角板、圓規(guī)；學(xué)生準(zhǔn)備好圓規(guī)和三角板.

■ 教學(xué)過程

1. 引入新知

師：同學(xué)們還記得什么叫軸對稱圖形嗎？

生1：把一個圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做 軸 對稱圖形，這條直線叫做 對稱軸 .

設(shè)計說明？搖 通過復(fù)習(xí)以前所學(xué)的軸對稱概念，為本節(jié)課探究圓的軸對稱性做鋪墊，引出翻折的研究方法，引導(dǎo)學(xué)生通過翻折發(fā)現(xiàn)垂徑定理的內(nèi)容.

2. 創(chuàng)設(shè)情境

師：今天我們要學(xué)習(xí)“圓的對稱性”知識. 請大家思考：圓是軸對稱圖形嗎？

生（齊）：圓是軸對稱圖形.

師：如果是，它的對稱軸是什么？你能找到多少條對稱軸？

生1：經(jīng)過圓心的直線（直徑所在的直線）是圓的對稱軸；圓有無數(shù)條對稱軸.

師：你是用什么方法獲得上述發(fā)現(xiàn)的？

生1：通過折疊的方法.

（教師引導(dǎo)：圓的軸對稱性；對稱軸的描述；板書）

設(shè)計說明 ？搖通過創(chuàng)設(shè)一個學(xué)生比較容易理解的情境以及三個問題，逐步引導(dǎo)學(xué)生歸納圓的軸對稱性和探究的方法：折疊，為下面的“探索新知”環(huán)節(jié)提供方法.

3. 探索新知

師：請同學(xué)們在準(zhǔn)備好的圓形紙片上畫出任意一條直徑AB，再畫一條弦CD，使得整個圖形仍是軸對稱圖形. （生2板演如何畫弦CD）

設(shè)計說明？搖 讓學(xué)生自己動手操作，發(fā)現(xiàn)圓的對稱性，培養(yǎng)學(xué)生的動手實踐能力.

學(xué)生出現(xiàn)了下面兩種畫法（如圖2和圖3所示），教師肯定了學(xué)生畫法的正確性，引導(dǎo)學(xué)生今天所要研究的對象：垂直的情況. 進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生折疊圖形，思考以下問題.

■

師：圖3是軸對稱圖形，對稱軸是什么？

生（齊）：對稱軸是直線AB.

師：你能發(fā)現(xiàn)圖3中有哪些相等的線段、相等的??？說說你的理由.（引導(dǎo)學(xué)生自主證明）

教師提問后留給學(xué)生自主證明的時間，結(jié)合教師巡視的過程，讓一位思路正確的學(xué)生回答自己所找到的等量關(guān)系、證明方法，學(xué)生敘述，教師板書如下證明過程.

■

設(shè)計說明？搖 當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓的對稱性后，再自己動手添加輔助線，既考查了學(xué)生對軸對稱的理解，又培養(yǎng)了學(xué)生觀察、思維的能力. 在確定研究對象后，再自主探究尋找相等的線段、相等的弧，這一系列過程，意在培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、嚴(yán)謹(jǐn)推理的數(shù)學(xué)習(xí)慣.

驗證定理，形成垂徑定理的文字語言、符號語言、圖形表示，教師板書如下.

垂徑定理：垂直于弦的直徑，平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

符號語言：∵AB是直徑，AB⊥CD于點P，∴PC=PD，■=■，■=■.

■

設(shè)計說明 定理呈現(xiàn)的三種形式都要求學(xué)生能懂，即文字語言描述、數(shù)學(xué)推理符號、圖形. 板書的呈現(xiàn)有助于學(xué)生看清教師的書寫，理解三種形式，幫助學(xué)生加強(qiáng)對定理的理解.

4. 運(yùn)用新知

師：接下來我們就運(yùn)用剛才學(xué)過的垂徑定理來解決問題.

基礎(chǔ)訓(xùn)練？搖（1）如圖6所示，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點E，則下列結(jié)論中不一定成立的是（ ）

A.∠COE=∠DOE B. CE=DE

C. OE=BE？搖 ？搖D. ■=■

■

生2：我選擇C，因為其余三個選項都能用垂徑定理證明出來.

師：很好！這位同學(xué)已經(jīng)深深記住了垂徑定理的內(nèi)容.

（2）如圖7所示，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點P. 若CD=8，OP=3，則⊙O的半徑為______.

■

生3：半徑為5，根據(jù)垂徑定理可知CP=4，連結(jié)OC，則△OCP是直角三角形. 應(yīng)用勾股定理可求得半徑OC=5.

師：回答得很好，分析得也很到位，大家聽懂了嗎？endprint

生（齊）：聽懂了.

（3）如圖8所示，在半徑為10的⊙O中，弦AB=16，OC⊥AB于點C，則OC=______.

■

生4： OC=6，因為OC⊥AB于點C，所以AC是AB的一半，等于8，在Rt△AOC中應(yīng)用勾股定理可求得OC=6.

師：回答得很好，本題繼續(xù)使用了垂徑定理，并結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解.

（4）如圖9所示，⊙O的直徑AB=50，弦CD⊥AB于點P，OP=7，那么弦CD的長為________.

■

生5： CD=48，因為CD⊥AB于點P，所以PC是CD的一半. 連結(jié)OC，在Rt△OCP中用勾股定理可求得PC=24，從而得出CD=48.

師：回答得很好，這位同學(xué)的方法給我們的啟示是：要求弦長CD，可以先求出半弦長PC，這種解題方法在今后會時常遇到，請同學(xué)們記住.

歸納？搖 構(gòu)造半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形，結(jié)合勾股定理解題.

設(shè)計說明 ？搖基礎(chǔ)練習(xí)中的第（1）題，鞏固學(xué)生對垂徑定理基本圖形的認(rèn)識，通過對第（2）～（4）題的分別求解，了解求半徑、弦心距、弦長（先求半弦長）的過程，總結(jié)垂徑定理中常用到的直角三角形的構(gòu)成，即半徑、半弦、弦心距. 經(jīng)過這樣的過程，讓學(xué)生在解決問題時有方向，知道每次都去找這樣的直角三角形，缺哪一條線段，就添加相應(yīng)的輔助線，解決學(xué)生困惑的如何添加輔助線問題.

師：接下來讓我們運(yùn)用垂徑定理解決典型例題，請生6和生7來板演例1與變式1.

例1 如圖10所示，⊙O的直徑AB⊥弦CD于點E，AE = 1 cm，OE = 2 cm，求弦CD的長.

■

變式1？搖 如圖11所示，⊙O的直徑AB⊥弦CD于點E，AE=1 cm，CD=4 cm，求圓O的半徑.

■

師：這兩位同學(xué)的解題書寫（板演內(nèi)容略）都很好，在變式1中我們學(xué)會了巧設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理建立方程求解的方法.

變式2？搖 如圖12所示，⊙O的直徑AB和弦CD相交于點E，已知AE=1 cm，BE=5 cm，∠DEB=60°，求弦CD的長.

■

師：對于直徑和弦垂直，我們已經(jīng)練習(xí)了很多題，這里，直徑和弦不垂直，應(yīng)怎么辦呢？

生（七嘴八舌）：那就添個垂直啊.

師：怎么添垂直？請一位同學(xué)來說說看.

生6：過點O作OF⊥CD于點F.

師：我來作圖，你接著分析.

生6：因為OF⊥CD于點F，所以CD的長就是DF的2倍，連結(jié)OD，分別在Rt△OEF和Rt△ODF中求出OF和DF.

師：很好！聽懂的同學(xué)請舉手. 請大家在學(xué)案上自己完成本題的書寫.

例2？搖 如圖13所示，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C和點D，AC與BD相等嗎？為什么？

■

有了變式2“作垂直”添加輔助線的方法，學(xué)生很快能上手做例2. 教師先讓學(xué)生思考，然后停筆，請學(xué)生來回答如何做，教師則板書本題的全部解題過程.

設(shè)計說明？搖 本節(jié)課預(yù)設(shè)了兩個例題，例1較為基礎(chǔ)，主要考查學(xué)生對輔助線添加方法的理解，從基礎(chǔ)習(xí)題過渡到學(xué)生自己添線，思路上比較順. 教學(xué)中采用學(xué)生先在學(xué)案上自我探究，教師讓一名學(xué)生板演過程的方式. 變式1在例1的基礎(chǔ)上，要設(shè)未知數(shù)解題. 教學(xué)中，先給予學(xué)生探索的時間，教師則根據(jù)學(xué)生的情況適當(dāng)引導(dǎo)，根據(jù)學(xué)生的反饋，讓一名學(xué)生板演過程，教師則點評解題過程并歸納設(shè)未知數(shù)解題的方法. 變式2進(jìn)一步深化內(nèi)容，在變式1的基礎(chǔ)上將弦和直徑由垂直的關(guān)系引申到相交銳角為60°的情形，題目注重分析與板書師范，并由此引導(dǎo)學(xué)生解決類似問題. 例2題目本身不難，學(xué)生在理解“過圓心向弦作垂線段，即弦心距的輔助線添加方法”后，本題可能會有多種證明方法的出現(xiàn)，教學(xué)中可以讓學(xué)生盡情發(fā)揮，一題多解.

5. 課堂小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生回顧這節(jié)課的經(jīng)歷，讓學(xué)生在反思與回顧中體會這節(jié)課經(jīng)歷的動手操作、實踐探索、自我證明等過程，便于學(xué)生在解幾何問題時掌握“動手畫圖、觀察分析、歸納論證”的解題方法，這樣的課堂是有深度和長度的課堂. 教師根據(jù)學(xué)生的反饋，補(bǔ)充、歸納這節(jié)課的主要內(nèi)容：

（1）垂徑定理及其應(yīng)用.

（2）將垂徑定理與勾股定理有機(jī)結(jié)合，尋找“半徑、半弦、弦心距”構(gòu)成的直角三角形.

（3）圓中經(jīng)常添加的輔助線.

設(shè)計說明？搖 教學(xué)中，本節(jié)課的主要內(nèi)容都在黑板左側(cè)部分體現(xiàn)，學(xué)生基本已經(jīng)養(yǎng)成總結(jié)時找黑板的習(xí)慣，因此基本都能說出本節(jié)課的主要內(nèi)容，教師則根據(jù)學(xué)生的回答情況，提醒、強(qiáng)調(diào)注意點即可.

6. 作業(yè)布置

完成學(xué)案上剩余的習(xí)題.

7. 板書設(shè)計（如圖14所示）

■ 教學(xué)設(shè)計及反思

1. 每種教學(xué)模式都有優(yōu)劣，若一味地按照一種教學(xué)模式貫穿整個教學(xué)過程，并不能達(dá)到最好的效果. 對于教師來說，可以根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，選擇不同的教學(xué)模式來教學(xué)，因此，本節(jié)課筆者選擇讓學(xué)生自己動手折一折的方法，讓學(xué)生自己操作、發(fā)現(xiàn)問題，給學(xué)生一個自我探索的過程，學(xué)生經(jīng)歷這樣的過程后應(yīng)該更有利于他們發(fā)現(xiàn)結(jié)論.

2. 教學(xué)中，充分尊重學(xué)生、關(guān)注學(xué)生的發(fā)展動態(tài). 在這節(jié)課中，筆者注重肯定學(xué)生的點滴發(fā)現(xiàn)，多次給予學(xué)生展示自己的機(jī)會，鍛煉學(xué)生的膽量，培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力及邏輯推理能力，并給予適當(dāng)?shù)墓膭钆c表揚(yáng)，使學(xué)生有成功感，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣.

3. 在知識發(fā)生、發(fā)展與應(yīng)用的過程中，應(yīng)注重思想方法的滲透，如本節(jié)課從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，不僅教給了學(xué)生解決問題的辦法，更讓學(xué)生學(xué)會了學(xué)習(xí).endprint

生（齊）：聽懂了.

（3）如圖8所示，在半徑為10的⊙O中，弦AB=16，OC⊥AB于點C，則OC=______.

■

生4： OC=6，因為OC⊥AB于點C，所以AC是AB的一半，等于8，在Rt△AOC中應(yīng)用勾股定理可求得OC=6.

師：回答得很好，本題繼續(xù)使用了垂徑定理，并結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解.

（4）如圖9所示，⊙O的直徑AB=50，弦CD⊥AB于點P，OP=7，那么弦CD的長為________.

■

生5： CD=48，因為CD⊥AB于點P，所以PC是CD的一半. 連結(jié)OC，在Rt△OCP中用勾股定理可求得PC=24，從而得出CD=48.

師：回答得很好，這位同學(xué)的方法給我們的啟示是：要求弦長CD，可以先求出半弦長PC，這種解題方法在今后會時常遇到，請同學(xué)們記住.

歸納？搖 構(gòu)造半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形，結(jié)合勾股定理解題.

設(shè)計說明 ？搖基礎(chǔ)練習(xí)中的第（1）題，鞏固學(xué)生對垂徑定理基本圖形的認(rèn)識，通過對第（2）～（4）題的分別求解，了解求半徑、弦心距、弦長（先求半弦長）的過程，總結(jié)垂徑定理中常用到的直角三角形的構(gòu)成，即半徑、半弦、弦心距. 經(jīng)過這樣的過程，讓學(xué)生在解決問題時有方向，知道每次都去找這樣的直角三角形，缺哪一條線段，就添加相應(yīng)的輔助線，解決學(xué)生困惑的如何添加輔助線問題.

師：接下來讓我們運(yùn)用垂徑定理解決典型例題，請生6和生7來板演例1與變式1.

例1 如圖10所示，⊙O的直徑AB⊥弦CD于點E，AE = 1 cm，OE = 2 cm，求弦CD的長.

■

變式1？搖 如圖11所示，⊙O的直徑AB⊥弦CD于點E，AE=1 cm，CD=4 cm，求圓O的半徑.

■

師：這兩位同學(xué)的解題書寫（板演內(nèi)容略）都很好，在變式1中我們學(xué)會了巧設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理建立方程求解的方法.

變式2？搖 如圖12所示，⊙O的直徑AB和弦CD相交于點E，已知AE=1 cm，BE=5 cm，∠DEB=60°，求弦CD的長.

■

師：對于直徑和弦垂直，我們已經(jīng)練習(xí)了很多題，這里，直徑和弦不垂直，應(yīng)怎么辦呢？

生（七嘴八舌）：那就添個垂直啊.

師：怎么添垂直？請一位同學(xué)來說說看.

生6：過點O作OF⊥CD于點F.

師：我來作圖，你接著分析.

生6：因為OF⊥CD于點F，所以CD的長就是DF的2倍，連結(jié)OD，分別在Rt△OEF和Rt△ODF中求出OF和DF.

師：很好！聽懂的同學(xué)請舉手. 請大家在學(xué)案上自己完成本題的書寫.

例2？搖 如圖13所示，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C和點D，AC與BD相等嗎？為什么？

■

有了變式2“作垂直”添加輔助線的方法，學(xué)生很快能上手做例2. 教師先讓學(xué)生思考，然后停筆，請學(xué)生來回答如何做，教師則板書本題的全部解題過程.

設(shè)計說明？搖 本節(jié)課預(yù)設(shè)了兩個例題，例1較為基礎(chǔ)，主要考查學(xué)生對輔助線添加方法的理解，從基礎(chǔ)習(xí)題過渡到學(xué)生自己添線，思路上比較順. 教學(xué)中采用學(xué)生先在學(xué)案上自我探究，教師讓一名學(xué)生板演過程的方式. 變式1在例1的基礎(chǔ)上，要設(shè)未知數(shù)解題. 教學(xué)中，先給予學(xué)生探索的時間，教師則根據(jù)學(xué)生的情況適當(dāng)引導(dǎo)，根據(jù)學(xué)生的反饋，讓一名學(xué)生板演過程，教師則點評解題過程并歸納設(shè)未知數(shù)解題的方法. 變式2進(jìn)一步深化內(nèi)容，在變式1的基礎(chǔ)上將弦和直徑由垂直的關(guān)系引申到相交銳角為60°的情形，題目注重分析與板書師范，并由此引導(dǎo)學(xué)生解決類似問題. 例2題目本身不難，學(xué)生在理解“過圓心向弦作垂線段，即弦心距的輔助線添加方法”后，本題可能會有多種證明方法的出現(xiàn)，教學(xué)中可以讓學(xué)生盡情發(fā)揮，一題多解.

5. 課堂小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生回顧這節(jié)課的經(jīng)歷，讓學(xué)生在反思與回顧中體會這節(jié)課經(jīng)歷的動手操作、實踐探索、自我證明等過程，便于學(xué)生在解幾何問題時掌握“動手畫圖、觀察分析、歸納論證”的解題方法，這樣的課堂是有深度和長度的課堂. 教師根據(jù)學(xué)生的反饋，補(bǔ)充、歸納這節(jié)課的主要內(nèi)容：

（1）垂徑定理及其應(yīng)用.

（2）將垂徑定理與勾股定理有機(jī)結(jié)合，尋找“半徑、半弦、弦心距”構(gòu)成的直角三角形.

（3）圓中經(jīng)常添加的輔助線.

設(shè)計說明？搖 教學(xué)中，本節(jié)課的主要內(nèi)容都在黑板左側(cè)部分體現(xiàn)，學(xué)生基本已經(jīng)養(yǎng)成總結(jié)時找黑板的習(xí)慣，因此基本都能說出本節(jié)課的主要內(nèi)容，教師則根據(jù)學(xué)生的回答情況，提醒、強(qiáng)調(diào)注意點即可.

6. 作業(yè)布置

完成學(xué)案上剩余的習(xí)題.

7. 板書設(shè)計（如圖14所示）

■ 教學(xué)設(shè)計及反思

1. 每種教學(xué)模式都有優(yōu)劣，若一味地按照一種教學(xué)模式貫穿整個教學(xué)過程，并不能達(dá)到最好的效果. 對于教師來說，可以根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，選擇不同的教學(xué)模式來教學(xué)，因此，本節(jié)課筆者選擇讓學(xué)生自己動手折一折的方法，讓學(xué)生自己操作、發(fā)現(xiàn)問題，給學(xué)生一個自我探索的過程，學(xué)生經(jīng)歷這樣的過程后應(yīng)該更有利于他們發(fā)現(xiàn)結(jié)論.

2. 教學(xué)中，充分尊重學(xué)生、關(guān)注學(xué)生的發(fā)展動態(tài). 在這節(jié)課中，筆者注重肯定學(xué)生的點滴發(fā)現(xiàn)，多次給予學(xué)生展示自己的機(jī)會，鍛煉學(xué)生的膽量，培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力及邏輯推理能力，并給予適當(dāng)?shù)墓膭钆c表揚(yáng)，使學(xué)生有成功感，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣.

3. 在知識發(fā)生、發(fā)展與應(yīng)用的過程中，應(yīng)注重思想方法的滲透，如本節(jié)課從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，不僅教給了學(xué)生解決問題的辦法，更讓學(xué)生學(xué)會了學(xué)習(xí).endprint

生（齊）：聽懂了.

（3）如圖8所示，在半徑為10的⊙O中，弦AB=16，OC⊥AB于點C，則OC=______.

■

生4： OC=6，因為OC⊥AB于點C，所以AC是AB的一半，等于8，在Rt△AOC中應(yīng)用勾股定理可求得OC=6.

師：回答得很好，本題繼續(xù)使用了垂徑定理，并結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解.

（4）如圖9所示，⊙O的直徑AB=50，弦CD⊥AB于點P，OP=7，那么弦CD的長為________.

■

生5： CD=48，因為CD⊥AB于點P，所以PC是CD的一半. 連結(jié)OC，在Rt△OCP中用勾股定理可求得PC=24，從而得出CD=48.

師：回答得很好，這位同學(xué)的方法給我們的啟示是：要求弦長CD，可以先求出半弦長PC，這種解題方法在今后會時常遇到，請同學(xué)們記住.

歸納？搖 構(gòu)造半徑、半弦、弦心距組成的直角三角形，結(jié)合勾股定理解題.

設(shè)計說明 ？搖基礎(chǔ)練習(xí)中的第（1）題，鞏固學(xué)生對垂徑定理基本圖形的認(rèn)識，通過對第（2）～（4）題的分別求解，了解求半徑、弦心距、弦長（先求半弦長）的過程，總結(jié)垂徑定理中常用到的直角三角形的構(gòu)成，即半徑、半弦、弦心距. 經(jīng)過這樣的過程，讓學(xué)生在解決問題時有方向，知道每次都去找這樣的直角三角形，缺哪一條線段，就添加相應(yīng)的輔助線，解決學(xué)生困惑的如何添加輔助線問題.

師：接下來讓我們運(yùn)用垂徑定理解決典型例題，請生6和生7來板演例1與變式1.

例1 如圖10所示，⊙O的直徑AB⊥弦CD于點E，AE = 1 cm，OE = 2 cm，求弦CD的長.

■

變式1？搖 如圖11所示，⊙O的直徑AB⊥弦CD于點E，AE=1 cm，CD=4 cm，求圓O的半徑.

■

師：這兩位同學(xué)的解題書寫（板演內(nèi)容略）都很好，在變式1中我們學(xué)會了巧設(shè)未知數(shù)，利用勾股定理建立方程求解的方法.

變式2？搖 如圖12所示，⊙O的直徑AB和弦CD相交于點E，已知AE=1 cm，BE=5 cm，∠DEB=60°，求弦CD的長.

■

師：對于直徑和弦垂直，我們已經(jīng)練習(xí)了很多題，這里，直徑和弦不垂直，應(yīng)怎么辦呢？

生（七嘴八舌）：那就添個垂直啊.

師：怎么添垂直？請一位同學(xué)來說說看.

生6：過點O作OF⊥CD于點F.

師：我來作圖，你接著分析.

生6：因為OF⊥CD于點F，所以CD的長就是DF的2倍，連結(jié)OD，分別在Rt△OEF和Rt△ODF中求出OF和DF.

師：很好！聽懂的同學(xué)請舉手. 請大家在學(xué)案上自己完成本題的書寫.

例2？搖 如圖13所示，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C和點D，AC與BD相等嗎？為什么？

■

有了變式2“作垂直”添加輔助線的方法，學(xué)生很快能上手做例2. 教師先讓學(xué)生思考，然后停筆，請學(xué)生來回答如何做，教師則板書本題的全部解題過程.

設(shè)計說明？搖 本節(jié)課預(yù)設(shè)了兩個例題，例1較為基礎(chǔ)，主要考查學(xué)生對輔助線添加方法的理解，從基礎(chǔ)習(xí)題過渡到學(xué)生自己添線，思路上比較順. 教學(xué)中采用學(xué)生先在學(xué)案上自我探究，教師讓一名學(xué)生板演過程的方式. 變式1在例1的基礎(chǔ)上，要設(shè)未知數(shù)解題. 教學(xué)中，先給予學(xué)生探索的時間，教師則根據(jù)學(xué)生的情況適當(dāng)引導(dǎo)，根據(jù)學(xué)生的反饋，讓一名學(xué)生板演過程，教師則點評解題過程并歸納設(shè)未知數(shù)解題的方法. 變式2進(jìn)一步深化內(nèi)容，在變式1的基礎(chǔ)上將弦和直徑由垂直的關(guān)系引申到相交銳角為60°的情形，題目注重分析與板書師范，并由此引導(dǎo)學(xué)生解決類似問題. 例2題目本身不難，學(xué)生在理解“過圓心向弦作垂線段，即弦心距的輔助線添加方法”后，本題可能會有多種證明方法的出現(xiàn)，教學(xué)中可以讓學(xué)生盡情發(fā)揮，一題多解.

5. 課堂小結(jié)

引導(dǎo)學(xué)生回顧這節(jié)課的經(jīng)歷，讓學(xué)生在反思與回顧中體會這節(jié)課經(jīng)歷的動手操作、實踐探索、自我證明等過程，便于學(xué)生在解幾何問題時掌握“動手畫圖、觀察分析、歸納論證”的解題方法，這樣的課堂是有深度和長度的課堂. 教師根據(jù)學(xué)生的反饋，補(bǔ)充、歸納這節(jié)課的主要內(nèi)容：

（1）垂徑定理及其應(yīng)用.

（2）將垂徑定理與勾股定理有機(jī)結(jié)合，尋找“半徑、半弦、弦心距”構(gòu)成的直角三角形.

（3）圓中經(jīng)常添加的輔助線.

設(shè)計說明？搖 教學(xué)中，本節(jié)課的主要內(nèi)容都在黑板左側(cè)部分體現(xiàn)，學(xué)生基本已經(jīng)養(yǎng)成總結(jié)時找黑板的習(xí)慣，因此基本都能說出本節(jié)課的主要內(nèi)容，教師則根據(jù)學(xué)生的回答情況，提醒、強(qiáng)調(diào)注意點即可.

6. 作業(yè)布置

完成學(xué)案上剩余的習(xí)題.

7. 板書設(shè)計（如圖14所示）

■ 教學(xué)設(shè)計及反思

1. 每種教學(xué)模式都有優(yōu)劣，若一味地按照一種教學(xué)模式貫穿整個教學(xué)過程，并不能達(dá)到最好的效果. 對于教師來說，可以根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，選擇不同的教學(xué)模式來教學(xué)，因此，本節(jié)課筆者選擇讓學(xué)生自己動手折一折的方法，讓學(xué)生自己操作、發(fā)現(xiàn)問題，給學(xué)生一個自我探索的過程，學(xué)生經(jīng)歷這樣的過程后應(yīng)該更有利于他們發(fā)現(xiàn)結(jié)論.

2. 教學(xué)中，充分尊重學(xué)生、關(guān)注學(xué)生的發(fā)展動態(tài). 在這節(jié)課中，筆者注重肯定學(xué)生的點滴發(fā)現(xiàn)，多次給予學(xué)生展示自己的機(jī)會，鍛煉學(xué)生的膽量，培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力及邏輯推理能力，并給予適當(dāng)?shù)墓膭钆c表揚(yáng)，使學(xué)生有成功感，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的興趣.

3. 在知識發(fā)生、發(fā)展與應(yīng)用的過程中，應(yīng)注重思想方法的滲透，如本節(jié)課從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，不僅教給了學(xué)生解決問題的辦法，更讓學(xué)生學(xué)會了學(xué)習(xí).endprint