矩陣跡的性質(zhì)與應(yīng)用

趙馨 魏福紅 章樹玲

摘要：關(guān)于矩陣跡的性質(zhì)，全面的描述尚不多見，本文給出了矩陣跡的性質(zhì)，指出了其性質(zhì)在矩陣計(jì)算中的用處，舉例說明結(jié)果的有效性。

關(guān)鍵詞：矩陣跡 性質(zhì) 應(yīng)用

1 概述

矩陣的跡及其應(yīng)用是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是工程理論研究中的重要工具。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，首先介紹了矩陣跡的相關(guān)性質(zhì)，然后給出了零矩陣，不相似矩陣，數(shù)冪矩陣，列矩陣，冪等矩陣及矩陣不等式的證法，最后對矩陣的應(yīng)用給出實(shí)例。

2 跡基本概念

定義2.1 稱trA=■a■為A的跡。

3 矩陣跡的性質(zhì)

性質(zhì)3.1 tr（A±B）=trA±trB

性質(zhì)3.2 tr（kA）=k·trA（k為任意常數(shù)）

性質(zhì)3.3 tr（AB）=tr（BA）

性質(zhì)3.4 trA=trA′

性質(zhì)3.5 tr（A2）=■■aijaji

性質(zhì)3.6 tr（AA′）=■■aij2

性質(zhì)3.7 trA=■λi （λi 是A的特征值）

性質(zhì)3.8 tr（A2）=■λi2

性質(zhì)3.9 若A～B，則trA=trB

性質(zhì)3.10 若A≠0，A>0，則trA>0

4 矩陣跡的應(yīng)用

應(yīng)用4.1 設(shè)A，B為同階實(shí)對稱矩陣，若A-B正定，則A和B不相似。

證：假設(shè)A，B相似，則由性質(zhì)3.9知，trA=trB，再由性質(zhì)3.1得 tr（A-B）=trA-trB=0。

故由性質(zhì)3.10 知A-B不是正定陣，與已知矛盾！從而，A和B不相似。

應(yīng)用4.2 設(shè)n階矩陣A的對角線上元素全是1，且其特征值為復(fù)數(shù)，求證A？燮1。

證：設(shè)λi（i=1，2，…，n）為A的全部特征值，且λi？叟0，i=1，2，…，n，則有

A=λ1λ2…λn，tr（A）=λ1+λ2 +…+λn

又A的主對角線上的元素全是1，知tr（A）=n，則

■？燮■=■=1

所以，A=λ1λ2…λn？燮1

應(yīng)用4.3 已知n階方陣A，若對所有的n階方陣X有tr（AX）=0，則A=0

證：設(shè)A≠0，則有某akm≠0。作矩陣X=（xij），使xmk=1，（i，j）≠（m，k）時(shí)，xij=0則矩陣AX主對角線上的元素C■=■a■x■=a■，l=k0， l≠k，tr（AX）=■Cll=akm≠0，

與已知矛盾！故A=0

應(yīng)用4.4 設(shè)A，B，C都是n×n矩陣，且AC=CA， BC=CB，C=AB-BA，則存在不大于n的自然數(shù)m，使得Cm=0。

證：先證trCk=0（k為任意自然數(shù)）

Ck=Ck-1（AB-BA）=A（Ck-1B）-（Ck-1B）A（1）

由（1）和性質(zhì)3.1、3.2得：trCk=tr[A（Ck-1B）]-tr[（Ck-1B）A]=0

再證C的特證值都等于0。

設(shè)C的特征值為λ1，λ2，…，λn則存在可逆矩陣T，使

C=T-1λ1 * ？塤0 λ2T

即有

0=trCk=λ1k+λ2k+…+λnk （k=1，2，…）（2）

不失一般性，設(shè)C的互異的非零特征值為λ1，λ2…，λs，且重?cái)?shù)分別為r1，r2，…，rs則（2）式變?yōu)椋?=r1λ1k+r2λ2k+…+rsλsk （k=1，2，…）。

取前S個(gè)等式，因?yàn)榉兜旅尚辛惺讲坏扔诹?，因此r1=r2=…=rs=0，即非零特征值都是0重，故C的特征全為0。

再證Cm=0， 由于C的每個(gè)若當(dāng)塊都形如

Ji=0 1 0 ？塤 ？塤 1 0■i=1，2，…，t

因此令：

m=max{n1，n2，…，nt}，

則Cm=T-1J■■ ？塤 J■■T=0

參考文獻(xiàn)：

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