新課程下導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

摘 要：導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識，它緊密聯(lián)系高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)，是解決相關(guān)問題的重要工具。通過探討導(dǎo)數(shù)在新課程中的地位以及在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。在教學(xué)解題過程中，可以利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)（解析式、值域、最（極）值、單調(diào)區(qū)間等）問題、切線問題、不等式問題、數(shù)列問題以及實際應(yīng)用等問題.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；新課程；應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要知識，它緊密聯(lián)系高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)，是解決相關(guān)問題的重要工具。本文探討的這一部分導(dǎo)數(shù)知識，在新課程中有重要的意義。研究導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，目的在于提高學(xué)生的能力，培養(yǎng)高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)新課程中的地位

在新課程下的高中數(shù)學(xué)教材中，導(dǎo)數(shù)有極其重要的地位，在學(xué)生進(jìn)入高中階段學(xué)習(xí)函數(shù)時，一般難以理解函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的這些性質(zhì)如果通過函數(shù)的圖像來反映，就一目了然，非常容易學(xué)習(xí)。高中數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)知識，提供了研究函數(shù)問題的方法。

（一）有利于學(xué)生更好地理解函數(shù)

在高中階段學(xué)習(xí)函數(shù)時，學(xué)習(xí)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性等。函數(shù)的性質(zhì)可以通過函數(shù)的圖像表示出來，作出函數(shù)的圖像，函數(shù)的性質(zhì)就容易掌握。

簡單的函數(shù)，一般可以采用描點法作出圖像。復(fù)雜的函數(shù)，可以利用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的凹凸區(qū)間、拐點，由此作出函數(shù)的圖像。

（二）有利于學(xué)生更好地掌握函數(shù)思想

一些中學(xué)數(shù)學(xué)上用一般方法不好處理的、難以解決的問題，可以考慮函數(shù)思想。如果用導(dǎo)數(shù)來解決這些問題，往往方法簡潔明了，步驟清楚，容易了解。

（三）有利于學(xué)生弄清曲線的切線問題

學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何時，往往認(rèn)為曲線的切線，只能是與曲線有一個公共點的直線，等到高中接觸到導(dǎo)數(shù)的幾何意義后，就知道了函數(shù)f在點x0的導(dǎo)數(shù)f（x0）是曲線y=f（x）在點（x0，y0）處的切線斜率。

（四）有利于學(xué)生學(xué)好其他學(xué)科

新課程下的高中課程，大多與數(shù)學(xué)有內(nèi)在聯(lián)系，導(dǎo)數(shù)與物理、化學(xué)、生物等高中學(xué)科都有著深刻的邏輯關(guān)系。導(dǎo)數(shù)f（x）在高中物理中，可以很好地解釋做變速直線運動物體的運動方程：s=st，根據(jù)公式可以方便地算出物體的瞬時速度：V（t）=■，可以計算瞬時加速度：A（t）=■；高中化學(xué)中的反應(yīng)速度，酶的催化反應(yīng)，以及冷卻速度等問題，也都可以通過微積分的方法來解決。

（五）有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，學(xué)生接觸到從平均變化到瞬時變化，了解、領(lǐng)悟和運用這種思想，對學(xué)生的邏輯思維能力是一次提高。可以樹立由整體到局部的思想方法，逐步體會有限與無限、直與曲的對立與統(tǒng)一。

二、導(dǎo)數(shù)在解題中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)成為新教材高考試題的熱點。導(dǎo)數(shù)與傳統(tǒng)內(nèi)容相結(jié)合，試題貼近生活。舉例說明導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

（一）利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題

1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的解析式

可以用解析式表示函數(shù)關(guān)系，也可以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的解析式。

2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域

采用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的值域，較為容易。

3.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最（極）值

用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最（極）值，解題過程簡化，容易掌握。

一般的，函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，則f（x）在[a，b]上的最值求法：

（1）求函數(shù)的極值點；

（2）計算在極值點和端點的函數(shù)值；

（3）比較在極值點和端點的函數(shù)值，最大的是最大值，最小的是最小值。

4.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

函數(shù)的單調(diào)性，是研究函數(shù)時經(jīng)常要用到的。利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，只需考慮正負(fù)即可，當(dāng)滿足什么條件時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)滿足什么條件時，函數(shù)單調(diào)遞減。

（二）利用導(dǎo)數(shù)解決切線問題

1.求過某一點的切線方程

切線方程的幾何意義就是曲線在某點處切線的斜率，就是過某點的切線方程。

2.求兩曲線切線方程

（三）利用導(dǎo)數(shù)解決不等式問題

在處理不等式問題時，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，我們就可以利用導(dǎo)數(shù)，作為工具很便捷地解決不等式問題。

（四）利用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)列問題

數(shù)列是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，可以運用導(dǎo)數(shù)來處理數(shù)列求和的相關(guān)問題。

（五）利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題

導(dǎo)數(shù)有著豐富的實際背景，我們可以把幾個變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可以想方法去構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)來解決問題，簡潔有效。

綜合以上內(nèi)容，學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，拓展了解決中學(xué)數(shù)學(xué)問題的新視野。導(dǎo)數(shù)進(jìn)入新教材后，顯示出強大的生命力，具有深刻的意義。

參考文獻(xiàn)：

李秋鳳.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問題中的應(yīng)用[J].中國科技信息，2006（03）.

作者簡介：冶連寶，男，1978年12月出生，本科，就職于甘肅省會寧縣第一中學(xué)，研究方向：函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用。