周海珍，楊馥憶

(浙江財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，浙江 杭州 310018)

一、引 言

我國目前已經(jīng)進(jìn)入老齡化社會，根據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局的數(shù)據(jù)，至2013年末，我國60歲及以上人口占總?cè)丝诘?4.9%，其中65歲及以上人口則占了總?cè)丝诘?.7%。在人類平均壽命不斷延長的同時(shí)，各種老年性疾病如老年癡呆、中風(fēng)截癱、腦損傷等的發(fā)病率呈上漲趨勢，再加之意外事故在老年人群中的高發(fā)生率，使生活不能自理的老年人所占的比重越來越高。

一直以來，我國老年人護(hù)理基本上沿襲的是居家養(yǎng)老方式，但“4－2－1”家庭模式和大量“空巢家庭”的出現(xiàn)改變正著傳統(tǒng)的家庭養(yǎng)老觀念和模式。另一方面，隨著通貨膨脹率和醫(yī)療費(fèi)用的持續(xù)上漲，護(hù)理成本也呈逐年上漲趨勢，導(dǎo)致了人們對醫(yī)療保險(xiǎn)需求急劇增加。而我國現(xiàn)行的社會醫(yī)療保險(xiǎn)制度尚不能提供長期護(hù)理保障，因此長期護(hù)理保險(xiǎn)成為轉(zhuǎn)嫁護(hù)理風(fēng)險(xiǎn)的有效手段之一，這同時(shí)也有助于我國健康保險(xiǎn)體系的完善［1］。我國于2005年推出了商業(yè)長期護(hù)理保險(xiǎn)，但至今市場上長期護(hù)理保險(xiǎn)的品種并不多，且銷量十分有限，這在一定程度上與長期護(hù)理保險(xiǎn)在國內(nèi)發(fā)展的時(shí)間比較短，經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)匱乏，產(chǎn)品定價(jià)過程不規(guī)范和不完善有關(guān)。因此，選擇合適的長期護(hù)理保險(xiǎn)定價(jià)模型，對其進(jìn)行深入系統(tǒng)的研究是非常必要的。

目前長期護(hù)理保險(xiǎn)主要的定價(jià)方法包括曼聯(lián)模型、減量表方法和馬爾科夫模型。其中曼聯(lián)模型(James．D．Craig，1930)是一種成熟且常用的模型［2］;S．Haberman(1983)提及可運(yùn)用減量表模型考察各健康狀態(tài)的人數(shù)改變情況來計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率［3］;馬爾科夫模型由于在模擬人群從健康狀態(tài)向失能狀態(tài)轉(zhuǎn)移這一隨機(jī)過程中具有數(shù)學(xué)上易處理和參數(shù)易估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)，在長期護(hù)理保險(xiǎn)定價(jià)模型中被廣泛應(yīng)用。Beekman(1989)首次將長期護(hù)理過程視為一個(gè)持續(xù)的馬爾科夫鏈，提出了計(jì)算長期護(hù)理保險(xiǎn)保費(fèi)的概率模型［4］，Haberman(1997)擴(kuò)展了Beekman模型，將馬爾科夫過程的轉(zhuǎn)移概率用一個(gè)明確的表達(dá)式加以闡述［5］，Norberg(1995)提出了一種基于用以描述長期護(hù)理過程持續(xù)時(shí)間的馬爾科夫鏈對長期護(hù)理產(chǎn)品定價(jià)的方法［6］，在Haberman＆Pitacco(1999)以準(zhǔn)馬爾科夫過程為基礎(chǔ)建立了長期護(hù)理保險(xiǎn)定價(jià)模型后［7］，Levikson于2001年拓展了該方法，解決了個(gè)體在處于健康-失能循環(huán)下的定價(jià)問題［8］，Robinson J．(2002)則利用連續(xù)時(shí)間的馬爾科夫鏈模型對長期護(hù)理保險(xiǎn)進(jìn)行定價(jià)［9］。在國內(nèi)，何林廣(2007)分別運(yùn)用上述三種方法模擬了長期護(hù)理保險(xiǎn)的定價(jià)［10］;陳岱婉(2008)運(yùn)用多減因模型研究了在同時(shí)包括生存保障和死亡給付條件下的護(hù)理保險(xiǎn)定價(jià)模型［11］;李奇和張兆鉞(2011)則對適合于中國長期護(hù)理保險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)及相關(guān)問題進(jìn)行了研究［12］。由以上分析可見，國外對長期護(hù)理保險(xiǎn)定價(jià)模型的研究已經(jīng)比較成熟，而國內(nèi)對長期護(hù)理保險(xiǎn)費(fèi)率的研究相對較少，尚未形成一種適合我國的定價(jià)模型。本文將以美國常見的四種長期護(hù)理保險(xiǎn)的定價(jià)模型為基礎(chǔ)，將國內(nèi)的實(shí)際數(shù)據(jù)代入以核算費(fèi)率并進(jìn)行比較，希望能從中選取一種適合我國目前實(shí)際需求和可得數(shù)據(jù)的定價(jià)模型。

二、長期護(hù)理保險(xiǎn)定價(jià)模型

美國的商業(yè)長期護(hù)理保險(xiǎn)發(fā)展較為完善，我們以美國長期護(hù)理保險(xiǎn)的定價(jià)模型為分析基礎(chǔ)，將這些模型大致分為不考慮狀態(tài)轉(zhuǎn)移的基礎(chǔ)模型和考慮狀態(tài)轉(zhuǎn)移的動態(tài)模型兩種類別。

(一)基礎(chǔ)模型(不考慮康復(fù)的可能性)

基礎(chǔ)模型只考慮被保險(xiǎn)人從能夠自理狀態(tài)進(jìn)入不能自理狀態(tài)，并一直保持這種狀態(tài)直到死亡，并不考慮被保險(xiǎn)人從不能自理狀態(tài)恢復(fù)到能夠自理狀態(tài)的情況?；A(chǔ)模型又可分為兩種:第一種考慮了不能自理狀態(tài)對后續(xù)年份的影響，用人均不能自理周數(shù)來定義不能自理的概率;第二種則將被保險(xiǎn)人的一生劃分為能夠自理狀態(tài)持續(xù)時(shí)間和不能自理狀態(tài)持續(xù)時(shí)間兩個(gè)隨機(jī)時(shí)間段。

1．基礎(chǔ)模型一:以人均不能自理周數(shù)表示不能自理概率

該模型基于全體人口的平均護(hù)理周數(shù)(護(hù)理率)來計(jì)算保費(fèi)，假設(shè)只要被保險(xiǎn)人進(jìn)入不能自理狀態(tài)，那么他將一直處于該狀態(tài)直至去世。

如lx為年齡在x歲至x+1歲之間的生存人數(shù)，則不能自理概率sx等于某年齡段內(nèi)所有人由于失能而需要的長期護(hù)理周數(shù)除以該年齡段內(nèi)的總?cè)藬?shù)，如果一共不能自理r周，那么每個(gè)人的平均護(hù)理周數(shù)就為，即為不能自理概率。再假設(shè)對不能自理的人每周都給予1單位貨幣的給付，若賠付滿足均勻分布，那么x歲至x+1歲之間所有人的給付折現(xiàn)到x歲時(shí)的現(xiàn)值是v1/2×1/2pxsx，其中v是折現(xiàn)因子;1/2px表示x歲的人存活半年的概率，通過歲時(shí)的人數(shù)除以x歲時(shí)的人數(shù)得到，根據(jù)均勻分布的假設(shè)，的人數(shù)就等于x歲至x+1歲之間的人數(shù)。模型假設(shè)x歲時(shí)產(chǎn)生的不能自理狀態(tài)一直延續(xù)到去世，所產(chǎn)生的給付在x歲時(shí)的現(xiàn)值A(chǔ)Sx為:

讓Hx=vx+1/2lx+1/2sx+vx+3/2lx+3/2sx+vx+5/2lx+5/2sx+…，Dx=vxlx，則該模型下長期護(hù)理保險(xiǎn)的躉繳純費(fèi)率ax為:

2．基礎(chǔ)模型二:狀態(tài)持續(xù)時(shí)間是隨機(jī)變量

假設(shè)被保險(xiǎn)人一旦陷入不能自理狀態(tài)將持續(xù)至死亡，陷入不能自理狀態(tài)和死亡都屬于隨機(jī)事件且相互獨(dú)立，因此被保險(xiǎn)人的一生將劃分為兩個(gè)隨機(jī)時(shí)間段:能夠自理狀態(tài)持續(xù)時(shí)間和不能自理狀態(tài)持續(xù)時(shí)間，這兩個(gè)狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間都與被保險(xiǎn)人的年齡有關(guān)。

以qax表示能夠自理狀態(tài)下的死亡率，qix表示不能自理狀態(tài)下的死亡率，ix表示x歲時(shí)陷入不能自理狀態(tài)的概率，aTix表示能夠自理狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間，Tiy表示不能自理狀態(tài)持續(xù)時(shí)間。若aTix=t1，則對應(yīng)的概率等于從x歲到x+t1歲的過程中能夠自理狀態(tài)下的存活概率乘以x+t1歲時(shí)陷入不能自理狀態(tài)的概率，即若Tiy=t2，對應(yīng)的概率則是從y歲到y(tǒng)+t2歲的過程中不能自理狀態(tài)下的存活概率乘以y+t2歲時(shí)不能自理狀態(tài)下的死亡率，即Pr(Tiy=t2)

假設(shè)一位x歲的被保險(xiǎn)人經(jīng)過aTix=t1時(shí)間后，在y歲時(shí)由自理狀態(tài)轉(zhuǎn)移到不能自理狀態(tài)，如果被保險(xiǎn)人進(jìn)入不能自理后每年都可以獲得1個(gè)單位貨幣給付，那么未來全部的給付貼現(xiàn)到x歲時(shí)的現(xiàn)值為由于兩個(gè)狀態(tài)相互獨(dú)立，因此他們的聯(lián)合概率等于二者概率的乘積。因此該模型下長期護(hù)理保險(xiǎn)的躉繳純費(fèi)率ax為:

(二)動態(tài)模型(考慮被保險(xiǎn)人不能自理狀態(tài)的轉(zhuǎn)移)

事實(shí)上，在一定時(shí)間段內(nèi)，個(gè)體的狀態(tài)可能改變，而且處于某種狀態(tài)的人數(shù)也會改變，因此在費(fèi)率厘定時(shí)不光要考慮個(gè)體不能自理狀態(tài)的發(fā)生，也要考慮不能自理狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。動態(tài)模型也可分為兩種:第一種是假設(shè)能夠自理和不能自理狀態(tài)交替反復(fù)出現(xiàn)直到個(gè)體去世;第二種則是個(gè)體在能自理、不能自理，死亡三類狀態(tài)間轉(zhuǎn)移。

1．動態(tài)模型一:Beekman模型

假設(shè)被保險(xiǎn)人在某段時(shí)間內(nèi)處于能夠自理狀態(tài)，隨后持續(xù)一段時(shí)間不能自理，而后康復(fù)能夠自理并保持一段時(shí)間，之后再次轉(zhuǎn)移到不能自理狀態(tài)，如此交替反復(fù)直到去世［3］。如圖1所示，假設(shè)某人x歲，在x+t1歲時(shí)陷入不能自理狀態(tài)，在x+t2歲時(shí)康復(fù)回到能夠自理狀態(tài)，在x+t3歲時(shí)再次惡化到不能自理狀態(tài)，然后一直交替反復(fù)于能夠自理與不能自理狀態(tài)之間直到死亡。在實(shí)際應(yīng)用中交替次數(shù)一般取3次或4次。

圖1 Beekman模型時(shí)間軸

假設(shè)處于不能自理狀態(tài)的被保險(xiǎn)人每年均可得到1單位貨幣的給付，那么在第j次進(jìn)入不能自理狀態(tài)之后，在該階段得到的所有給付在x歲的現(xiàn)值為:

由于j取值不定，所有關(guān)于時(shí)間的變量都是隨機(jī)的，無法求出現(xiàn)值，因此需要引入新的變量簡化模型。再者，陷入不能自理狀態(tài)往往先于獲得護(hù)理給付的時(shí)間，因此引入加權(quán)因子hx，表示x歲時(shí)陷入不能自理狀態(tài)卻未能獲得給付的比例，而t1的含義則進(jìn)一步細(xì)化為第一次獲得護(hù)理給付的時(shí)間。在改進(jìn)后的模型中用n(x，t1)表示處于不能自理狀態(tài)且獲得護(hù)理給付的年數(shù)，該變量與x歲時(shí)預(yù)期壽命ex和自理狀態(tài)預(yù)期壽命(ae)x之差相關(guān)，即n(x，t1)=hx+t1·［ex+t1－(ae)x+t1］，于是給付現(xiàn)值變?yōu)関t1(1－vn(x，t1))/(1－v)，設(shè)jx(t1)表示t1的概率密度函數(shù)。在實(shí)際運(yùn)用中，現(xiàn)值期望E(ASx)往往取五年為一個(gè)時(shí)間段進(jìn)行計(jì)算，有:

其中k=0，1，…，最大取值與被保險(xiǎn)人的投保年齡相關(guān)。購買長期護(hù)理保險(xiǎn)的年齡大多為40或50歲，因此式(5)中c一般不大于10。該期望值近似等于:

即為長期護(hù)理保險(xiǎn)純費(fèi)率ax。其中n(x，5k+2.5)=5hx+5k［ex+5k+2.5－(ae)x+5k+2.5］表示給付獲得年數(shù);密度函數(shù)表示第一次獲得給付的時(shí)間t1在區(qū)間［5k，5k+5］范圍內(nèi)的概率，可由x歲的被保險(xiǎn)人存活到x+5k歲的概率和x+5k歲至x+5k+5歲之間陷入不能自理狀態(tài)概率相乘得到，但由于陷入不能自理狀態(tài)和領(lǐng)取保險(xiǎn)給付這兩個(gè)事件可能并不同時(shí)發(fā)生，因此概率乘積還需要進(jìn)行一定的調(diào)整，乘以加權(quán)因子5hx+5k，最后對k進(jìn)行累加。

2．動態(tài)模型二:離散時(shí)間的馬爾科夫鏈模型

假設(shè)被保險(xiǎn)人存在能夠自理(a)、不能自理(i)、死亡(d)三種狀態(tài)，其中向死亡狀態(tài)轉(zhuǎn)移是單向的，不可逆轉(zhuǎn);能夠自理狀態(tài)和不能自理狀態(tài)之間則可以相互轉(zhuǎn)移，并且從x歲至(x+1)歲的狀態(tài)轉(zhuǎn)移滿足離散時(shí)間的馬爾科夫鏈，如表1所示。

表1 三狀態(tài)模型轉(zhuǎn)移概率矩陣

其中:

能夠自理持續(xù)概率sax=健康人群存活率pax－不能自理發(fā)生率

康復(fù)概率rx=不能自理狀態(tài)存活率pix－不能自理狀態(tài)持續(xù)的概率

以aax，d表示x歲時(shí)處于能夠自理狀態(tài)的人一生所領(lǐng)取的所有給付，aix，d表示x歲時(shí)處于不能自理狀態(tài)的人一生所領(lǐng)取的所有給付。x歲時(shí)處于能夠自理狀態(tài)的人在x+1歲時(shí)可能出現(xiàn)三種情況:仍然處于能夠自理狀態(tài)、進(jìn)入不能自理狀態(tài)、死亡，因此aax，d應(yīng)該等于x+1歲時(shí)三種情況下領(lǐng)取給付加權(quán)平均后的現(xiàn)值，權(quán)重為各自發(fā)生的概率。其中x+1歲時(shí)仍然處于能夠自理狀態(tài)所領(lǐng)取的給付是aax，+d1，對應(yīng)的概率為sax;x+1歲時(shí)進(jìn)入不能自理狀態(tài)所領(lǐng)取的給付是aix，+d1，對應(yīng)的概率為ix;x+1歲時(shí)進(jìn)入死亡狀態(tài)之后將無法領(lǐng)取給付，因此給付為0。aix，d也可同理得到。假設(shè)被保險(xiǎn)人在不能自理狀態(tài)中每年可以獲得1單位貨幣的護(hù)理給付，那么可得出如下的遞推公式:

運(yùn)用迭代法則，通過式(9)和式(10)即可以求得個(gè)體在x歲時(shí)能夠自理和不能自理狀態(tài)下的一生給付，再分別乘以兩種狀態(tài)的人數(shù)比例(不能自理的人數(shù)比例記為Kx)并加總則可得長期護(hù)理保險(xiǎn)的躉繳純費(fèi)率ax:

(三)定價(jià)模型比較

基礎(chǔ)模型一在構(gòu)建思路和運(yùn)算方面都較為傳統(tǒng)，易于理解，可將各年齡的護(hù)理率進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，分析比較護(hù)理率隨年齡變化的趨勢，但它以人均不能自理的周數(shù)來定義不能自理發(fā)生概率并不十分準(zhǔn)確，因?yàn)閷τ陂L期護(hù)理保險(xiǎn)定價(jià)而言，更應(yīng)關(guān)注的是被保險(xiǎn)人每年新發(fā)生的不能自理的概率，即狀態(tài)的轉(zhuǎn)換率，而不是有多少人處于不能自理狀態(tài)或自理狀態(tài)持續(xù)多長時(shí)間;基礎(chǔ)模型二則將生命劃分為兩個(gè)隨機(jī)的時(shí)間段:能夠自理狀態(tài)和不能自理狀態(tài)的持續(xù)時(shí)間，因?yàn)樯婕皟蓚€(gè)隨機(jī)變量，會讓計(jì)算變得復(fù)雜，但卻更加接近實(shí)際應(yīng)用的需求。因此就兩種基礎(chǔ)模型而言，基礎(chǔ)模型二可能更適合。

但長期護(hù)理保險(xiǎn)定價(jià)的基礎(chǔ)模型畢竟沒有考慮被保險(xiǎn)人狀態(tài)的轉(zhuǎn)移，即認(rèn)為被保險(xiǎn)人一旦進(jìn)入不能自理狀態(tài)，便保持這種狀態(tài)直至去世，但在現(xiàn)實(shí)生活中并不一定如此，在上一年齡段進(jìn)入不能自理狀態(tài)的人在下一年齡段有可能繼續(xù)維持不能自理狀態(tài)，也可能會康復(fù)或去世;動態(tài)模型則考慮到了這一點(diǎn)，把康復(fù)的可能性加入模型，認(rèn)為被保險(xiǎn)人能不斷地在能夠自理狀態(tài)和不能自理狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移，直至最終進(jìn)入死亡狀態(tài)。因此相對于基礎(chǔ)模型，動態(tài)模型更符合實(shí)際。

在兩種動態(tài)模型中，Beekman模型考慮到被保險(xiǎn)人進(jìn)入不能自理狀態(tài)和開始領(lǐng)取護(hù)理給付并不一定同時(shí)發(fā)生，因此對狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行加權(quán)處理，而且該模型使用預(yù)期壽命和自理狀態(tài)預(yù)期壽命的差值來度量領(lǐng)取給付的時(shí)間，這是它與其他模型迥異的一點(diǎn)，但是Beekman模型中存在積分，且以5年為一個(gè)時(shí)間段進(jìn)行計(jì)算，求解的過程復(fù)雜且粗略，同時(shí)在實(shí)際應(yīng)用中，目前我國并沒有加權(quán)因子的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，借用別國的數(shù)據(jù)會影響模型的適用性;而離散時(shí)間的馬爾科夫鏈模型則考慮了各年齡段的康復(fù)概率，允許個(gè)體在不能自理狀態(tài)和能夠自理狀態(tài)之間相互轉(zhuǎn)移，更加符合實(shí)際，同時(shí)可以依據(jù)年齡和性別構(gòu)建轉(zhuǎn)移概率模型進(jìn)行定價(jià)，使定價(jià)結(jié)果更公平合理，更具有現(xiàn)實(shí)意義。因此就兩種動態(tài)模型而言，離散時(shí)間的馬爾科夫模型可能更適合。

通過對上述四種定價(jià)模型的比較和分析，可以看出離散時(shí)間的馬爾科夫鏈模型不失為一種較好的選擇，可以將其作為我國長期護(hù)理保險(xiǎn)定價(jià)模型的基礎(chǔ)。雖然目前尚缺乏該模型中的康復(fù)率數(shù)據(jù)，但可以通過參考我國其他健康險(xiǎn)以及醫(yī)療系統(tǒng)的相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)近似得到。此外，隨著醫(yī)療技術(shù)的提高，個(gè)體進(jìn)入不能自理狀態(tài)后的康復(fù)率會逐步提高，考慮了狀態(tài)變化的馬爾科夫鏈模型也會是一個(gè)較好的定價(jià)模型選擇;且該模型可以通過細(xì)分不同護(hù)理狀態(tài)擴(kuò)展為多狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型，有較強(qiáng)的靈活性和適用性。

四、馬爾科夫鏈定價(jià)模型的數(shù)值核算

為了進(jìn)一步驗(yàn)證離散時(shí)間的馬爾科夫鏈模型作為我國長期護(hù)理保險(xiǎn)定價(jià)模型的適用性和可行性，運(yùn)用所能獲得的我國實(shí)際數(shù)據(jù)，或經(jīng)過簡單運(yùn)算后的數(shù)值代入模型進(jìn)行核算。

(一)假設(shè)條件

1．投保年齡、保費(fèi)繳納及給付條件。假設(shè)一位60歲的男性以躉繳保費(fèi)的方式購買一份長期護(hù)理保險(xiǎn)，一旦被保險(xiǎn)人陷入不能自理狀態(tài)，保險(xiǎn)人每年給予1單位貨幣的補(bǔ)償直至被保險(xiǎn)人康復(fù)或去世。同時(shí)，為簡單起見，暫不考慮附加保費(fèi)。

2．貼現(xiàn)率。本文不考慮利率風(fēng)險(xiǎn)和投資收益率，以銀行一年定期存款利率3.25%作為不變的年貼現(xiàn)率。

3．不能自理人群的死亡率和長期護(hù)理狀態(tài)發(fā)生率。我們利用式(12)來計(jì)算不能自理人群的死亡率。

其中，不能自理人群比例通過2010年人口普查數(shù)據(jù)獲得，普通人群死亡率則采用《中國人壽保險(xiǎn)業(yè)生命表(非養(yǎng)老金業(yè)務(wù))2000－2003》數(shù)據(jù)。由于該生命表統(tǒng)計(jì)的是所有投保人群的平均死亡率，包括健康人群和次健康人群，而健康人群的死亡率應(yīng)低于平均死亡率，因此，我們以生命表

其中，ix是X歲被保險(xiǎn)人的不能自理發(fā)生率;qax是X歲健康人的死亡率;Kx是X歲人群中不能自理的比例;qix是X歲不能自理人群的死亡率。

(二)數(shù)值核算

假定被保險(xiǎn)人在三個(gè)狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移(死亡除外)，被保險(xiǎn)人獲得給付的總現(xiàn)值ax=Kx×ai，dx+(1－Kx)×aa，dx中ai，dx和aa，dx可以通過迭代法求得，而每個(gè)年齡段的不能自理持續(xù)概率six，能夠自理持續(xù)概率sax可由式(7)和(8)得到③由于篇幅關(guān)系，不能持續(xù)自理與能夠持續(xù)概率具體數(shù)據(jù)不在文中列出。。其中不能自理人群的康復(fù)可能性很小且數(shù)據(jù)難以得到，因此我們假設(shè)康復(fù)概率為0。

假設(shè)個(gè)體預(yù)期最終壽命為100，因此aa，d100=0且ai，d100=1，可以迭代求得60歲時(shí)能夠自理和不能自理狀態(tài)下的一生給付:aa，d60=0.469302和ai，d60=3.273435，再分別乘以60歲時(shí)兩種狀態(tài)的人數(shù)比例累加后就可以得到總現(xiàn)值，為0.487904。

為了觀察康復(fù)率對模型結(jié)果的影響，我們在上文的假設(shè)條件下，測算了康復(fù)率在不同水平時(shí)模型的核算結(jié)果。一般來說，隨著年齡的增長，個(gè)體的康復(fù)概率逐漸下降，因此我們首先假設(shè)60－64歲的康復(fù)率為5%，65－69歲為2.5%，70－74歲為1.2%，75－79歲為0.5%，80歲以后康復(fù)率為0。在該假設(shè)下，計(jì)算可得投保人所需繳納的純保費(fèi)為0.475511;若將60－79歲之間各年齡段的康復(fù)率增加50%，則純保費(fèi)為0.469865，減少了1.19%，敏感系數(shù)約為－2.37%。這說明在該模型中，康復(fù)率對核算結(jié)果有一定程度的影響，但影響不是很大。

從上述數(shù)值核算過程可見，利用現(xiàn)行可得的數(shù)據(jù)，可以運(yùn)用離散型的馬爾科夫鏈模型計(jì)算出一位60歲的男性購買長期護(hù)理保險(xiǎn)時(shí)所需繳納的純保費(fèi)，結(jié)果較為合理;并且，從康復(fù)率的敏感性分析可見，康復(fù)率對純保費(fèi)的影響并不大，因此在目前尚缺乏康復(fù)率統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的情況下，該模型也有一定的適用性。中平均死亡率的80%①［美］肯尼思·布萊克，哈羅德·斯基博著，孫祁祥、鄭偉等譯《人壽與健康保險(xiǎn)》，經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社，2003年。估計(jì)健康人群的死亡率;然后借鑒李奇、張兆鉞在《中國長期護(hù)理保險(xiǎn)產(chǎn)品定價(jià)研究》中采用的公式(式(13))即可計(jì)算長期護(hù)理狀態(tài)發(fā)生率②由于篇幅關(guān)系，生活不能自理人群死亡率與不能自理發(fā)生概率具體數(shù)據(jù)不在文中列出。。

五、結(jié)論與展望

通過對以上各模型的綜述和比較，文章得到以下結(jié)論:第一，對于基礎(chǔ)模型和動態(tài)模型而言，動態(tài)模型考慮了一生狀態(tài)會不斷變化這一事實(shí)，使定價(jià)更具有現(xiàn)實(shí)意義。第二，在兩種動態(tài)模型中，離散時(shí)間的馬爾科夫鏈模型在計(jì)算難度和數(shù)據(jù)可獲得性方面都優(yōu)于Beekman模型，同時(shí)，Beekman模型以五年為一個(gè)時(shí)間段進(jìn)行計(jì)算，顯得較為粗略。因此，在我國長期護(hù)理保險(xiǎn)定價(jià)中，可以以離散時(shí)間的馬爾科夫鏈模型作為定價(jià)的基礎(chǔ)模型。

為進(jìn)一步適應(yīng)我國國情，可以對該模型做一些修正。首先，我國目前大部分長期護(hù)理保單選擇單一的定額給付方式，容易因給付不足影響治療或因給付過多而產(chǎn)生道德風(fēng)險(xiǎn)，根據(jù)被保險(xiǎn)人在日常生活活動標(biāo)準(zhǔn)中不能完成的項(xiàng)目數(shù)及不能自理的項(xiàng)目內(nèi)容來設(shè)計(jì)不同層次的護(hù)理給付則更為合理。因此，在定價(jià)時(shí)應(yīng)引入多種護(hù)理狀態(tài)，將離散馬爾科夫模型中的不能自理狀態(tài)細(xì)分為如不能洗澡、不能行走等多種狀態(tài)，同時(shí)根據(jù)不能自理的項(xiàng)目數(shù)量和內(nèi)容分別確定給付金額。其次，現(xiàn)實(shí)中可能存在不能自理狀態(tài)和獲得給付不同步的情況，可以考慮借鑒Beekman模型，引入加權(quán)因子進(jìn)行調(diào)整。此外，對于目前尚缺乏的馬爾科夫鏈中不同護(hù)理狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率及康復(fù)率數(shù)據(jù)，可以以醫(yī)療保險(xiǎn)以及疾病保險(xiǎn)的相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)(這兩個(gè)險(xiǎn)種在國內(nèi)開展的時(shí)間較長，數(shù)據(jù)相對完善)為基礎(chǔ)并根據(jù)長期護(hù)理的特點(diǎn)進(jìn)行加權(quán)調(diào)整;也可借鑒陳岱婉(2007)提出的根據(jù)轉(zhuǎn)移概率、轉(zhuǎn)移強(qiáng)度和護(hù)理時(shí)間之間的關(guān)系［13］來確定轉(zhuǎn)移概率。

文章僅概述并比較了四種長期護(hù)理保險(xiǎn)的定價(jià)模式，同時(shí)在數(shù)值核算中也做了諸多的簡化處理，如未曾考慮利率波動和附加保費(fèi)，將馬爾科夫鏈模型中的康復(fù)率設(shè)為0等;此外，文章僅提出了離散時(shí)間的馬爾科夫鏈模型可以作為我國長期護(hù)理保險(xiǎn)定價(jià)的基礎(chǔ)模型及一些模型的改進(jìn)建議，但并未給出具體的修正模型，這都是在后續(xù)研究中可進(jìn)一步探討的問題。

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