嚴加明

[摘 要] 本文簡要分析了幾何證明的思路及思維分析方法，啟發(fā)和引導學生正確地運用分析方法解決實際問題，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，使他們在實踐中不斷歸納總結(jié)，逐步提高.

[關(guān)鍵詞] 幾何題；證明思路；分析；解題規(guī)律；例題剖析

平面幾何是以綜合法為主要方法的幾何學科，綜合法直觀清晰，敘述簡潔，但“由因?qū)Ч保ζ珉y辨，在運用上帶來了一些困難. 因此，在證題時，一般先用分析法尋求證題思路，然后用綜合法進行證明敘述. 證題思路的分析，對學習幾何的學生來說是一個困難的問題，由于不會思路分析，證明就無從著手，證明時全憑盲目亂碰，抓不住解題規(guī)律，以至久而不能入門，影響學習興趣和效果.

當前學生學習平面幾何存在的問題，除課程本身抽象外，主要是在教學中不注意思考方法的引導. 在教學中，很多教師只注意知識內(nèi)容的傳授，不注意教給學生思考方法，而采取“題海戰(zhàn)術(shù)”，企圖用大量習題來覆蓋各類考試的出題范圍，不注意解題思路的分析，為使學生在課堂上“順利地”接受所講內(nèi)容，過多地“暗設(shè)埋伏”，代替了學生的獨立思考，其結(jié)果是講得頭頭是道，學生仍不知為什么要如此考慮，離開教師的引導就不會解題. 要培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，就得教給學生思維的基本途徑和方法，啟發(fā)和引導學生運用哪些方法去思考問題. 通過學生的實踐，發(fā)展學生的邏輯思維能力，各門學科的思維途徑和方法都離不開科學的一般方法，但又各有其自身特點. 就平面幾何來說，在探索思路時著重運用分析法，即“執(zhí)果索因”，追求結(jié)論成立的充分條件. 我們應(yīng)教給學生“索因”的方法，也就是講清如何去探尋思路，使學生在思考中有“路”可循，這樣就能克服解題過程中的盲目性，逐步增強學生思考的自覺性.

■ 引用已知的定理，即邏輯證明

即借助于其真實性已經(jīng)確定了的命題（包括公理、定理和有關(guān)定義），按照邏輯推理的方法來斷定某個新命題成立的思維過程（或者說是邏輯程序）. 在引用作為論據(jù)的命題中，最常用的是本學科中的已知定理，因此，善于引用已知定理是學會平面幾何的起點和關(guān)鍵.

學生在引用所學定理來證明時，困難有兩個方面，其一是不會選擇適當定理；其二是雖知要引用某定理，但不會創(chuàng)造條件來實現(xiàn)，因此，應(yīng)抓住如下兩個環(huán)節(jié)：

1. 如何選擇適當定理. 欲證命題和所引定理之間必須滿足下列兩個條件：其一是兩者的結(jié)論應(yīng)具有一致性，這樣才能通過所引定理導出欲證結(jié)論；其二是兩者的條件（命題的題設(shè)與定理的前提）應(yīng)具有相應(yīng)性（即大致相符或有一定的聯(lián)系），這樣才能為引用該定理提供充分的依據(jù).

2. 如何引用所選取的定理. 由于命題題設(shè)與定理前提雖有相應(yīng)性，但不可能完全具備定理前提中的條件，因此要從所選定理導出求證結(jié)論，還必須做好下列兩方面的工作，其一，若圖形按定理要求尚欠完備，則應(yīng)添輔助線以完備之，這是添輔助線的重要思考途徑之一；其二，若題設(shè)條件按定理前提要求尚欠充分，則應(yīng)先證得所缺條件，于是問題便轉(zhuǎn)換為引用另一定理.

例1？搖 在△ABC外作正方形ABEF和ACGH，如圖1所示，求證：△ABC的高線AD平分線段FH.

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按照結(jié)論的一致性，可以選取下列定理：（1）平行四邊形的性質(zhì)定理；（2）平行線等分線段定理，其特例是三角形（或梯形）中位線定理的逆定理；（3）等腰三角形頂角平分線定理；（4）垂直于弦的直徑平分該弦；（5）連心線平分相交圓的公共弦定理；（6）全等三角形的定義及其判定定理. 再從條件的相應(yīng)性考慮，就可知道宜選?。?）（2）（6）諸定理，于是所引定理便可確定了.

下面來討論如何引用所選取的定理. 若欲引用“平行四邊形的性質(zhì)定理”來證明，就該構(gòu)成具備下列條件的平行四邊形：

（1）其一對角線為線段FH；

（2）另一對角線在直線AD上.

為了簡便，可取為平行四邊形AFKH，根據(jù)平行四邊形的定義和判定定理知，四邊形為平行四邊形需滿足兩條件，再加頂點K在AD上，共需三個條件. 因此，在添輔助線時應(yīng)滿足其中兩個條件，再證明具備第三個條件，方可根據(jù)定義或定理導出結(jié)論. 其證明思路如下：

①作FK∥AH交DA的延長線于點K，連結(jié)HK，欲證FK=AH.

②作FK∥AH，HK∥AF，欲證點K在直線AD上.

③作FK∥AH，F(xiàn)K=AH，連結(jié)HK，欲證點K在直線AD上.

④在直線AD上取一點K，使FK=AH，連結(jié)HK，欲證FK∥AH.

⑤取點K，使FK=AH，HK=AF，連結(jié)FK，HK，欲證點K在直線AD上.

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在引用定理的過程中，值得注意的是：

（1）根據(jù)結(jié)論的一致性和條件的相應(yīng)性，許多命題都能選用多個定理，因而出現(xiàn)多種證法，若能經(jīng)常注意一題多證，在諸多證法中，擇其優(yōu)而用，更能開闊思路，提高證題技巧.

（2）每個命題的題設(shè)條件都有其自身特點，只有針對其特點選用相應(yīng)定理，才能導出欲證的結(jié)論.

（3）引用定理應(yīng)從它們之間的聯(lián)系著手，靈活地加以運用，不應(yīng)過于拘泥，這樣才能收到良好的效果.

（4）引用定理應(yīng)切實注意定理的前提，只有完全符合定理才能導出想證的結(jié)論.

（5）在教學中，應(yīng)認真分析定理結(jié)構(gòu)，交代清楚每一個定理的證明思路和用法，并不斷引導學生對所學定理進行歸納整理，分析比較其特點，才能做到系統(tǒng)掌握、逐步熟練、逐步提高.

■ 轉(zhuǎn)換證題結(jié)論

隨著學習的進展，在證題思路上也得拓展，許多證題就其結(jié)論而言，都能從所學定理直接導出，因此有必要對欲證結(jié)論進行轉(zhuǎn)換，以利于引用所學定理. 要實現(xiàn)命題結(jié)論的轉(zhuǎn)化，必須把握住兩個環(huán)節(jié)，一是確定轉(zhuǎn)換方向，二是創(chuàng)造轉(zhuǎn)換條件.

相等問題←→和差倍分問題不等問題及比例問題←→乘積問題度量關(guān)系

垂直問題←→平行問題點共線問題←→線共點問題共點圓問題←→圓共點問題位置關(guān)系

度量關(guān)系和位置關(guān)系也可相互轉(zhuǎn)換，主要在于創(chuàng)造轉(zhuǎn)換的條件. 從轉(zhuǎn)換結(jié)論的方法來看，可從下列幾方面探索：

1. 利用“媒介”進行傳遞，其方法是：

（1）欲證 a=b，取c=b，只需證a=c，或分別取a=c，d=b，只需證c=d.

（2）欲證a>b，取c≥b，只需證a>c，或取c≤a，只證b

例2？搖 圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線互相垂直，過其交點作任一邊的垂線，必平分其對邊. （其逆定理也成立，如圖3所示）

2. 通過分割組合（或伸縮），其方法是：

（1）欲證a=b，取a=a■+a■，b=b■+b■，只需證a■=b■且a■=b■.

（2）欲證a=mb（m為正整數(shù)），取p=mb，只需證a=p或取q=■a，只需證b=q.

例3？搖 正三角形外接圓圓周上任意一點到對頂點的連線段等于到另兩頂點連線段之和（如圖4所示）.

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3. 改變結(jié)論形式. 有些證明題的結(jié)論，從幾何關(guān)系來看不甚明顯，或者缺乏幾何意義，這就會給證明帶來不便，為此，需改變結(jié)論形式，以利于尋求證題思路.

例4？搖 如圖5所示，梯形ABCD的對角線相交于點O，過點O作邊BC的平行線，交兩腰AB，CD于點E和點F，求證：■+■=■.

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轉(zhuǎn)換證題結(jié)論實質(zhì)上是分析法的具體體現(xiàn)，分析法“執(zhí)果索因”，其逆溯過程是將欲證結(jié)論逐步轉(zhuǎn)換的過程.

■ 利用逆推探路

在思路分析中，就分析思維而言，一般都考慮如何用適當定理，如何轉(zhuǎn)換證題思路，但在具體運用中還會遇到一定的困難，出現(xiàn)“卡殼”現(xiàn)象，這時又該如何解決呢？我們論證的命題，如果它是真實的（即成立的），那么它的題設(shè)與結(jié)論必然是和諧的，正因如此，我們可以借用結(jié)論作為“已知”條件來考查某一關(guān)系的存在性，從而解決論證的可行性.

1. 利用逆推探索思路可行性

例5？搖 如圖6所示，過等腰直角三角形ABC的直角頂點A作BC的平行線，在其上取一點E，使BE=BC，連結(jié)BE交AC于點F，求證：CF=CE.

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思路分析？搖 欲證CF=CE，只需證∠CEF=∠CFE. 由題設(shè)BE=BC知∠BEC=∠BCE，因此只需證∠CFE=∠BCE. 由于∠CFE=∠EBC+∠BCF，∠BCE=∠BCF+∠ECF，故只需證∠EBC=∠ECF. 至此出現(xiàn)了“卡殼”現(xiàn)象，需另找途徑.

故采用逆推來尋找新路. 設(shè)想如果有∠EBC=∠ECF，令其為x°，根據(jù)題設(shè)可知2（45+x）+x=180， 解得x=30，因此我們?nèi)裟茏C得∠EBC=30°，則問題就解決了. 至此，自然就會想到直角三角形而作EG⊥BC于點G，只需證EG=■BE，這就很容易解決了. ？搖

2. 利用逆推探求輔助線的添設(shè)

添輔助線是幾何證明題的關(guān)鍵，它與探索思路相輔相成. 逆推可以探索所需輔助線的特征，也可以從中發(fā)現(xiàn)用于解決問題的輔助線.

例6？搖 如圖7所示，在△ABC中，∠B的外角平分線交AC的延長線于點D，求證：AB·BC-CD2=AC·CD-BD2.

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思路分析？搖 此題的題設(shè)條件比較簡單，但結(jié)論復雜，直接引用定理無法入手，可轉(zhuǎn)換其結(jié)論為AB·BC-AC·CD=CD2-BD2，或AB·BC+BD2=AC·CD+CD2，故AB·BC+BD2=AD·CD. AD·CD的出現(xiàn)使我們想到圓的割線定理，則作△ABC的外接圓，并延長DB交圓于點E，連結(jié)AE，則AD·CD=ED·BD=（EB+BD）·BD，即AD·CD=EB·BD+BD■，這就可證AB·BC=EB·BD，只需證△ABE∽△DBC即可.

■ 分析與綜合相結(jié)合

在思路分析的過程中，一般是分析思維起主導作用，但多數(shù)是結(jié)合一定的綜合思維進行. 在一個較復雜的證題過程中，它們是交錯使用的，不應(yīng)將它們分開.

例7？搖 如圖8所示，在△ABC中，AB>AC，∠A的平分線交BC于點P，過點B作BH⊥AP于點H，M是BC的中點，連結(jié)AM并延長交BH于點Q，求證：PQ∥AB.

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思路分析？搖 證明PQ∥AB，一定是利用角的關(guān)系. 從圖中看不太明顯，一是用成比例線段，即證■=■，為此尋求“媒介”進行逆推，因此可過點A作BC的平行線交直線HM于點D，得出■=■. 于是只需證■=■，也就是說，BD∥QM. 若此結(jié)論成立，則四邊形AMBD是平行四邊形. 反之，若證得四邊形AMBD是平行四邊形，則問題得證. 至此應(yīng)需證AD=BM，即證△ADE≌△BME，根據(jù)條件可先證AE=EB.

再從題設(shè)看，M是BC的中點，AP是∠BAC的平分線，且AP⊥BH，故可延長BH交AC的延長線于點F，則H是BF的中點，于是得MH∥AC，即直線HE平分AB. 這樣就得出結(jié)論了.

■ 由特殊推一般

特殊情形有它自身的特殊性，往往比研究一般情形容易得多；而特殊情形下的結(jié)論，往往又是研究一般情形的先導和橋梁，因此，在討論一般情形尚感根據(jù)不足時，可將問題按其條件進行特殊化處理，再把它擴大到一般性問題.

例8？搖 在△ABC中，∠A≥120°，P是三角形內(nèi)任意一點，求證：PA+PB+PC>AB+AC.

思路分析？搖 題設(shè)中有∠A≥120°，則令∠A=120°為其特殊性，若把AB+AC進行“直化”，即延長CA到點D，使AD=AB，可知△ABD為正三角形. 由正三角形可知PA+PB≥PD，由此得證. 再把結(jié)論更換為∠A>120°的情形就可以證明了.

解答 （1）當∠A=120°時，如圖9所示，延長CA到點D使AD=AB，連結(jié)BD，PD，則△ABD為正三角形，可知PA+PB≥PD，又PC+PD>AD+AC，所以PA+PB+PC>AD+AC=AB+AC.

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（2）當∠A>120°時，因∠A<180°，則∠PAB，∠PAC中至少有一個角小于120°，令∠PAB<120°，以AB為一邊作∠BAE=120°使角的另一邊AE交PC于點E（如圖10所示），連結(jié)BE，由于∠BAC>120°，則點E在線段PC內(nèi)，又點P在△ABC內(nèi)，則∠BPE<180°，從而點P必在△ABE內(nèi)部，所以PA+PB+PE>AB+AE. 故PA+PB+PC=PA+PB+PE+EC>AB+AE+EC>AB+AC.

綜上所述，PA+PB+PC>AB+AC

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以上討論的思維方法因題而異，也因人而異，不能固守成法，不能孤立對待，應(yīng)注意靈活運用，并且在實踐中不斷歸納總結(jié)所獲得的經(jīng)驗，逐步提高，方能取得良好的效果.