蒲大勇

[摘 要] 初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一般規(guī)律是：從具體到抽象，從特殊到一般，從過程到結(jié)論，從知覺到空間，從感性到理性，教學(xué)應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；認(rèn)知規(guī)律；案例剖析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出：課程內(nèi)容要反映社會(huì)的需要、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律. 認(rèn)知心理學(xué)研究表明，學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的一般規(guī)律是：從具體到抽象，從特殊到一般，從過程到結(jié)論，從知覺到空間，從感性到理性，從整體到局部. 教學(xué)理應(yīng)遵循這些規(guī)律，然而，初中數(shù)學(xué)教學(xué)中違背這些規(guī)律的現(xiàn)象并不鮮見，導(dǎo)致課堂教學(xué)價(jià)值流失. 筆者把平時(shí)課堂觀察到的一些實(shí)例及改進(jìn)實(shí)踐整理出來，以饗讀者.

■ 具體與抽象

從思維發(fā)展的角度來看，初中生處在半幼稚、半成熟的過渡時(shí)期，抽象思維水平仍然較低，處于從直覺經(jīng)驗(yàn)型思維向邏輯思維的過渡階段，其邏輯思維層次仍處在形式邏輯思維階段，辯證思維還只處在萌芽和初始狀態(tài)上，因此，初中生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解、判斷、推理，在很大程度上仍然離不開直觀形象的支撐，呈現(xiàn)知識(shí)時(shí)應(yīng)做到從具體到抽象.

案例1？搖 “一元一次方程”概念教學(xué)片斷——

師：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式，這樣的方程叫一元一次方程. 這個(gè)概念有四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)需要注意，一是只含一個(gè)未知數(shù)；二是未知數(shù)的次數(shù)都是1；三是等式；四是每個(gè)式子都是整式.（板書）

師：判斷下列式子哪些是一元一次方程？哪些不是？為什么？

（1）2x=1；？搖 （2）3x+4=7；

（3）4y-3=■；？搖 （4）3x+4y=12；

（5）y2=4+y； （6）xy=7；

（7）■m-5=0； ？搖 （8）■+3=5；

（9）x2-l=0；？搖 （10）x=8；

（11）a+8；？搖？搖 ？搖（12）0.75y+8=0.

學(xué)生分組討論后，派代表回答. 多數(shù)學(xué)生能夠找出一元一次方程，但個(gè)別學(xué)生對(duì)（3）（6）（7）（8）（10）等式子感到迷惑.

剖析？搖 教師把抽象的“一元一次方程”概念直接告訴了學(xué)生，并越俎代庖地把一元一次方程的本質(zhì)特征也給抽象了，而學(xué)生則“懷揣”老師抽象的“一元一次方程”去對(duì)每個(gè)“具體”式子進(jìn)行判斷. 通過課堂觀察，學(xué)生對(duì)（3）（6）（7）（8）（10）等式子的判斷有障礙，原因是學(xué)生對(duì)一元一次方程的本質(zhì)理解不夠深刻，而導(dǎo)致這種結(jié)果的根源是教師違反了初中生“從具體到抽象”的認(rèn)知規(guī)律，沒有讓學(xué)生通過具體的實(shí)例自己抽象、概括出一元一次方程的概念.

改進(jìn)實(shí)踐？搖 問題1：觀察下列幾個(gè)式子，它們有什么共同特點(diǎn)？

（1）4x=24；

（2）1700+150x=2450；

（3）0.52x -（1-0.52）x=80.

生1：這三個(gè)式子都是等式，都含有字母x.

生2：等號(hào)兩邊都是整式，都只含有一個(gè)未知數(shù)x，未知數(shù)的次數(shù)都是1.

生3：等式，等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1.

……

（師生共同歸納、總結(jié)了一元一次方程的概念和本質(zhì)特征）

問題2：判斷下列式子哪些是一元一次方程？哪些不是？為什么？

（1）2x=1；？搖 （2）3x+4=7；

（3）4y-3=■；？搖 （4）3x+4y=12；

（5）y2=4+y； （6）xy=7；

（7）■m-5=0；？搖 （8）■+3=5；

（9）x2-l=0；？搖 （10）x=8；

（11）a+8；？搖？搖 ？搖 （12）0.75y+8=0.

（學(xué)生分組討論、判斷）

效果分析？搖 教學(xué)中遵循學(xué)生“具體—抽象—具體”的認(rèn)知規(guī)律，學(xué)生在具體的式子中感知概念的本質(zhì)屬性，通過觀察、分析等數(shù)學(xué)活動(dòng)，抽象、概括出這個(gè)概念，同時(shí)把抽象、概括的本質(zhì)屬性應(yīng)用到多個(gè)變式（既有標(biāo)準(zhǔn)變式，也有非標(biāo)準(zhǔn)變式）的具體式子中，有助于學(xué)生對(duì)一元一次方程的多角度理解，掌握一元一次方程的本質(zhì)特征.

■ 特殊與一般

辯證唯物主義認(rèn)為：人們認(rèn)識(shí)事物的順序總是把特殊的事物作為認(rèn)識(shí)的出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)這些事物的具體屬性，然后在此基礎(chǔ)上抽象、概括，逐步擴(kuò)大到認(rèn)識(shí)同類事物一般的、普遍的本質(zhì). 初中生同樣要遵循“特殊—一般—特殊”的認(rèn)識(shí)規(guī)律. 通過特殊去發(fā)現(xiàn)一般，揭示一般，以形成規(guī)律性的認(rèn)識(shí)，然后，再按照一般去解釋特殊，理解特殊.

案例2？搖 “一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”教學(xué)片斷——

（復(fù)習(xí)一元二次方程的三種解法后）

師：因?yàn)閍x2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的兩根分別為x■=■，x■=■，所以x■+x■=■+■= -■，x■·x■= ■·■=■.

（接下來，教師用數(shù)學(xué)文字語(yǔ)言表述了根與系數(shù)的關(guān)系，學(xué)生記憶幾遍）

師：關(guān)于x的方程x2+px+q=0 （p，q為常數(shù)，p2-4q≥0）的兩根x■，x■，它們與系數(shù)p，q之間有什么關(guān)系？

（生機(jī)械套用公式，有近30%出錯(cuò)）

師：寫出方程2x2-3x+1=0的兩根之和與兩根之積.

……

剖析？搖 教者先用一元二次方程的一般形式采用“推導(dǎo)證明”的方式得出根與系數(shù)的關(guān)系，然后，要求學(xué)生探究二次項(xiàng)系數(shù)是“1”的一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（兩個(gè)均含有字母參數(shù)），接下來，用含有具體數(shù)字的特殊一元二次方程探究根與系數(shù)的關(guān)系. 整個(gè)教學(xué)過程由難到易，由一般到特殊，略去了“實(shí)例試驗(yàn)—?dú)w納猜想”的過程，是一種純理性的“注入”，學(xué)生對(duì)根與系數(shù)的關(guān)系理解、接受有困難，效果不盡如人意.

改進(jìn)實(shí)踐？搖 活動(dòng)一：感知根與系數(shù)的關(guān)系

解下列方程，并填寫表格.

■

觀察上面的表格，你發(fā)現(xiàn)這些一元二次方程的根與系數(shù)有什么規(guī)律？

（學(xué)生順利完成了這個(gè)表格）

生1： x■+x■等于一次項(xiàng)系數(shù)的相反數(shù)；x■·x■等于常數(shù)項(xiàng).

生2：不完整，應(yīng)該是當(dāng)一個(gè)一元二次方程有根時(shí)，才有這個(gè)結(jié)果.

師：不錯(cuò)，下面繼續(xù)看活動(dòng)二.

活動(dòng)二：探究根與系數(shù)的關(guān)系

探究1：關(guān)于x的方程x2+px+q=0 （p，q為常數(shù)，p2-4q≥0）的兩根x■，x■，它們與系數(shù)p，q之間有什么關(guān)系？

（學(xué)生快速寫出了關(guān)系式）

探究2：求出方程3x2-2x-1=0的兩根x■，x■，寫出x■+x■， x■·x■，并說一說你發(fā)現(xiàn)這個(gè)一元二次方程的根與系數(shù)有什么規(guī)律？

（師巡視并給有困難的學(xué)生個(gè)別輔導(dǎo)）

活動(dòng)三：推導(dǎo)證明根與系數(shù)的關(guān)系

關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的兩根x■，x■，它們與系數(shù)a，b，c之間有什么關(guān)系？你能證明你的猜想嗎？

（學(xué)生說出了猜想，師生共同完成推導(dǎo)證明過程）

效果分析？搖 教學(xué)中遵循學(xué)生“特殊—一般”的認(rèn)知規(guī)律，整個(gè)過程層層遞進(jìn)，從二次項(xiàng)系數(shù)為“1”的具體方程計(jì)算到字母系數(shù)的探究，再到二次項(xiàng)系數(shù)不為“1”的具體方程的計(jì)算，最后對(duì)“一般”方程進(jìn)行推導(dǎo)證明，從而得出結(jié)論. 這不僅符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，而且有助于加強(qiáng)歸納思想的滲透.

■ 過程與結(jié)論

現(xiàn)代教育心理學(xué)研究指出，學(xué)生的學(xué)習(xí)過程不僅是一個(gè)接受知識(shí)的過程，還是一個(gè)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程. 從數(shù)學(xué)教學(xué)的角度看，數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)者個(gè)人建構(gòu)的過程，他們帶著自己原有的知識(shí)背景、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和理解走進(jìn)學(xué)習(xí)活動(dòng)，并通過自己的主動(dòng)活動(dòng)，包括獨(dú)立思考和與他人交流等，去建構(gòu)對(duì)數(shù)學(xué)的理解.

案例3？搖 “梯形輔助線添加”教學(xué)片斷——

師：一般地，涉及梯形的計(jì)算或證明，往往需要添加輔助線，添加輔助線常常有如下幾種情況：（板演）

■

（要求學(xué)生把這幾種情況畫下來，并默記）

剖析？搖 教者把給梯形添加輔助線的幾種類型一股腦兒“灌”給學(xué)生，不重視輔助線的形成過程，學(xué)生對(duì)為何作輔助線，在什么情況下作輔助線等基本問題一頭霧水，只是通過死記硬背記住結(jié)論. 這種教學(xué)忽視了得出結(jié)論的思想方法和探索過程，學(xué)生的學(xué)習(xí)變成了“記數(shù)學(xué)結(jié)論”，往往“只知其然，而不知其所以然”，阻礙了學(xué)生思維和探究能力的提高.

改進(jìn)實(shí)踐？搖 探究活動(dòng)：如圖5所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=60°，AD=6 cm，BC=10 cm，求CD的長(zhǎng).

■

師：這個(gè)題能否直接解答？你們嘗試一下.

（生嘗試后都認(rèn)為不能直接解答）

師：多邊形的計(jì)算或證明，當(dāng)無法直接計(jì)算或證明時(shí)，常常需要把這個(gè)圖形轉(zhuǎn)化成一些基本圖形. 那么，梯形該如何轉(zhuǎn)化呢？大家猜一猜.

（學(xué)生中有的在本子上畫圖，有的在討論，有的在冥思苦想……5分鐘后）

生1：過梯形上底的一個(gè)端點(diǎn)，作梯形一腰的平行線，可以把梯形轉(zhuǎn)化成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形.

生2：我也是把梯形轉(zhuǎn)化成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形，不同的是過梯形下底的一個(gè)端點(diǎn)，作梯形一腰的平行線.

生3：過梯形上底的兩個(gè)端點(diǎn)，分別作下底的兩條垂線，可以把梯形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形.

……

師：同學(xué)們可真了不起，想出了這么多種辦法，這些辦法是否可行呢？下面，選擇你喜歡的辦法，以剛才匯報(bào)的同學(xué)為組長(zhǎng)進(jìn)行探究.

（接下來，全班以小組為單位進(jìn)行計(jì)算）

師：歸納總結(jié)梯形輔助線的作法. （學(xué)生總結(jié)歸納了6種梯形輔助線作法）

效果分析？搖 這里的教學(xué)讓學(xué)生經(jīng)歷了“提出猜想—嘗試作法—探究驗(yàn)證—整理敘述”的過程，學(xué)生在這個(gè)過程中獨(dú)立思考，學(xué)會(huì)了分析、判斷、推理、發(fā)現(xiàn). 學(xué)生親身經(jīng)歷了輔助線的探究過程，在過程中發(fā)現(xiàn)、歸納和概括了結(jié)論.

■ 知覺與空間

實(shí)驗(yàn)表明，兒童的知覺經(jīng)驗(yàn)和對(duì)客體的熟悉因素是空間認(rèn)知發(fā)展的重要條件. 學(xué)齡前兒童主要通過畫畫和搭積木等空間活動(dòng)形成對(duì)圖形的初步感知和初步的幾何直覺. 初中階段，學(xué)生通過動(dòng)手操作、觀察、想象、交流等活動(dòng)，獲得空間圖形的知識(shí)和有關(guān)技能；通過觀察、分析和比較，了解二維圖形和三維圖形之間的聯(lián)系，發(fā)展空間觀念和空間想象能力.

案例4？搖 “平行線”教學(xué)片斷——

師：兩條直線相交有幾個(gè)交點(diǎn)？相交的兩條直線有什么特殊的位置關(guān)系？

生：有1個(gè)交點(diǎn)，垂直.

師（演示教具）：順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)木條b兩圈.

思考：把木條a，b想象成兩端可以無限延伸的兩條直線，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)b時(shí)，直線b與直線a的交點(diǎn)位置將發(fā)生什么變化？在這個(gè)過程中，有沒有直線a與b不相交的位置？（生交流、討論）

師：同一平面內(nèi)，存在一條直線a與直線b不相交的位置，這時(shí)直線a與b互相平行. 換言之，同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.

剖析？搖 皮亞杰說，空間觀念的形成不像拍照，要想建立空間觀念，必須有動(dòng)手做的過程. 上述教學(xué)片斷，學(xué)生在建立“平行線”這個(gè)空間觀念時(shí)，教師僅限于教具演示，未能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的、豐富的現(xiàn)實(shí)原型，未能讓學(xué)生充分感知生活中的“平行線”，把“平行線”這個(gè)空間概念“灌”給了學(xué)生，學(xué)生對(duì)為何要強(qiáng)調(diào)“同一平面內(nèi)”不知其所以然.

改進(jìn)實(shí)踐？搖 師（動(dòng)畫演示生活中蘊(yùn)涵平行現(xiàn)象的圖片）：你能從圖片中找出共性嗎？

生1：都含有平行線.

師：小學(xué)我們已經(jīng)接觸過平行線，今天我們將再度學(xué)習(xí)平行線.

師：教室內(nèi)，哪些線是平行的？

生2：黑板兩邊是平行的.

師：（糾正）黑板相對(duì)的兩邊所在的直線是平行線.

生3：窗戶相對(duì)的兩邊所在的直線是平行線.

生4：課桌相對(duì)的兩邊所在的直線是平行線.

……

師：假設(shè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上的跑道線不平行，會(huì)怎樣？火車的軌道不平行，又會(huì)怎樣？

生（齊）：運(yùn)動(dòng)員會(huì)撞倒一片；火車會(huì)脫軌，發(fā)生事故；等等.

師：你認(rèn)為為什么是平行線？能畫出草圖并表示嗎？

生5：不相交的兩條直線是平行線.

師：說得有道理！

生6：不正確，前墻面豎直的交線和最后邊地面上橫的交線不相交，但不是平行線.

師：說得好，觀察得真細(xì)致！

師：（用牙膏盒引導(dǎo)學(xué)生尋找類似位置關(guān)系的直線并繼續(xù)提問）那該怎樣定義平行線？

生7：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行線.

師：挺棒的！

（生8在黑板上畫出兩條平行線的草圖，其他學(xué)生在下面完成）

效果分析？搖 這個(gè)教學(xué)過程讓學(xué)生充分感知現(xiàn)實(shí)生活中的平行現(xiàn)象，特別是此時(shí)此景中的平行（黑板、窗戶、課桌等相對(duì)的兩邊所在的直線），把空間的、抽象的概念進(jìn)行簡(jiǎn)單化、直觀化、生活化處理，并借助實(shí)物模型，采用簡(jiǎn)單、直觀的形象思維幫助學(xué)生建構(gòu)“平行線”的空間觀念.

■ 感性與理性

研究表明，人對(duì)事物的認(rèn)識(shí)層次有感性和理性之分. 感性認(rèn)識(shí)是通過對(duì)事物直接的感覺而獲得，具有形象性、直接性的特點(diǎn). 在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過思考、分析，加以去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的整理和改造，形成了概念、判斷、推理，從而過渡到理性認(rèn)識(shí)階段.

案例5？搖 “單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘”教學(xué)片斷——

師：計(jì)算：2a·4b.

生1：結(jié)果為8ab，辦法是運(yùn)用乘法交換律，將a與4交換，2與4相乘作為結(jié)果的系數(shù)，a與b相乘.

師：有不相同的嗎？（大家沒有不同意見）

師：你們會(huì)計(jì)算下列各題嗎？

（1）3a2·2a3= ？搖？搖 ？搖（2）-3m2·2m4=

（3）x2y3·4x3y2= ？搖？搖 （4）2a2b3·3a3=

（小組合作學(xué)習(xí)，5分鐘后，學(xué)生板書到黑板上）

師：很好，大家歸納總結(jié)了“單×單”的法則.

生（小結(jié)）：（1）系數(shù)與系數(shù)相乘；（2）相同字母相乘；（3）只在一個(gè)單項(xiàng)式中出現(xiàn)的字母和指數(shù)照搬，作為積的一個(gè)因式；（4）結(jié)果仍是單項(xiàng)式.

師：好！現(xiàn)在請(qǐng)大家翻開書本第145頁(yè)，將“單×單”的法則讀一遍.

剖析？搖 執(zhí)教者教學(xué)“單×單”的法則時(shí)，采用的是“從理性到理性”的方式，先是給出一個(gè)簡(jiǎn)單的式子，讓學(xué)生嘗試計(jì)算，在這個(gè)過程中感受“單×單”的意義，然后，給出四個(gè)較復(fù)雜的式子，在計(jì)算后概括、歸納出法則，這個(gè)過程會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)法則的建構(gòu)缺乏一定的感性認(rèn)識(shí)基礎(chǔ).

改進(jìn)實(shí)踐？搖 活動(dòng)一：拼一拼

師：用6張長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形硬紙片，拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，盡可能多地展示不同的拼法.

（小組展示不同的拼法如圖6～圖9所示）

■

（師就圖6提出問題）

師：你能表示出這個(gè)長(zhǎng)方形的面積嗎？

生1： 6ab.

師：你是怎樣考慮的？

生1：一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為ab，6個(gè)為6ab.

師：有不同的表示方法嗎？

生2：3a·2b.

師：你又是怎樣考慮的？

生2：大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為3a，寬為2b，所以面積為3a·2b.

師：很好，它的面積既可以看成是長(zhǎng)為3a、寬為2b的大長(zhǎng)方形的面積，又可以看成是6個(gè)小長(zhǎng)方形的面積和.

師：所以3a·2b=6ab.

（類似地，其余的圖形由學(xué)生講解）

師：通過拼圖，用兩種不同的方法計(jì)算圖形的面積，我們得到了一些式子，反過來，對(duì)于2a·4b，我們能不能通過拼圖的方法得到它的結(jié)果呢？

（小組成員展示拼圖，并匯報(bào)）

生3：2a·4b可表示長(zhǎng)為2a、寬為4b的長(zhǎng)方形的面積，所以我們拼成一個(gè)長(zhǎng)為2a、寬為4b的長(zhǎng)方形（如圖10所示），而它的面積又可以表示為8個(gè)小長(zhǎng)方形的面積和，為8ab，所以2a·4b=8ab.

■

活動(dòng)二：說一說

師：剛才我們用紙片直觀地得出了“單×單”的結(jié)果，現(xiàn)在請(qǐng)大家思考——我們能從運(yùn)算的角度解釋這些結(jié)果的合理性嗎？

師：例如，2a·4b=8ab，你能從運(yùn)算的角度解釋它的正確性嗎？

生4：應(yīng)用乘法交換律，將a與4交換，并將2與4相乘即可.

活動(dòng)三：試一試

已知一個(gè)長(zhǎng)方體的底面積為5x2，高為2xy，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積.

（學(xué)生回答，教師示范解題過程）

活動(dòng)四：做一做

計(jì)算下列各式，并寫出每步計(jì)算的依據(jù).

（1）2a2b·3ab2；（2）4ab2·5b；（3）6x3·（-2x2y）.

活動(dòng)五：談一談

問題：如何進(jìn)行“單×單”的乘法運(yùn)算？

（學(xué)生歸納、總結(jié)出了“單×單”法則）

效果分析？搖 此教學(xué)以“拼、說、試、做、談”五個(gè)活動(dòng)為載體，“拼”，讓學(xué)生經(jīng)歷了操作、觀察、思考、交流等過程，為學(xué)生積累了一些感性認(rèn)識(shí)，初步理解了“單×單”的意義，在后面四個(gè)環(huán)節(jié)將“拼”的感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，學(xué)生驗(yàn)證了“拼”所得結(jié)論的正確性. 整個(gè)過程關(guān)注了學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)發(fā)展規(guī)律的應(yīng)用，真正使教學(xué)過程起到了“授之以漁”的作用.

當(dāng)然，違背學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)可能不止這幾種. 教師只有遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，才能組織好教學(xué)，也才能提高課堂教學(xué)效率.