一類(lèi)特殊的Sturm-Liouville 問(wèn)題第一特征值的估計(jì)

周振寧

(天津商業(yè)大學(xué)寶德學(xué)院基礎(chǔ)教研室,天津 300384)

一類(lèi)特殊的Sturm-Liouville 問(wèn)題第一特征值的估計(jì)

周振寧

(天津商業(yè)大學(xué)寶德學(xué)院基礎(chǔ)教研室,天津 300384)

為了更精確地研究 Sturm-Liouville 問(wèn)題第一特征值,本文主要討論一類(lèi)特殊的 Sturm-Liouville問(wèn)題第一特征值關(guān)于勢(shì)函數(shù)的依賴性。應(yīng)用變分原理,估計(jì)了此類(lèi)特殊的 Sturm-Liouville問(wèn)題第一特征值在不同參數(shù)值下的界限,并證明出其中的一些界限是可以達(dá)到的,為Sturm-Liouville問(wèn)題第一特征值的逼近提供了更好的理論基礎(chǔ)。

特征值 勢(shì)函數(shù) 極小化序列

Sturm-Liouville問(wèn)題理論在數(shù)學(xué)和物理中起著重要的作用，在過(guò)去的十幾年里許多學(xué)者對(duì)Sturm-Liouville問(wèn)題的特征值關(guān)于邊界的依賴性進(jìn)行了深入的研究[1-3]。近年來(lái)大部分關(guān)于 Sturm-Liouville問(wèn)題的工作都集中在特征值的逼近方面。施德才討論了自伴常微分算子特征值的解析重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)的關(guān)系[4]，王艷基于微分方程基本解，研究了具有光滑勢(shì)函數(shù)的S-L問(wèn)題特征值和規(guī)范常數(shù)的高階漸近式[5]，馬美絨通過(guò)微分方程基本解的高階展開(kāi)式，研究了邊界條件中含譜參數(shù)的Sturm-Liouville算子特征值的漸近展開(kāi)式.進(jìn)一步利用初值問(wèn)題解的漸近估計(jì)，并借助于一個(gè)積分恒等式，采用留數(shù)方法，得到了邊界條件中含譜參數(shù)的2×2Sturm-Liouville問(wèn)題特征值的跡公式[6]。

本文研究了類(lèi)特殊的 Sturm-Liouville 問(wèn)題第一特征值，估計(jì)了此類(lèi)特殊的 Sturm-Liouville 問(wèn)題第一特征值在不同參數(shù)值下的界限。

考慮Sturm-Liouville 問(wèn)題

滿足邊界條件：

其中α為一實(shí)數(shù)，且α ≠0. 基于變分原則，我們有第一特征值

令

我們來(lái)估計(jì)

下面得到我們的主要結(jié)論.

若 α ≤-1，則

mα=C()α

且Mα= ∞.并且存在函數(shù).使得

這里

證：令a≤-1，則1≤r＜2，根據(jù)Ho˙˙lder不等式，有

我們有

所以 m≥1.

考慮一個(gè)極小化序列{yk}，滿足

又因?yàn)楹瘮?shù)z(x)滿足歐拉—拉格朗日等式

用z'(x)乘以上述方程并積分，得到

于是得到

做變量替換z=My，我們得到等式

因?yàn)?/p>

所以

[1]KONG Q, ZETTL A. Eigenvalues of Regular Sturm-LIouville Problems[J].J Differentail Equations,1996,131：1-19.

[2]KONG Q, ZETTL A. Dependence of Eigenvalues of Regular Sturm-LIouville Problems on the Boundary[J].J Differentail Equations,1996,126：389-407.

[3]Rostyslav O.Hryniv,Yaroslav V. Mykytyuk.Inverse spectral problems for sturm-liouville operators with singular potentials,II.Reconstruction by two spectra[J]. North-Holland Mathematics Studies,2005,29：26-37.

[4]施德才.多區(qū)間上自伴Sturm-Liouville算子和高階常微分算子特征值的重?cái)?shù)關(guān)系[D].南京：南京理工大學(xué),2009：59-102.

[5]王艷.Sturm-Liouville問(wèn)題特征值的漸近性及其對(duì)反問(wèn)題的應(yīng)用[D].西安：陜西師范大學(xué),2011：115-152.

[6]馬美絨.三類(lèi)Sturm-Liouville特征值問(wèn)題[D].西安：陜西師范大學(xué),2013：1-47.

In order to study the first eigenvalue of the Sturm-Liouville problem more precisely, in this paper, a special Sturm-Liouville problem is considered and the dependence of the first eigenvalue on the potential is studied. The boundary of the first eigenvalue with different values of the parameter is estimated and some of them can be get based on the variational principle.It provides a better theoretical basis for the first eigenvalue approximation problem.

eigenvalue potential minizing sequence