摘 要：利用狀態(tài)空間分析法結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)問題，根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程，引入系統(tǒng)的狀態(tài)變量，建立狀態(tài)方程，并給出非奇次狀態(tài)方程的解。對于求解矩陣函數(shù)有多種解法。對結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)建立了計(jì)算格式，并在文末給出了數(shù)值算例，其計(jì)算結(jié)果表明，狀態(tài)空間分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)，其精度好，效率高，是一種非常有效的方法。

關(guān)鍵詞：狀態(tài)空間分析法；結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)；狀態(tài)方程

1 狀態(tài)空間分析法的主要特點(diǎn)

狀態(tài)空間分析法可解決多輸入、多輸出、多變量的系統(tǒng)問題，且系統(tǒng)可以是線性的或非線性的，定常的與時(shí)變的，集中參數(shù)的或分布參數(shù)的，也可以是連續(xù)型或離散型的。由于借助計(jì)算機(jī)，整個(gè)過程在時(shí)間域內(nèi)可實(shí)時(shí)控制，對設(shè)計(jì)性能指標(biāo)可或得最優(yōu)控制。由于它的突出特點(diǎn)，不但在國防工業(yè)尖端部門，也在其他一些部門獲得迅速的應(yīng)用。近10多年來，狀態(tài)空間法開始在建筑、路橋、水利、機(jī)械、環(huán)境等工程領(lǐng)域活躍起來。

應(yīng)用狀態(tài)空間理論進(jìn)行的結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析具有精度高的特點(diǎn)。近年來，現(xiàn)代控制論中的狀態(tài)空間理論逐步應(yīng)用到固體力學(xué)、復(fù)合材料力學(xué)、彈性力學(xué)等力學(xué)領(lǐng)域中，使這些學(xué)科獲得了新的活力和發(fā)展前景。特別是利用狀態(tài)空間理論對建筑結(jié)構(gòu)的動(dòng)力問題的研究獲得了很大的成功，為新技術(shù)的應(yīng)用奠定了理論基礎(chǔ)。在用狀態(tài)空間發(fā)分析系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是由狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組來描述的，它能反應(yīng)系統(tǒng)的全部獨(dú)立變量的變換，從而能同時(shí)確定系統(tǒng)的全部內(nèi)部運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而且還可以方便地處理初始條件。這樣，在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，不再只局限于輸入量、輸出量、誤差量，因而可以應(yīng)用于非線性系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)、多輸入—多輸出系統(tǒng)以及隨機(jī)過程等。狀態(tài)空間理論在結(jié)構(gòu)動(dòng)力問題中的應(yīng)用涉及了很多方面，主要集中在結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性、結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)和結(jié)構(gòu)的主動(dòng)控制等三個(gè)方面。一個(gè)用n階微分方程描述的系統(tǒng)，就有n個(gè)獨(dú)立變量，當(dāng)把它寫成狀態(tài)方程的話，那么這個(gè)狀態(tài)方程將能完全地描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，只要確定了任一時(shí)刻的狀態(tài)變量，就能知道結(jié)構(gòu)在任一時(shí)刻的狀態(tài)。而用傳統(tǒng)的微分方程進(jìn)行描述的話，某些內(nèi)部的中間變量將不便加以描述，因而不能包括系統(tǒng)的所有信息，這有著其分析動(dòng)力問題的不足之處。狀態(tài)方程形式簡單、規(guī)范，任何階的運(yùn)動(dòng)微分方程都可化為形式如的狀態(tài)方程。特別提出的是，數(shù)學(xué)中微分方程數(shù)值計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)式子和狀態(tài)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式十分相近，這就為把數(shù)值計(jì)算應(yīng)用到狀態(tài)方程求解中來提供了極大的方便，有利于結(jié)構(gòu)動(dòng)力問題的計(jì)算機(jī)模擬和計(jì)算。狀態(tài)方程的系統(tǒng)矩陣包括了內(nèi)部狀態(tài)的全部聯(lián)系。一個(gè)系統(tǒng)矩陣就決定了該系統(tǒng)的動(dòng)力特性，不像微分方程那樣，它的動(dòng)力特性是有剛度矩陣、質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣三者所決定的，這就為用系統(tǒng)矩陣分析結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性提供了方便。

總之利用傳統(tǒng)的方法分析結(jié)構(gòu)動(dòng)力問題有其天生的局限性，如果不添加新鮮血液的話，那么它的發(fā)展空間終究有限。把狀態(tài)理論應(yīng)用到結(jié)構(gòu)動(dòng)力問題的研究中來，正是針對其局限性，開辟了一條新的道路?？梢?，利用狀態(tài)空間理論研究結(jié)構(gòu)動(dòng)力問題有著重大的意義。

2 方程的建立及其解法

結(jié)構(gòu)在地震、風(fēng)等作用下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)一直是人們研究的課題之一。因?yàn)榻ㄖY(jié)構(gòu)，特別是高層結(jié)構(gòu)的自由度非常多，且地震、風(fēng)等載荷是高度非線性的，想要用傳統(tǒng)的二階微分運(yùn)動(dòng)方程直接求解是不可能的，即使是使用數(shù)值求解，也必須進(jìn)行一些假設(shè)，而且計(jì)算十分繁瑣和復(fù)雜。在這方面，把建筑結(jié)構(gòu)用狀態(tài)空間變量描述寫成狀態(tài)空間方程，其形式簡單、規(guī)范，為直接求解提供了可能，且利于計(jì)算機(jī)數(shù)值計(jì)算。在這些方面，已經(jīng)有一些人進(jìn)行了研究，如基于狀態(tài)空間理論的多量樣條元法和迭代法等。這些方法在數(shù)學(xué)方面有現(xiàn)成的成果，理論研究成熟，為結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)分析提供了一條廣闊的道路。

結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)分析是一個(gè)多自由度系統(tǒng)問題，由于狀態(tài)方程具有可分離的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，因此比傳統(tǒng)的方法優(yōu)越。特別對于多激勵(lì)輸入與輸出，狀態(tài)空間法有明顯的優(yōu)越性。它不僅可以求解多變量問題，還能擴(kuò)大解題范圍。對于結(jié)構(gòu)承受動(dòng)力載荷作用時(shí)，其動(dòng)力方程為：

式（3）為結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)分析的狀態(tài)方程。狀態(tài)方程是描述一個(gè)動(dòng)態(tài)過程，并可用一階微分方程組來表示。不論系統(tǒng)多么復(fù)雜，狀態(tài)空間的描述總是具有像式（3）這種統(tǒng)一簡潔的形式。并可用多種分析技術(shù)在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。根據(jù)狀態(tài)空間理論，狀態(tài)方程的解答為（5）；（5）式中：；

。有2n個(gè)動(dòng)力響應(yīng)量，即n個(gè)位移響應(yīng)量與n個(gè)速度響應(yīng)

量。

參考文獻(xiàn)

[1] 范崇讬.孟繁華.現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ).上海：上海交通大學(xué)出版社，1990

[1] 常春馨.現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ).北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1988

[2] 沈鵬程.多變量樣條有限元法.北京：科學(xué)出版社，1996

[3] 郭繼武.建筑抗震設(shè)計(jì).北京：高等教育出版社，1990

作者簡介

方未（1991-），湖北人，碩士研究生，研究方向：機(jī)械監(jiān)測與故障診斷。