六桿機(jī)構(gòu)四位置運(yùn)動生成的解域綜合理論與方法

韓建友 崔光珍 楊 通

(北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，北京100083)

四桿、六桿和八桿機(jī)構(gòu)五位置運(yùn)動生成的綜合問題已經(jīng)得到解決［1-6］.五位置綜合得到的有限機(jī)構(gòu)如果性能上不滿足要求也沒有其他選擇.而四位置綜合可以得到無窮多解，為設(shè)計者提供了更多選擇，同時采用現(xiàn)代設(shè)計方法進(jìn)行優(yōu)選，最終可以得到滿足多種性能要求的最優(yōu)機(jī)構(gòu).因此認(rèn)為，五位置綜合問題的解決具有重要的理論意義，而四位置綜合問題的解決更具有應(yīng)用價值和實(shí)際意義.難點(diǎn)在于采用何種理論與方法在無窮多機(jī)構(gòu)中得到機(jī)構(gòu)的可行解域.

對于四位置運(yùn)動生成的綜合問題大都應(yīng)用布爾梅斯特理論.對于六桿機(jī)構(gòu)四位置運(yùn)動生成問題通常所給定的是兩個連桿的4個位置，有時也給定包括連架桿的4個位置，因此得到的曲線不只是圓點(diǎn)和圓心的分布曲線——布氏曲線，還有能表示一般情況下的解曲線，研究表明該曲線也為與布氏曲線相似的三次曲線，本文稱為廣義布氏曲線.本文將布氏曲線和廣義布氏曲線統(tǒng)稱為解曲線.本文在文獻(xiàn)［7-9］基礎(chǔ)上，把解域綜合方法推廣應(yīng)用于Stephenson-Ⅱ機(jī)構(gòu).

為了建立可行解域，判斷機(jī)構(gòu)是否存在運(yùn)動缺陷是不可少的一步.運(yùn)動缺陷包括回路、分支和順序缺陷.回路缺陷是指機(jī)構(gòu)不得不進(jìn)行重新裝配才能通過給定的全部位置.分支缺陷是指機(jī)構(gòu)在通過給定的全部位置的過程中出現(xiàn)死點(diǎn)(奇異位形).目前，雖然已有較多文獻(xiàn)對機(jī)構(gòu)運(yùn)動缺陷的相關(guān)問題進(jìn)行了說明，但是并沒有完全解決機(jī)構(gòu)運(yùn)動缺陷判斷問題.如文獻(xiàn)［10］通過建立函數(shù)判別式求解出六桿機(jī)構(gòu)奇異位形和機(jī)構(gòu)運(yùn)動范圍.文獻(xiàn)［11］利用JRS(Joint Rotation Space)方法判斷六桿機(jī)構(gòu)和齒輪五桿機(jī)構(gòu)是否存在曲柄.在文獻(xiàn)［12］中提出了將Stephenson-Ⅲ型六桿機(jī)構(gòu)分解為四桿機(jī)構(gòu)和一個Ⅱ級桿組，然后求解其運(yùn)動區(qū)域的方法.文獻(xiàn)［13］提出了八桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動范圍的函數(shù)判別式，但是該判別式僅對至少有一個四桿環(huán)路并且不包含六桿環(huán)路的八桿機(jī)構(gòu)有效.Mirth等［14］利用四桿機(jī)構(gòu)連桿曲線和Ⅱ級桿組運(yùn)動范圍判斷給定四位置的Stephenson型六桿機(jī)構(gòu)是否存在回路缺陷問題，并應(yīng)用該方法得出了布氏曲線上無回路缺陷區(qū)段.本文針對機(jī)構(gòu)運(yùn)動缺陷判斷問題，提出了雅可比矩陣行列式值的符號與運(yùn)動連續(xù)性條件相結(jié)合的方法.該方法簡單易行，并且能很好地解決機(jī)構(gòu)運(yùn)動缺陷判定問題，為建立可行解域奠定了基礎(chǔ).

1 解曲線方程的推導(dǎo)

圖1 剛體平面運(yùn)動示意圖Fig.1 Diagram of rigid body planar motion

假設(shè)有兩連桿平面π1和π2，如圖1所示，其位置由平面上的一點(diǎn)b(m)和任選的一條直線blb(mlm)的方位角來確定.兩連桿平面在第1位置時分別用表示，其上 b點(diǎn)為 b1(xb1，yb1)，m 點(diǎn)為 m1(xm1，ym1)，b1lb1直線的方位角為α1，m1lm1直線的方位角為β1.兩連桿平面在第i(i=2，3，4)位置時分別用表示，其上b點(diǎn)為 bi(xbi，ybi)，m 點(diǎn)為 mi(xmi，ymi)，bilbi直線的方位角為αi，milmi直線的方位角為βi.當(dāng)連桿平面π1和 π2分別從位置1到位置 i(i=2，3，4)時，確定平面π1和π2上可以作為鉸鏈的點(diǎn)B和M.其中連桿平面π1和π2分別從位置1到位置i的位移矩陣為設(shè)待求第 1 位置的鉸鏈點(diǎn)B和M矢量分別為B1=(xB1，yB1)T和M1=(xM1，yM1)T，第i位置的鉸鏈點(diǎn)B和M矢量分別為 Bi=(xBi，yBi)T和 Mi=(xMi，yMi)T，則有

通過求解式(6)得到點(diǎn)M在第1位置坐標(biāo)值，將其代入式(4)可以求出點(diǎn)B在第1位置坐標(biāo)值.因點(diǎn)M為π2上的點(diǎn)，故將該曲線稱為解曲線 π1π2-π2，同樣可以得到另一條解曲線 π1π2-π1，這兩條解曲線上的點(diǎn)具有一一對應(yīng)關(guān)系.如果平面π1(或π2)為固定平面，則其對應(yīng)的位移矩陣為單位矩陣，推導(dǎo)得到的解曲線為布氏曲線.而當(dāng)兩平面都不是固定平面時，則得到的解曲線為廣義布氏曲線.

2 六桿機(jī)構(gòu)四位置運(yùn)動生成

為綜合得到如圖2所示六桿機(jī)構(gòu)，本文參照文獻(xiàn)［5］，給定如圖3所示3R開鏈的四位置參數(shù).即已知3R開鏈的固定鉸鏈點(diǎn)a0的坐標(biāo)(a0x，a0y)，動鉸鏈點(diǎn) a，b在 4個位置的坐標(biāo)(aix，aiy)，(bix，biy)(i=1，2，3，4)(或構(gòu)件 1，2 的長度以及 4個方位角θ1i，θ2i)，末端執(zhí)行件3上的一點(diǎn)p在4個位置的坐標(biāo)p(pix，piy)(或點(diǎn)p到鉸鏈點(diǎn)b的長度以及構(gòu)件3的方位角θ3i).

圖2 六桿機(jī)構(gòu)示意圖Fig.2 Diagram of a six-bar linkage

圖3 3R開鏈Fig.3 Diagram of a 3R open chain

根據(jù)上節(jié)內(nèi)容，綜合構(gòu)件4時因其連接機(jī)架0和構(gòu)件3，故可以分別得到關(guān)于鉸鏈點(diǎn)b0和c的解曲線03-0和03-3.綜合構(gòu)件5時分別得到關(guān)于鉸鏈點(diǎn)d和e坐標(biāo)的解曲線13-1和13-3，如圖4所示.

圖4 解曲線和機(jī)構(gòu)Fig.4 Solution curves and six-bar linkage

3 建立解域

建立解域的步驟如下:①求出關(guān)于鉸鏈點(diǎn)b0和d的解曲線方程，方程形式如式(6).將x作為已知量，令x以步長Δx在其鉸鏈點(diǎn)限定范圍內(nèi)連續(xù)取值，則可得到關(guān)于y的三次方程，該方程可能存在一個實(shí)根(有2個重根)或3個實(shí)根(無重根).②參考文獻(xiàn)［7］中的曲線分段方法將解曲線分為區(qū)段1，2，3.③建立可行區(qū)段.如果解曲線03-0上一點(diǎn)滿足鉸鏈點(diǎn)b0的限定條件，且03-3上與之對應(yīng)的點(diǎn)滿足鉸鏈點(diǎn)c的限定條件，由這樣的點(diǎn)組成的曲線段稱為可行區(qū)段，如圖4中鉸鏈點(diǎn)b0限定范圍內(nèi)的實(shí)線段.同理求得其他解曲線的可行區(qū)段.④將解曲線03-0和13-1的可行區(qū)段中所包含的各區(qū)段(區(qū)段1，2，3)依次排列，向水平直線進(jìn)行映射，而后取b0，d的x坐標(biāo)值為坐標(biāo)軸建立解域.因為解域內(nèi)任一點(diǎn)都表示鉸鏈點(diǎn)b0，d的x坐標(biāo)值，根據(jù)第1節(jié)內(nèi)容可以求得相應(yīng)的y坐標(biāo)值及其對應(yīng)鉸鏈點(diǎn)c和e的坐標(biāo)值，所以解域內(nèi)任意一點(diǎn)都對應(yīng)著一個六桿機(jī)構(gòu).根據(jù)上述步驟得到的解域中的六桿機(jī)構(gòu)可能在通過給定4個位置時出現(xiàn)運(yùn)動缺陷，故需要通過下一節(jié)介紹的機(jī)構(gòu)運(yùn)動缺陷判定方法將存在運(yùn)動缺陷的機(jī)構(gòu)從解域中剔除.最后根據(jù)實(shí)際工程需要建立和施加約束條件，例如桿長比，最長、最短桿的桿長限定，傳動角的限定等，進(jìn)一步剔除解域中不滿足要求的機(jī)構(gòu).限于篇幅，本文在綜合示例中只附加桿長比r的約束條件，即在如圖5所示的六桿機(jī)構(gòu)中，所標(biāo)注的尺寸l1～l9和機(jī)架長度中最小值與最大值之比.將小于桿長比的機(jī)構(gòu)從解域中剔除，形成沒有運(yùn)動缺陷且滿足給定桿長比的可行解域.

圖5 六桿機(jī)構(gòu)參數(shù)示圖Fig.5 Parameters for six-bar linkage

4 機(jī)構(gòu)運(yùn)動缺陷判定

4.1 六桿機(jī)構(gòu)位置分析和雅可比矩陣推導(dǎo)

對圖5所示的六桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行位置分析，可以得到兩個矢量方程:

其中，la0b0x=b0x-a0x，la0b0y=b0y-a0y，(a0x，a0y)和(b0x，b0y)分別為固定鉸鏈點(diǎn)a0和b0的坐標(biāo).

聯(lián)立式(9)與式(10)消去θ3，聯(lián)立式(11)與式(12)消去 θ2，得

聯(lián)立式(13)和式(14)，利用Sylvester結(jié)式消元法消去 θ4，得到關(guān)于 θ5的方程后，令 tan(θ5/2)=t5，根據(jù)半角公式，有 sin θ5=2t5/(1+)和 cos θ5=，最終得到關(guān)于t5的六次方程:

由式(15)求得t5，而后用反正切函數(shù)求得θ5，再由式(13)和式(14)聯(lián)立求得θ4.

將式(9)～ 式(12)分別對 θ2，θ3，θ4，θ5求導(dǎo)，整理得雅可比矩陣行列式:

將式(16)展開并整理得

4.2 運(yùn)動缺陷判斷

當(dāng)Δ=0時機(jī)構(gòu)處于奇異位形(死點(diǎn))，故當(dāng)機(jī)構(gòu)在給定位置對應(yīng)的Δ值的符號不同時，機(jī)構(gòu)將存在運(yùn)動缺陷.但當(dāng)給定位置對應(yīng)的Δ值的符號相同時，機(jī)構(gòu)也可能會存在運(yùn)動缺陷，接下來通過表1和圖6來進(jìn)行說明.表1給出了圖2所示六桿機(jī)構(gòu)在兩個位置的參數(shù)，固定鉸鏈點(diǎn)a0和b0的坐標(biāo)分別為(0，0)和(59.8273，0).圖6是上述六桿機(jī)構(gòu)在可運(yùn)動范圍內(nèi)的Δ曲線.Δ1和Δ2分別為給定位置1和位置2的Δ值.

表1 六桿機(jī)構(gòu)兩位置參數(shù)Table 1 Parameters of six-bar linkage for 2-position

圖6 Δ隨輸入角變化的曲線圖Fig.6 Δ changes with the input angle

六桿機(jī)構(gòu)雖然在位置1和位置2所對應(yīng)的Δ值符號相同，但從圖6的曲線可以看出，原動件在給定的運(yùn)動范圍內(nèi)(在此說明示例中原動件的運(yùn)動范圍是10°～50°)不能從位置1連續(xù)運(yùn)動到位置2.由此可知在位置1到位置2間存在分支缺陷.此時出現(xiàn)雅可比矩陣值符號判斷失效，因此需要進(jìn)一步根據(jù)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動連續(xù)性來判斷機(jī)構(gòu)是否存在運(yùn)動缺陷.當(dāng)機(jī)構(gòu)給定初始位置裝配構(gòu)型而后進(jìn)行連續(xù)性運(yùn)動(輸入角連續(xù)變化)，給定一輸入角進(jìn)行位置分析，可能得到多組裝配構(gòu)型，但只有一組裝配構(gòu)型符合連續(xù)運(yùn)動要求，本文將此組裝配構(gòu)型稱為實(shí)際裝配構(gòu)型.歸納總結(jié)機(jī)構(gòu)運(yùn)動缺陷判斷步驟如下.

第1步 計算給定4個位置的Δ值，Δ值符號不同則存在運(yùn)動缺陷，相同則進(jìn)行第2步判斷.

第2步 輸入角從起始位置1按適當(dāng)步長連續(xù)變化到位置2對應(yīng)的輸入角.如果出現(xiàn)以下情況則認(rèn)為存在運(yùn)動缺陷:①給定一輸入角進(jìn)行位置分析，如果無解則認(rèn)為機(jī)構(gòu)存在運(yùn)動缺陷.②給定一輸入角進(jìn)行位置分析，如果得到多組裝配構(gòu)型，則根據(jù)機(jī)構(gòu)運(yùn)動的連續(xù)性，判斷出與輸入角對應(yīng)的實(shí)際裝配構(gòu)型.求出實(shí)際裝配構(gòu)型所對應(yīng)的Δ值，如果該Δ值的符號與位置1處的不同則機(jī)構(gòu)認(rèn)為存在運(yùn)動缺陷.③當(dāng)機(jī)構(gòu)輸入角等于給定位置2輸入角時，求得的實(shí)際裝配構(gòu)型的鉸鏈點(diǎn)坐標(biāo)與給定位置2鉸鏈點(diǎn)坐標(biāo)不同，則認(rèn)為機(jī)構(gòu)存在運(yùn)動缺陷.如果位置1到位置2區(qū)間不存在運(yùn)動缺陷則根據(jù)第2步依次判斷剩下的兩個區(qū)間.

5 綜合示例

綜合如圖2所示的六桿機(jī)構(gòu)，給定參數(shù)點(diǎn)a0坐標(biāo)(0，0)以及表2和表3.

表2 3R鏈的四位置參數(shù)Table 2 Parameters of 3R chain for 4-position

表3 鉸鏈點(diǎn)b0，c，d，e坐標(biāo)的限定范圍Table 3 Ranges of joints b0，c，d，e

按照上文所述的綜合方法，綜合桿b0c時，先得到關(guān)于鉸鏈點(diǎn)b0和c的解曲線03-0和03-3.再根據(jù)鉸鏈點(diǎn)b0和c的限定范圍求解出解曲線的可行區(qū)段，如圖7所示的限定框中的實(shí)線段.

圖7 解曲線03-0和03-3Fig.7 Solution curves of 03-3 and 03-3

根據(jù)表2中的參數(shù)和固定鉸鏈點(diǎn)a0坐標(biāo)綜合桿de，得到關(guān)于鉸鏈點(diǎn)d和e坐標(biāo)的解曲線13-1和13-3.再根據(jù)鉸鏈點(diǎn)d和e限定范圍求得可行區(qū)段，最終得到如圖8所示的解曲線.

圖8 解曲線13-1和13-3Fig.8 Solution curves of 13-1 and 13-3

為了建立機(jī)構(gòu)解域，把圖7所示解曲線03-0的可行兩區(qū)段依次向水平直線映射并相加作為橫軸.區(qū)段 1:xb0∈［551，981］;區(qū)段 2:xb0∈［672，982］.同理，把圖8所示解曲線13-1的可行兩區(qū)段依次向水平直線映射并相加作為縱軸.區(qū)段1:xd∈［531，74.751］;區(qū)段 2:xd∈［12.752，29.52］.于是得如圖9a所示的機(jī)構(gòu)解域.而后通過機(jī)構(gòu)運(yùn)動缺陷分析得如圖9b所示的無運(yùn)動缺陷解域.最后添加約束條件，桿長比r≥0.25得到如圖9c所示的可行解域.

圖9 解域圖Fig.9 Solution regions

在圖9c所示的可行域內(nèi)任選一點(diǎn)都可得到滿足設(shè)計要求的六桿機(jī)構(gòu).在圖9b上選擇K1所示一點(diǎn)，得到如圖10a所示的無運(yùn)動缺陷的六桿機(jī)構(gòu).在圖9c上選擇K2所示一點(diǎn)，得到如圖10b所示的滿足桿長比要求的機(jī)構(gòu).表4列出了兩個機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)點(diǎn)和桿長比.

表4 K1和K2機(jī)構(gòu)求得鉸鏈點(diǎn)坐標(biāo)及桿長比值Table 4 K1and K2linkages with joints coordinates and r

圖10 綜合得到的機(jī)構(gòu)Fig.10 Synthesized linkages

6 結(jié)論

1)六桿機(jī)構(gòu)四位置運(yùn)動生成的解域綜合方法為多桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動生成的尺寸綜合問題提供了新的理論、方法和有效的解決途徑.

2)利用解域綜合法將可行機(jī)構(gòu)解的信息在有限的范圍內(nèi)表示出來，避免了機(jī)構(gòu)選擇的盲目性.這對進(jìn)一步研究可行機(jī)構(gòu)解的性能以及可行機(jī)構(gòu)解的優(yōu)選具有一定的意義.

3)所提出的機(jī)構(gòu)缺陷判別方法是有效和實(shí)用的.

4)綜合示例所得到的結(jié)果表明所提出的理論和方法的正確性以及所開發(fā)軟件的有效性.

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